Bài 3 (tiếp). Căn thức bậc hai của một thương

Ví dụ 9. Tính:

a) 805\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}; b) 24:3\sqrt{24} : \sqrt{3}; c) 115:123\sqrt{\dfrac{1}{15}} : \sqrt{1\dfrac{2}{3}}.

Lời giải:

a) 805=805=16=4\dfrac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{80}{5}} = \sqrt{16} = 4.

b) 24:3=243=8=22\sqrt{24} : \sqrt{3} = \sqrt{\dfrac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.

c) 115:53=115:53=115⋅35=125=15\sqrt{\dfrac{1}{15}} : \sqrt{\dfrac{5}{3}} = \sqrt{\dfrac{1}{15} : \dfrac{5}{3}} = \sqrt{\dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{3}{5}} = \sqrt{\dfrac{1}{25}} = \dfrac{1}{5}.

Ví dụ 10. Rút gọn các biểu thức:

a) 2510\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}; b) 4a225\sqrt{\dfrac{4a^2}{25}}; c) 3ab427a\dfrac{\sqrt{3ab^4}}{\sqrt{27a}} với a>0a > 0.

Lời giải:

a) 2510=22⋅510=2010=2\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{2^2 \cdot 5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{20}{10}} = \sqrt{2}.

b) 4a225=4a225=2∣a∣5\sqrt{\dfrac{4a^2}{25}} = \dfrac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{25}} = \dfrac{2|a|}{5}.

c) 3ab427a=3ab427a=b49=(b2)29=b23\dfrac{\sqrt{3ab^4}}{\sqrt{27a}} = \sqrt{\dfrac{3ab^4}{27a}} = \sqrt{\dfrac{b^4}{9}} = \dfrac{\sqrt{(b^2)^2}}{\sqrt{9}} = \dfrac{b^2}{3}.

Thực hành 6. Tính:

a) 925\sqrt{\dfrac{9}{25}}; b) 1916\sqrt{1\dfrac{9}{16}}; c) 80:5\sqrt{80} : \sqrt{5}; d) 35:512\sqrt{\dfrac{3}{5}} : \sqrt{\dfrac{5}{12}}.

Lời giải:

a) 925=35\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}.

b) 1916=2516=54\sqrt{1\dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4}.

c) 80:5=805=16=4\sqrt{80} : \sqrt{5} = \sqrt{\dfrac{80}{5}} = \sqrt{16} = 4.

d) 35:512=35⋅125=3625=65\sqrt{\dfrac{3}{5}} : \sqrt{\dfrac{5}{12}} = \sqrt{\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{12}{5}} = \sqrt{\dfrac{36}{25}} = \dfrac{6}{5}.

Thực hành 7. Rút gọn các biểu thức:

a) 555111\dfrac{\sqrt{555}}{\sqrt{111}}; b) a24b4\sqrt{\dfrac{a^2}{4b^4}} với a≥0a \ge 0, b≠0b \ne 0; c) 2a2(1−a)250\dfrac{\sqrt{2a^2(1 - a)^2}}{\sqrt{50}} với a>1a > 1.

Lời giải:

a) 555111=555111=5\dfrac{\sqrt{555}}{\sqrt{111}} = \sqrt{\dfrac{555}{111}} = \sqrt{5}.

b) a24b4=a24b4=a2b2\sqrt{\dfrac{a^2}{4b^4}} = \dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{4b^4}} = \dfrac{a}{2b^2} (vì a≥0a \ge 0; b2>0b^2 > 0).

c) 2a2(1−a)250=2a2(1−a)250=a2(1−a)225=∣a∣⋅∣1−a∣5=a(a−1)5\dfrac{\sqrt{2a^2(1 - a)^2}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{2a^2(1 - a)^2}{50}} = \sqrt{\dfrac{a^2(1 - a)^2}{25}} = \dfrac{|a| \cdot |1 - a|}{5} = \dfrac{a(a - 1)}{5}

(vì a>1a > 1 nên ∣a∣=a|a| = a và ∣1−a∣=a−1|1 - a| = a - 1).

Vận dụng 2. Biết rằng hình tam giác và hình chữ nhật ở Hình 3 có diện tích bằng nhau. Tam giác có đáy 32\sqrt{32} cm, chiều cao 27\sqrt{27} cm; hình chữ nhật có một cạnh 24\sqrt{24} cm và cạnh còn lại xx cm. Tính chiều rộng xx của hình chữ nhật.

Lời giải:

Diện tích tam giác =12⋅32⋅27=1232⋅27=12864=12⋅126=66= \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{32} \cdot \sqrt{27} = \dfrac{1}{2}\sqrt{32 \cdot 27} = \dfrac{1}{2}\sqrt{864} = \dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{6} = 6\sqrt{6} (cm²).

Diện tích hình chữ nhật =24⋅x=26⋅x= \sqrt{24} \cdot x = 2\sqrt{6} \cdot x.

Cho hai diện tích bằng nhau: 26⋅x=66  ⟺  x=32\sqrt{6} \cdot x = 6\sqrt{6} \iff x = 3 (cm).

Bài tập

Bài 1. Tính:

a) (−10)2\sqrt{(-10)^2}; b) (−27)2\sqrt{\left(-\dfrac{2}{7}\right)^2}; c) (−2)2−25(-\sqrt{2})^2 - \sqrt{25}; d) (−23)2⋅0,09\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^2 \cdot \sqrt{0{,}09}.

Lời giải:

a) (−10)2=∣−10∣=10\sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10.

b) (−27)2=27\sqrt{\left(-\dfrac{2}{7}\right)^2} = \dfrac{2}{7}.

c) (−2)2−25=2−5=−3(-\sqrt{2})^2 - \sqrt{25} = 2 - 5 = -3.

d) (−23)2⋅0,09=23⋅0,3=0,2\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^2 \cdot \sqrt{0{,}09} = \dfrac{2}{3} \cdot 0{,}3 = 0{,}2.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức:

a) (3−10)2\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2}; b) 2a2+4a2\sqrt{a^2} + 4a với a>0a > 0; c) a2+(3−a)2\sqrt{a^2} + \sqrt{(3 - a)^2} với 0<a<30 < a < 3.

Lời giải:

a) (3−10)2=∣3−10∣=10−3\sqrt{(3 - \sqrt{10})^2} = |3 - \sqrt{10}| = \sqrt{10} - 3 (vì 3<103 < \sqrt{10}).

b) 2a2+4a=2∣a∣+4a=2a+4a=6a2\sqrt{a^2} + 4a = 2|a| + 4a = 2a + 4a = 6a (vì a>0a > 0).

c) a2+(3−a)2=∣a∣+∣3−a∣=a+(3−a)=3\sqrt{a^2} + \sqrt{(3 - a)^2} = |a| + |3 - a| = a + (3 - a) = 3 (vì 0<a<30 < a < 3).

Bài 3. Tính:

a) 16⋅0,25\sqrt{16 \cdot 0{,}25}; b) 24⋅(−7)2\sqrt{2^4 \cdot (-7)^2}; c) 0,9⋅1 000\sqrt{0{,}9} \cdot \sqrt{1\,000}; d) 2⋅5⋅40\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{40}.

Lời giải:

a) 16⋅0,25=4⋅0,5=2\sqrt{16 \cdot 0{,}25} = 4 \cdot 0{,}5 = 2.

b) 24⋅(−7)2=24⋅72=4⋅7=28\sqrt{2^4 \cdot (-7)^2} = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{7^2} = 4 \cdot 7 = 28.

c) 0,9⋅1 000=900=30\sqrt{0{,}9} \cdot \sqrt{1\,000} = \sqrt{900} = 30.

d) 2⋅5⋅40=2⋅5⋅40=400=20\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{40} = \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 40} = \sqrt{400} = 20.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức:

a) 82⋅5\sqrt{8^2 \cdot 5}; b) 81a2\sqrt{81a^2} với a<0a < 0; c) 5a⋅45a−3a\sqrt{5a} \cdot \sqrt{45a} - 3a với a≥0a \ge 0.

Lời giải:

a) 82⋅5=85\sqrt{8^2 \cdot 5} = 8\sqrt{5}.

b) 81a2=9∣a∣=−9a\sqrt{81a^2} = 9|a| = -9a (vì a<0a < 0).

c) 5a⋅45a−3a=225a2−3a=15a−3a=12a\sqrt{5a} \cdot \sqrt{45a} - 3a = \sqrt{225a^2} - 3a = 15a - 3a = 12a (vì a≥0a \ge 0).

Bài 5. Tính:

a) 0,4981\sqrt{\dfrac{0{,}49}{81}}; b) 279\sqrt{2\dfrac{7}{9}}; c) 116⋅936\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{9}{36}}; d) (−52):13(-\sqrt{52}) : \sqrt{13}.

Lời giải:

a) 0,4981=0,79=790\sqrt{\dfrac{0{,}49}{81}} = \dfrac{0{,}7}{9} = \dfrac{7}{90}.

b) 279=259=53\sqrt{2\dfrac{7}{9}} = \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}.

c) 116⋅936=9576=324=18\sqrt{\dfrac{1}{16} \cdot \dfrac{9}{36}} = \sqrt{\dfrac{9}{576}} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}.

d) (−52):13=−5213=−4=−2(-\sqrt{52}) : \sqrt{13} = -\sqrt{\dfrac{52}{13}} = -\sqrt{4} = -2.

Bài 6. Rút gọn các biểu thức:

a) 5⋅610\dfrac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{10}}; b) 24a36a\dfrac{\sqrt{24a^3}}{\sqrt{6a}} với a>0a > 0; c) 3a2b27\sqrt{\dfrac{3a^2 b}{27}} với a≤0a \le 0, b≥0b \ge 0.

Lời giải:

a) 5⋅610=5⋅610=3\dfrac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\dfrac{5 \cdot 6}{10}} = \sqrt{3}.

b) 24a36a=24a36a=4a2=2a\dfrac{\sqrt{24a^3}}{\sqrt{6a}} = \sqrt{\dfrac{24a^3}{6a}} = \sqrt{4a^2} = 2a (vì a>0a > 0).

c) 3a2b27=a2b9=∣a∣b3=−ab3\sqrt{\dfrac{3a^2 b}{27}} = \sqrt{\dfrac{a^2 b}{9}} = \dfrac{|a|\sqrt{b}}{3} = \dfrac{-a\sqrt{b}}{3} (vì a≤0a \le 0 nên ∣a∣=−a|a| = -a; b≥0b \ge 0).

Bài 7. Cho hình chữ nhật có chiều rộng aa (cm), chiều dài bb (cm) và diện tích SS (cm²).

a) Tìm SS, biết a=8a = \sqrt{8}, b=32b = \sqrt{32}.

b) Tìm bb, biết S=32S = 3\sqrt{2}, a=23a = 2\sqrt{3}.

Lời giải:

a) S=ab=8⋅32=256=16S = ab = \sqrt{8} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{256} = 16 (cm²).

b) b=Sa=3223=32⋅32⋅3=366=62b = \dfrac{S}{a} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{3\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} (cm).

Bài 8. Từ một tấm thép hình vuông, người thợ cắt ra hai mảnh hình vuông có diện tích lần lượt là 2424 cm² và 4040 cm² như Hình 4. Tính diện tích phần còn lại của tấm thép.

Lời giải:

Cạnh hai mảnh vuông là 24\sqrt{24} cm và 40\sqrt{40} cm; hai mảnh này ghép sát nhau nên cạnh tấm thép hình vuông ban đầu bằng 24+40=26+210\sqrt{24} + \sqrt{40} = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} (cm).

Diện tích tấm thép ban đầu: (26+210)2=4⋅6+2⋅26⋅210+4⋅10=24+860+40=64+1615\left(2\sqrt{6} + 2\sqrt{10}\right)^2 = 4 \cdot 6 + 2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{10} + 4 \cdot 10 = 24 + 8\sqrt{60} + 40 = 64 + 16\sqrt{15} (cm²).

Diện tích phần còn lại (bỏ hai mảnh đã cắt):

S=64+1615−24−40=1615≈61,97 (cm2).S = 64 + 16\sqrt{15} - 24 - 40 = 16\sqrt{15} \approx 61{,}97 \text{ (cm}^2\text{)}.

Đố vui. Tìm chỗ sai trong phép chứng minh "voi con nặng bằng voi mẹ": từ M2−2Mm+m2=m2−2mM+M2M^2 - 2Mm + m^2 = m^2 - 2mM + M^2 suy ra (M−m)2=(m−M)2(M - m)^2 = (m - M)^2, rồi (M−m)2=(m−M)2\sqrt{(M - m)^2} = \sqrt{(m - M)^2}, dẫn đến M−m=m−MM - m = m - M, nên M=mM = m.

Lời giải:

Chỗ sai ở bước lấy căn: (M−m)2=∣M−m∣\sqrt{(M - m)^2} = |M - m| và (m−M)2=∣m−M∣\sqrt{(m - M)^2} = |m - M|. Hai giá trị tuyệt đối này bằng nhau (vì ∣M−m∣=∣m−M∣|M - m| = |m - M|) là đúng, nhưng không được suy ra M−m=m−MM - m = m - M (bỏ dấu giá trị tuyệt đối một cách tùy tiện). Vì M>mM > m nên ∣M−m∣=M−m|M - m| = M - m còn ∣m−M∣=M−m|m - M| = M - m; đẳng thức chỉ cho M−m=M−mM - m = M - m (hiển nhiên), không cho M=mM = m. Vậy kết luận "voi con nặng bằng voi mẹ" là sai do bỏ dấu trị tuyệt đối không đúng.