Bài 4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
1. Trục căn thức ở mẫu
HĐ1. Bốn ô cửa hình vuông diện tích 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1
a) Hai bạn An và Mai tính độ dài cạnh a a a a = 1 2 a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} a = 2 1 a = 2 2 a = \dfrac{\sqrt{2}}{2} a = 2 2
b) Biết 2 ≈ 1,4142 \sqrt{2} \approx 1{,}4142 2 ≈ 1 , 4142
Lời giải:
a) Diện tích ô cửa = a 2 = 1 2 = a^2 = \dfrac{1}{2} = a 2 = 2 1 a = 1 2 a = \dfrac{1}{\sqrt{2}} a = 2 1 1 2 = 1 ⋅ 2 2 ⋅ 2 = 2 2 \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} 2 1 = 2 ⋅ 2 1 ⋅ 2 = 2 2 cả hai bạn đều đúng — hai cách viết cùng một số.
b) An tính 1 2 ≈ 1 : 1,4142 \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 1 : 1{,}4142 2 1 ≈ 1 : 1 , 4142 1,4142 1{,}4142 1 , 4142 2 2 ≈ 1,4142 : 2 = 0,7071 \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 1{,}4142 : 2 = 0{,}7071 2 2 ≈ 1 , 4142 : 2 = 0 , 7071 2 2 2 bạn Mai tìm ra đáp số nhanh hơn nhờ đã trục căn thức ở mẫu.
Phép biến đổi để khử căn thức ở mẫu gọi là trục căn thức ở mẫu . Với a b \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} b a a ≥ 0 a \ge 0 a ≥ 0 b > 0 b > 0 b > 0 a b = a ⋅ b b ⋅ b = a b b \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{ab}}{b} b a = b ⋅ b a ⋅ b = b ab
Ví dụ 1. Trục căn thức ở mẫu:
a) 2 5 \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} 5 2 3 2 6 \dfrac{3}{2\sqrt{6}} 2 6 3 − 4 3 2 -\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} − 2 4 3
Lời giải:
a) 2 5 = 2 ⋅ 5 5 ⋅ 5 = 10 5 \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{10}}{5} 5 2 = 5 ⋅ 5 2 ⋅ 5 = 5 10
b) 3 2 6 = 3 ⋅ 6 2 6 ⋅ 6 = 3 6 12 = 6 4 \dfrac{3}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{12} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} 2 6 3 = 2 6 ⋅ 6 3 ⋅ 6 = 12 3 6 = 4 6
c) − 4 3 2 = − 4 3 ⋅ 2 2 ⋅ 2 = − 4 6 2 = − 2 6 -\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\dfrac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\dfrac{4\sqrt{6}}{2} = -2\sqrt{6} − 2 4 3 = − 2 ⋅ 2 4 3 ⋅ 2 = − 2 4 6 = − 2 6
Ví dụ 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
a) 2 5 \sqrt{\dfrac{2}{5}} 5 2 2 a 3 b \sqrt{\dfrac{2a}{3b}} 3 b 2 a a b > 0 ab > 0 ab > 0
Lời giải:
a) 2 5 = 2 ⋅ 5 5 ⋅ 5 = 10 5 2 = 10 5 \sqrt{\dfrac{2}{5}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5}} = \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{5^2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{5} 5 2 = 5 ⋅ 5 2 ⋅ 5 = 5 2 10 = 5 10
b) 2 a 3 b = 2 a ⋅ 3 b 3 b ⋅ 3 b = 6 a b ( 3 b ) 2 = 6 a b 3 ∣ b ∣ \sqrt{\dfrac{2a}{3b}} = \sqrt{\dfrac{2a \cdot 3b}{3b \cdot 3b}} = \dfrac{\sqrt{6ab}}{\sqrt{(3b)^2}} = \dfrac{\sqrt{6ab}}{3|b|} 3 b 2 a = 3 b ⋅ 3 b 2 a ⋅ 3 b = ( 3 b ) 2 6 ab = 3∣ b ∣ 6 ab
Ví dụ 3. Trục căn thức ở mẫu:
a) 4 3 − 1 \dfrac{4}{\sqrt{3} - 1} 3 − 1 4 2 5 + 3 \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} 5 + 3 2
Lời giải:
a) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp 3 + 1 \sqrt{3} + 1 3 + 1
4 3 − 1 = 4 ( 3 + 1 ) ( 3 − 1 ) ( 3 + 1 ) = 4 ( 3 + 1 ) ( 3 ) 2 − 1 = 4 ( 3 + 1 ) 2 = 2 3 + 2. \frac{4}{\sqrt{3} - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{2} = 2\sqrt{3} + 2. 3 − 1 4 = ( 3 − 1 ) ( 3 + 1 ) 4 ( 3 + 1 ) = ( 3 ) 2 − 1 4 ( 3 + 1 ) = 2 4 ( 3 + 1 ) = 2 3 + 2.
b) Nhân với liên hợp 5 − 3 \sqrt{5} - \sqrt{3} 5 − 3
2 5 + 3 = 2 ( 5 − 3 ) ( 5 + 3 ) ( 5 − 3 ) = 2 ( 5 − 3 ) 5 − 3 = 5 − 3 . \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} - \sqrt{3}. 5 + 3 2 = ( 5 + 3 ) ( 5 − 3 ) 2 ( 5 − 3 ) = 5 − 3 2 ( 5 − 3 ) = 5 − 3 .
(Biểu thức 3 − 1 \sqrt{3} - 1 3 − 1 3 + 1 \sqrt{3} + 1 3 + 1 biểu thức liên hợp với nhau.)
Ví dụ 4. Trục căn thức ở mẫu:
a) 1 x − 3 \dfrac{1}{\sqrt{x} - 3} x − 3 1 x ≥ 0 x \ge 0 x ≥ 0 x ≠ 9 x \ne 9 x = 9 x 2 x + y \dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + \sqrt{y}} 2 x + y x x > 0 x > 0 x > 0 y > 0 y > 0 y > 0
Lời giải:
a) 1 x − 3 = x + 3 ( x − 3 ) ( x + 3 ) = x + 3 x − 9 \dfrac{1}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{x - 9} x − 3 1 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) x + 3 = x − 9 x + 3
b) x 2 x + y = x ( 2 x − y ) ( 2 x + y ) ( 2 x − y ) = 2 x − x y 4 x − y \dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \dfrac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - \sqrt{y})}{(2\sqrt{x} + \sqrt{y})(2\sqrt{x} - \sqrt{y})} = \dfrac{2x - \sqrt{xy}}{4x - y} 2 x + y x = ( 2 x + y ) ( 2 x − y ) x ( 2 x − y ) = 4 x − y 2 x − x y
Thực hành 1. Trục căn thức ở mẫu:
a) 7 3 \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} 3 7 − 10 3 5 -\dfrac{10}{3\sqrt{5}} − 3 5 10 2 2 40 \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{40}} 40 2 2 2 5 − 2 \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} 5 − 2 2
Lời giải:
a) 7 3 = 7 ⋅ 3 3 = 21 3 \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{21}}{3} 3 7 = 3 7 ⋅ 3 = 3 21
b) − 10 3 5 = − 10 5 3 ⋅ 5 = − 10 5 15 = − 2 5 3 -\dfrac{10}{3\sqrt{5}} = -\dfrac{10\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = -\dfrac{10\sqrt{5}}{15} = -\dfrac{2\sqrt{5}}{3} − 3 5 10 = − 3 ⋅ 5 10 5 = − 15 10 5 = − 3 2 5
c) 2 2 40 = 2 2 2 10 = 2 10 = 2 ⋅ 10 10 = 20 10 = 2 5 10 = 5 5 \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{40}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{10} = \dfrac{\sqrt{20}}{10} = \dfrac{2\sqrt{5}}{10} = \dfrac{\sqrt{5}}{5} 40 2 2 = 2 10 2 2 = 10 2 = 10 2 ⋅ 10 = 10 20 = 10 2 5 = 5 5
d) 2 5 − 2 = 2 ( 5 + 2 ) ( 5 − 2 ) ( 5 + 2 ) = 10 + 2 5 − 2 = 10 + 2 3 \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \dfrac{\sqrt{10} + 2}{5 - 2} = \dfrac{\sqrt{10} + 2}{3} 5 − 2 2 = ( 5 − 2 ) ( 5 + 2 ) 2 ( 5 + 2 ) = 5 − 2 10 + 2 = 3 10 + 2
Thực hành 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
a) 11 6 \sqrt{\dfrac{11}{6}} 6 11 a 2 5 a a\sqrt{\dfrac{2}{5a}} a 5 a 2 a > 0 a > 0 a > 0 4 x 3 4 x y 4x\sqrt{\dfrac{3}{4xy}} 4 x 4 x y 3 x > 0 x > 0 x > 0 y > 0 y > 0 y > 0
Lời giải:
a) 11 6 = 11 ⋅ 6 36 = 66 6 \sqrt{\dfrac{11}{6}} = \sqrt{\dfrac{11 \cdot 6}{36}} = \dfrac{\sqrt{66}}{6} 6 11 = 36 11 ⋅ 6 = 6 66
b) a 2 5 a = a 2 ⋅ 5 a 25 a 2 = a ⋅ 10 a 5 a = 10 a 5 a\sqrt{\dfrac{2}{5a}} = a\sqrt{\dfrac{2 \cdot 5a}{25a^2}} = a \cdot \dfrac{\sqrt{10a}}{5a} = \dfrac{\sqrt{10a}}{5} a 5 a 2 = a 25 a 2 2 ⋅ 5 a = a ⋅ 5 a 10 a = 5 10 a a > 0 a > 0 a > 0
c) 4 x 3 4 x y = 4 x 3 ⋅ 4 x y ( 4 x y ) 2 = 4 x ⋅ 12 x y 4 x y = 12 x y y = 2 3 x y y 4x\sqrt{\dfrac{3}{4xy}} = 4x\sqrt{\dfrac{3 \cdot 4xy}{(4xy)^2}} = 4x \cdot \dfrac{\sqrt{12xy}}{4xy} = \dfrac{\sqrt{12xy}}{y} = \dfrac{2\sqrt{3xy}}{y} 4 x 4 x y 3 = 4 x ( 4 x y ) 2 3 ⋅ 4 x y = 4 x ⋅ 4 x y 12 x y = y 12 x y = y 2 3 x y x , y > 0 x, y > 0 x , y > 0
Vận dụng 1. Biết rằng hình thang và hình chữ nhật ở Hình 2 có diện tích bằng nhau. Hình thang có hai đáy 12 \sqrt{12} 12 24 \sqrt{24} 24 h h h 12 \sqrt{12} 12 18 \sqrt{18} 18 h h h
Lời giải:
Diện tích hình chữ nhật = 12 ⋅ 18 = 216 = 6 6 = \sqrt{12} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} = 12 ⋅ 18 = 216 = 6 6
Diện tích hình thang = 1 2 ( 12 + 24 ) ⋅ h = 1 2 ( 2 3 + 2 6 ) ⋅ h = ( 3 + 6 ) h = \dfrac{1}{2}(\sqrt{12} + \sqrt{24}) \cdot h = \dfrac{1}{2}(2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}) \cdot h = (\sqrt{3} + \sqrt{6})h = 2 1 ( 12 + 24 ) ⋅ h = 2 1 ( 2 3 + 2 6 ) ⋅ h = ( 3 + 6 ) h
Cho hai diện tích bằng nhau: ( 3 + 6 ) h = 6 6 (\sqrt{3} + \sqrt{6})h = 6\sqrt{6} ( 3 + 6 ) h = 6 6
h = 6 6 3 + 6 = 6 6 ( 6 − 3 ) ( 6 + 3 ) ( 6 − 3 ) = 6 6 ( 6 − 3 ) 3 = 2 6 ( 6 − 3 ) = 12 − 2 18 = 12 − 6 2 . h = \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})} = \frac{6\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{3})}{3} = 2\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 12 - 2\sqrt{18} = 12 - 6\sqrt{2}. h = 3 + 6 6 6 = ( 6 + 3 ) ( 6 − 3 ) 6 6 ( 6 − 3 ) = 3 6 6 ( 6 − 3 ) = 2 6 ( 6 − 3 ) = 12 − 2 18 = 12 − 6 2 .
Vậy h = 12 − 6 2 ≈ 3,51 h = 12 - 6\sqrt{2} \approx 3{,}51 h = 12 − 6 2 ≈ 3 , 51
2. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
HĐ2. Hình vuông A B C D ABCD A B C D
a) Tính độ dài đường chéo của hai hình vuông A M I N AMIN A M I N 2 2 2 C E I F CEIF C E I F 3 3 3
b) Tính độ dài đường chéo của hình vuông A B C D ABCD A B C D
Lời giải:
a) Đường chéo hình vuông cạnh a a a a 2 a\sqrt{2} a 2 A M I N AMIN A M I N 2 2 2\sqrt{2} 2 2 C E I F CEIF C E I F 3 2 3\sqrt{2} 3 2
b) Hình vuông A B C D ABCD A B C D = 2 + 3 = 5 = 2 + 3 = 5 = 2 + 3 = 5
Cách 1: đường chéo = 5 2 = 5\sqrt{2} = 5 2
Cách 2: đường chéo A C AC A C I I I A C = 2 2 + 3 2 = 5 2 AC = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} A C = 2 2 + 3 2 = 5 2
Hai cách cho cùng kết quả 5 2 5\sqrt{2} 5 2
Ví dụ minh họa cách rút gọn: P = 8 + 18 = 2 2 + 3 2 = ( 2 + 3 ) 2 = 5 2 P = \sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (2 + 3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} P = 8 + 18 = 2 2 + 3 2 = ( 2 + 3 ) 2 = 5 2
Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức:
a) 24 − 4 6 \sqrt{24} - 4\sqrt{6} 24 − 4 6 12 + 27 − 48 \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48} 12 + 27 − 48 ( 8 + 3 ) 6 (\sqrt{8} + \sqrt{3})\sqrt{6} ( 8 + 3 ) 6
Lời giải:
a) 24 − 4 6 = 2 2 ⋅ 6 − 4 6 = 2 6 − 4 6 = − 2 6 \sqrt{24} - 4\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} - 4\sqrt{6} = 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6} = -2\sqrt{6} 24 − 4 6 = 2 2 ⋅ 6 − 4 6 = 2 6 − 4 6 = − 2 6
b) 12 + 27 − 48 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = ( 2 + 3 − 4 ) 3 = 3 \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2 + 3 - 4)\sqrt{3} = \sqrt{3} 12 + 27 − 48 = 2 3 + 3 3 − 4 3 = ( 2 + 3 − 4 ) 3 = 3
c) ( 8 + 3 ) 6 = 8 ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 = 48 + 18 = 4 3 + 3 2 (\sqrt{8} + \sqrt{3})\sqrt{6} = \sqrt{8 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 6} = \sqrt{48} + \sqrt{18} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{2} ( 8 + 3 ) 6 = 8 ⋅ 6 + 3 ⋅ 6 = 48 + 18 = 4 3 + 3 2
Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức:
a) 9 a + a 4 − a 4 a + 1 2 a a 3 \sqrt{9a} + \sqrt{\dfrac{a}{4}} - a\sqrt{\dfrac{4}{a}} + \dfrac{1}{2a}\sqrt{a^3} 9 a + 4 a − a a 4 + 2 a 1 a 3 a > 0 a > 0 a > 0 1 + a a 1 + a \dfrac{1 + a\sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} 1 + a 1 + a a a ≥ 0 a \ge 0 a ≥ 0
Lời giải:
a) 9 a = 3 a \sqrt{9a} = 3\sqrt{a} 9 a = 3 a a 4 = a 2 \sqrt{\dfrac{a}{4}} = \dfrac{\sqrt{a}}{2} 4 a = 2 a a 4 a = a ⋅ 2 a = 2 a a\sqrt{\dfrac{4}{a}} = a \cdot \dfrac{2}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} a a 4 = a ⋅ a 2 = 2 a 1 2 a a 3 = 1 2 a ⋅ a a = 1 2 a \dfrac{1}{2a}\sqrt{a^3} = \dfrac{1}{2a} \cdot a\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\sqrt{a} 2 a 1 a 3 = 2 a 1 ⋅ a a = 2 1 a
Vậy tổng = 3 a + a 2 − 2 a + 1 2 a = ( 3 + 1 2 − 2 + 1 2 ) a = 2 a = 3\sqrt{a} + \dfrac{\sqrt{a}}{2} - 2\sqrt{a} + \dfrac{1}{2}\sqrt{a} = \left(3 + \dfrac{1}{2} - 2 + \dfrac{1}{2}\right)\sqrt{a} = 2\sqrt{a} = 3 a + 2 a − 2 a + 2 1 a = ( 3 + 2 1 − 2 + 2 1 ) a = 2 a
b) Vì 1 + a a = 1 + ( a ) 3 = ( 1 + a ) ( 1 − a + a ) 1 + a\sqrt{a} = 1 + (\sqrt{a})^3 = (1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a} + a) 1 + a a = 1 + ( a ) 3 = ( 1 + a ) ( 1 − a + a )
1 + a a 1 + a = ( 1 + a ) ( 1 − a + a ) 1 + a = 1 − a + a . \frac{1 + a\sqrt{a}}{1 + \sqrt{a}} = \frac{(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a} + a)}{1 + \sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a} + a. 1 + a 1 + a a = 1 + a ( 1 + a ) ( 1 − a + a ) = 1 − a + a .
Thực hành 3. Rút gọn các biểu thức:
a) 20 − 5 \sqrt{20} - \sqrt{5} 20 − 5 32 − 18 + 4 2 \sqrt{32} - \sqrt{18} + \dfrac{4}{\sqrt{2}} 32 − 18 + 2 4 ( 2 − 10 ) ( 2 − 5 ) (2 - \sqrt{10})(\sqrt{2} - \sqrt{5}) ( 2 − 10 ) ( 2 − 5 )
Lời giải:
a) 20 − 5 = 2 5 − 5 = 5 \sqrt{20} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - \sqrt{5} = \sqrt{5} 20 − 5 = 2 5 − 5 = 5
b) 32 − 18 + 4 2 = 4 2 − 3 2 + 4 2 2 = 4 2 − 3 2 + 2 2 = 3 2 \sqrt{32} - \sqrt{18} + \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} 32 − 18 + 2 4 = 4 2 − 3 2 + 2 4 2 = 4 2 − 3 2 + 2 2 = 3 2
c) ( 2 − 10 ) ( 2 − 5 ) = 2 2 − 2 5 − 20 + 50 = 2 2 − 2 5 − 2 5 + 5 2 = 7 2 − 4 5 (2 - \sqrt{10})(\sqrt{2} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - \sqrt{20} + \sqrt{50} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2} = 7\sqrt{2} - 4\sqrt{5} ( 2 − 10 ) ( 2 − 5 ) = 2 2 − 2 5 − 20 + 50 = 2 2 − 2 5 − 2 5 + 5 2 = 7 2 − 4 5