Bài 4 (tiếp). Bài tập

Thực hành 4. Rút gọn các biểu thức:

a) 239x3+4xx4−x21x\dfrac{2}{3}\sqrt{9x^3} + 4x\sqrt{\dfrac{x}{4}} - x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}} với x>0x > 0; b) a2−5a+5\dfrac{a^2 - 5}{a + \sqrt{5}} với a≠−5a \ne -\sqrt{5}.

Lời giải:

a) 239x3=23⋅3xx=2xx\dfrac{2}{3}\sqrt{9x^3} = \dfrac{2}{3} \cdot 3x\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}; 4xx4=4x⋅x2=2xx4x\sqrt{\dfrac{x}{4}} = 4x \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{2} = 2x\sqrt{x}; x21x=x2⋅1x=x2⋅xx=xxx^2\sqrt{\dfrac{1}{x}} = x^2 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^2 \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{x} = x\sqrt{x}.

Vậy biểu thức =2xx+2xx−xx=3xx= 2x\sqrt{x} + 2x\sqrt{x} - x\sqrt{x} = 3x\sqrt{x}.

b) a2−5a+5=(a−5)(a+5)a+5=a−5\dfrac{a^2 - 5}{a + \sqrt{5}} = \dfrac{(a - \sqrt{5})(a + \sqrt{5})}{a + \sqrt{5}} = a - \sqrt{5}.

Vận dụng 2. Trả lời câu hỏi mở đầu (trang 52): Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp hai thửa ruộng hình vuông diện tích 1818 dam² và 3232 dam². Khu đất tam giác vuông có chu vi bằng chu vi thửa ruộng bé không?

Lời giải:

Hai cạnh góc vuông của tam giác chính là cạnh hai thửa ruộng hình vuông: 18=32\sqrt{18} = 3\sqrt{2} (dam) và 32=42\sqrt{32} = 4\sqrt{2} (dam).

Cạnh huyền =(18)2+(32)2=18+32=50=52= \sqrt{(\sqrt{18})^2 + (\sqrt{32})^2} = \sqrt{18 + 32} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} (dam).

Chu vi tam giác vuông =32+42+52=122= 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 12\sqrt{2} (dam).

Thửa ruộng bé có diện tích 1818 dam², cạnh 18=32\sqrt{18} = 3\sqrt{2} dam, chu vi =4⋅32=122= 4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2} (dam).

Vậy chu vi khu đất tam giác vuông bằng chu vi thửa ruộng bé (đều bằng 12212\sqrt{2} dam).

Bài tập

Bài 1. Trục căn thức ở mẫu:

a) 252\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}; b) 1035\dfrac{10}{3\sqrt{5}}; c) −3a12a-\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}} với a>0a > 0.

Lời giải:

a) 252=25⋅22=10\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}.

b) 1035=1053⋅5=253\dfrac{10}{3\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}.

c) −3a12a=−3a23a=−3a⋅3a2⋅3a=−3a36a=−32-\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{12a}} = -\dfrac{3\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = -\dfrac{3\sqrt{a} \cdot \sqrt{3a}}{2 \cdot 3a} = -\dfrac{3a\sqrt{3}}{6a} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Bài 2. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) 47\sqrt{\dfrac{4}{7}}; b) 524\sqrt{\dfrac{5}{24}}; c) 23a3\sqrt{\dfrac{2}{3a^3}} với a>0a > 0; d) 2aba22b2ab\sqrt{\dfrac{a^2}{2b}} với a<0a < 0, b>0b > 0.

Lời giải:

a) 47=27=277\sqrt{\dfrac{4}{7}} = \dfrac{2}{\sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}.

b) 524=5⋅24242=12024=23024=3012\sqrt{\dfrac{5}{24}} = \sqrt{\dfrac{5 \cdot 24}{24^2}} = \dfrac{\sqrt{120}}{24} = \dfrac{2\sqrt{30}}{24} = \dfrac{\sqrt{30}}{12}.

c) 23a3=2⋅3a9a4=6a3a2\sqrt{\dfrac{2}{3a^3}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 3a}{9a^4}} = \dfrac{\sqrt{6a}}{3a^2} (vì a>0a > 0).

d) 2aba22b=2ab⋅∣a∣2b=2ab⋅−a2b2b=−a22b2ab\sqrt{\dfrac{a^2}{2b}} = 2ab \cdot \dfrac{|a|}{\sqrt{2b}} = 2ab \cdot \dfrac{-a\sqrt{2b}}{2b} = -a^2\sqrt{2b} (vì a<0a < 0 nên ∣a∣=−a|a| = -a; b>0b > 0).

Bài 3. Trục căn thức ở mẫu:

a) 413−3\dfrac{4}{\sqrt{13} - 3}; b) 105+25\dfrac{10}{5 + 2\sqrt{5}}; c) a−ba+b\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} với a>0a > 0, b>0b > 0, a≠ba \ne b.

Lời giải:

a) 413−3=4(13+3)13−9=4(13+3)4=13+3\dfrac{4}{\sqrt{13} - 3} = \dfrac{4(\sqrt{13} + 3)}{13 - 9} = \dfrac{4(\sqrt{13} + 3)}{4} = \sqrt{13} + 3.

b) 105+25=10(5−25)25−20=10(5−25)5=2(5−25)=10−45\dfrac{10}{5 + 2\sqrt{5}} = \dfrac{10(5 - 2\sqrt{5})}{25 - 20} = \dfrac{10(5 - 2\sqrt{5})}{5} = 2(5 - 2\sqrt{5}) = 10 - 4\sqrt{5}.

c) a−ba+b=(a−b)2(a+b)(a−b)=a−2ab+ba−b\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \dfrac{a - 2\sqrt{ab} + b}{a - b}.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức:

a) 23−272\sqrt{3} - \sqrt{27}; b) 45−20+5\sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5}; c) 64a−18−a9a+50\sqrt{64a} - \sqrt{18} - a\sqrt{\dfrac{9}{a}} + \sqrt{50} với a>0a > 0.

Lời giải:

a) 23−27=23−33=−32\sqrt{3} - \sqrt{27} = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -\sqrt{3}.

b) 45−20+5=35−25+5=25\sqrt{45} - \sqrt{20} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}.

c) 64a=8a\sqrt{64a} = 8\sqrt{a}; 18=32\sqrt{18} = 3\sqrt{2}; a9a=a⋅3a=3aa\sqrt{\dfrac{9}{a}} = a \cdot \dfrac{3}{\sqrt{a}} = 3\sqrt{a}; 50=52\sqrt{50} = 5\sqrt{2}. Vậy:

8a−32−3a+52=5a+22.8\sqrt{a} - 3\sqrt{2} - 3\sqrt{a} + 5\sqrt{2} = 5\sqrt{a} + 2\sqrt{2}.

Bài 5. Tính:

a) (43+3)6\left(\sqrt{\dfrac{4}{3}} + \sqrt{3}\right)\sqrt{6}; b) 18:6+8⋅272\sqrt{18} : \sqrt{6} + \sqrt{8} \cdot \sqrt{\dfrac{27}{2}}; c) (1−25)2(1 - 2\sqrt{5})^2.

Lời giải:

a) 43=23=233\sqrt{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}. Vậy (233+3)6=2336+36=2183+18=2⋅323+32=22+32=52\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}\right)\sqrt{6} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{6} = \dfrac{2\sqrt{18}}{3} + \sqrt{18} = \dfrac{2 \cdot 3\sqrt{2}}{3} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.

b) 18:6=3\sqrt{18} : \sqrt{6} = \sqrt{3}; 8⋅272=8⋅272=108=63\sqrt{8} \cdot \sqrt{\dfrac{27}{2}} = \sqrt{8 \cdot \dfrac{27}{2}} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}. Vậy tổng =3+63=73= \sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 7\sqrt{3}.

c) (1−25)2=1−45+4⋅5=1−45+20=21−45(1 - 2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4 \cdot 5 = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}.

Bài 6. Chứng minh rằng:

a) ab−baab:1a+b=a−b\dfrac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} : \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = a - b với a>0a > 0, b>0b > 0;

b) (1+a+aa+1)(1−a−aa−1)=1−a\left(1 + \dfrac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}\right)\left(1 - \dfrac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}\right) = 1 - a với a≥0a \ge 0, a≠1a \ne 1.

Lời giải:

a) ab−baab=ab(a−b)ab=a−b\dfrac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} = \dfrac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} (vì ab−ba=ab(a−b)a\sqrt{b} - b\sqrt{a} = \sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})).

Do đó ab−baab:1a+b=(a−b)(a+b)=a−b\dfrac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} : \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b (điều phải chứng minh).

b) a+aa+1=a(a+1)a+1=a\dfrac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} = \dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1} = \sqrt{a}, nên 1+a1 + \sqrt{a}.

a−aa−1=a(a−1)a−1=a\dfrac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} = \dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - 1} = \sqrt{a}, nên 1−a1 - \sqrt{a}.

Vậy tích =(1+a)(1−a)=1−a= (1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1 - a (điều phải chứng minh).

Bài 7. Tam giác ABCABC được vẽ trên lưới ô vuông như Hình 4 (mỗi ô cạnh 11 cm). Tính diện tích và chu vi của tam giác ABCABC.

Lời giải:

Phương pháp: đặt hệ trục theo lưới ô vuông rồi đọc tọa độ ba đỉnh. Với ba đỉnh AA, BB, CC trên lưới:

  • Độ dài mỗi cạnh tính theo định lí Pythagore: nếu hai đỉnh cách nhau pp ô theo chiều ngang và qq ô theo chiều dọc thì cạnh nối chúng dài p2+q2\sqrt{p^2 + q^2} cm.
  • Diện tích tính bằng công thức tọa độ: S=12∣xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB)∣S = \dfrac{1}{2}\left|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)\right|, hoặc lấy diện tích hình chữ nhật bao quanh tam giác trừ đi diện tích các tam giác vuông ở các góc.

Áp dụng với các đỉnh đọc từ Hình 4 — CC ở góc dưới bên trái, BB ở phía phải thấp hơn AA, AA ở trên cùng bên phải; chẳng hạn C(0;0)C(0; 0), B(6;1)B(6; 1), A(6;4)A(6; 4) (cạnh ABAB thẳng đứng dài 33 cm như phần ghi chú "11 cm" trên hình):

Diện tích: S=12∣0(1−4)+6(4−0)+6(0−1)∣=12∣24−6∣=9S = \dfrac{1}{2}\left|0(1 - 4) + 6(4 - 0) + 6(0 - 1)\right| = \dfrac{1}{2}|24 - 6| = 9 (cm²).

Chu vi: AB=02+32=3AB = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3; BC=62+12=37BC = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}; CA=62+42=52=213CA = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Chu vi =3+37+213≈3+6,08+7,21=16,29= 3 + \sqrt{37} + 2\sqrt{13} \approx 3 + 6{,}08 + 7{,}21 = 16{,}29 (cm).

(Lưu ý: tọa độ ba đỉnh phụ thuộc cách đọc lưới trong Hình 4; nếu vị trí đỉnh khác, thay số vào hai công thức trên để tính lại — phương pháp giữ nguyên.)

Bài 8. Một vườn hoa gồm ba thửa hình vuông X, Y, Z lần lượt có diện tích 3232 m², 1818 m², 88 m² (Hình 5). Tính chu vi của vườn hoa đó.

Lời giải:

Cạnh các thửa vuông: X=32=42X = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}; Y=18=32Y = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}; Z=8=22Z = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} (m).

Ba thửa xếp liền nhau, đáy thẳng hàng, chiều cao giảm dần từ X đến Z tạo thành hình bậc thang (Hình 5). Đi vòng quanh đường bao, ta cộng các đoạn:

  • Đáy dưới (nằm ngang): 42+32+22=924\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 9\sqrt{2};
  • Cạnh trái (cao bằng thửa X): 424\sqrt{2};
  • Đỉnh X (nằm ngang): 424\sqrt{2};
  • Bậc từ X xuống Y (đoạn đứng): 42−32=24\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2};
  • Đỉnh Y (nằm ngang): 323\sqrt{2};
  • Bậc từ Y xuống Z (đoạn đứng): 32−22=23\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2};
  • Đỉnh Z (nằm ngang): 222\sqrt{2};
  • Cạnh phải (cao bằng thửa Z): 222\sqrt{2}.

Chu vi =92+42+42+2+32+2+22+22=262= 9\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + \sqrt{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 26\sqrt{2} (m).

Vậy chu vi vườn hoa là 262≈36,826\sqrt{2} \approx 36{,}8 (m).