Bài tập cuối chương 3 — Tự luận

Bài 11. Tìm xx, biết:

a) x2=10x^2 = 10; b) x=8\sqrt{x} = 8; c) x3=−0,027x^3 = -0{,}027; d) x3=−23\sqrt[3]{x} = -\dfrac{2}{3}.

Lời giải:

a) x=±10x = \pm\sqrt{10}.

b) Điều kiện x≥0x \ge 0: x=82=64x = 8^2 = 64.

c) x=−0,0273=−0,3x = \sqrt[3]{-0{,}027} = -0{,}3.

d) x=(−23)3=−827x = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^3 = -\dfrac{8}{27}.

Bài 12. Biết rằng 1<a<51 < a < 5, rút gọn biểu thức A=(a−1)2+(a−5)2A = \sqrt{(a - 1)^2} + \sqrt{(a - 5)^2}.

Lời giải:

A=∣a−1∣+∣a−5∣A = |a - 1| + |a - 5|. Vì 1<a<51 < a < 5 nên a−1>0a - 1 > 0 và a−5<0a - 5 < 0, do đó:

A=(a−1)+(5−a)=4.A = (a - 1) + (5 - a) = 4.

Bài 13. Trục căn thức ở mẫu:

a) 4−2648\dfrac{4 - 2\sqrt{6}}{\sqrt{48}}; b) 3−53+5\dfrac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}; c) aa−a\dfrac{a}{a - \sqrt{a}} với a>0a > 0, a≠1a \ne 1.

Lời giải:

a) 4−2648=2(2−6)43=2−623=(2−6)32⋅3=23−186=23−326\dfrac{4 - 2\sqrt{6}}{\sqrt{48}} = \dfrac{2(2 - \sqrt{6})}{4\sqrt{3}} = \dfrac{2 - \sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{(2 - \sqrt{6})\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{2\sqrt{3} - \sqrt{18}}{6} = \dfrac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}{6}.

b) 3−53+5=(3−5)2(3+5)(3−5)=9−65+59−5=14−654=7−352\dfrac{3 - \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{(3 - \sqrt{5})^2}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \dfrac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{9 - 5} = \dfrac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}.

c) aa−a=aa(a−1)=aa−1=a(a+1)(a−1)(a+1)=a+aa−1\dfrac{a}{a - \sqrt{a}} = \dfrac{a}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} = \dfrac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \dfrac{a + \sqrt{a}}{a - 1}.

Bài 14. Biết rằng a>0a > 0, b>0b > 0 và ab=16ab = 16. Tính giá trị của biểu thức A=a12ba+b3abA = a\sqrt{\dfrac{12b}{a}} + b\sqrt{\dfrac{3a}{b}}.

Lời giải:

a12ba=a2⋅12ba=12aba\sqrt{\dfrac{12b}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \dfrac{12b}{a}} = \sqrt{12ab}; b3ab=b2⋅3ab=3abb\sqrt{\dfrac{3a}{b}} = \sqrt{b^2 \cdot \dfrac{3a}{b}} = \sqrt{3ab}.

Với ab=16ab = 16: A=12⋅16+3⋅16=192+48=83+43=123A = \sqrt{12 \cdot 16} + \sqrt{3 \cdot 16} = \sqrt{192} + \sqrt{48} = 8\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}.

Bài 15. Tính 3+23−2−3−23+2\dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}.

Lời giải:

Mẫu chung (3−2)(3+2)=3−2=1(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1. Tử:

(3+2)2−(3−2)2=(5+26)−(5−26)=46.(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (5 + 2\sqrt{6}) - (5 - 2\sqrt{6}) = 4\sqrt{6}.

Vậy biểu thức =461=46= \dfrac{4\sqrt{6}}{1} = 4\sqrt{6}.

Bài 16. Một trục số được vẽ trên lưới ô vuông như Hình 1.

a) Đường tròn tâm OO bán kính OAOA cắt trục số tại hai điểm MM và NN. Hai điểm MM, NN biểu diễn hai số thực nào?

b) Đường tròn tâm BB bán kính BCBC cắt trục số tại hai điểm PP và QQ. Hai điểm PP, QQ biểu diễn hai số thực nào?

Lời giải:

a) Điểm AA nằm cách OO theo lưới 11 ô ngang và 22 ô dọc, nên OA=12+22=5OA = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}. Đường tròn tâm OO bán kính 5\sqrt{5} cắt trục số tại hai điểm đối xứng qua OO: NN biểu diễn 5\sqrt{5} và MM biểu diễn −5-\sqrt{5}.

b) Điểm CC cách BB theo lưới 11 ô ngang và 11 ô dọc, nên BC=12+12=2BC = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}. Điểm BB ở vị trí số 66 trên trục. Đường tròn tâm BB bán kính 2\sqrt{2} cắt trục số tại: PP biểu diễn 6+26 + \sqrt{2} và QQ biểu diễn 6−26 - \sqrt{2}.

Bài 17. Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài 12\sqrt{12} cm, chiều rộng 8\sqrt{8} cm, chiều cao 6\sqrt{6} cm.

a) Tính thể tích của hình hộp chữ nhật.

b) Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

a) Thể tích V=12⋅8⋅6=12⋅8⋅6=576=24V = \sqrt{12} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{576} = 24 (cm³).

b) Diện tích xung quanh =2⋅(chieˆˋu daˋi+chieˆˋu rộng)⋅chieˆˋu cao=2(12+8)⋅6= 2 \cdot (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}) \cdot \text{chiều cao} = 2(\sqrt{12} + \sqrt{8}) \cdot \sqrt{6}

=2(23+22)6=4(3+2)6=4(18+12)=4(32+23)=122+83 (cm2).= 2(2\sqrt{3} + 2\sqrt{2})\sqrt{6} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2})\sqrt{6} = 4(\sqrt{18} + \sqrt{12}) = 4(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 12\sqrt{2} + 8\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}.

Bài 18. Rút gọn các biểu thức:

a) (a3a+3a3+12a3):3a\left(a\sqrt{\dfrac{3}{a}} + 3\sqrt{\dfrac{a}{3}} + \sqrt{12a^3}\right) : \sqrt{3a} với a>0a > 0; b) 1−a1+a+1−aa1−a\dfrac{1 - a}{1 + \sqrt{a}} + \dfrac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} với a≥0a \ge 0, a≠1a \ne 1.

Lời giải:

a) a3a=3aa\sqrt{\dfrac{3}{a}} = \sqrt{3a}; 3a3=9⋅a3=3a3\sqrt{\dfrac{a}{3}} = \sqrt{9 \cdot \dfrac{a}{3}} = \sqrt{3a}; 12a3=2a3a\sqrt{12a^3} = 2a\sqrt{3a}. Tổng trong ngoặc =3a+3a+2a3a=(2+2a)3a= \sqrt{3a} + \sqrt{3a} + 2a\sqrt{3a} = (2 + 2a)\sqrt{3a}.

Chia cho 3a\sqrt{3a}: (2+2a)3a3a=2+2a\dfrac{(2 + 2a)\sqrt{3a}}{\sqrt{3a}} = 2 + 2a.

b) 1−a1+a=(1−a)(1+a)1+a=1−a\dfrac{1 - a}{1 + \sqrt{a}} = \dfrac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a})}{1 + \sqrt{a}} = 1 - \sqrt{a}.

1−aa1−a=1−(a)31−a=(1−a)(1+a+a)1−a=1+a+a\dfrac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} = \dfrac{1 - (\sqrt{a})^3}{1 - \sqrt{a}} = \dfrac{(1 - \sqrt{a})(1 + \sqrt{a} + a)}{1 - \sqrt{a}} = 1 + \sqrt{a} + a.

Tổng =(1−a)+(1+a+a)=2+a= (1 - \sqrt{a}) + (1 + \sqrt{a} + a) = 2 + a.

Bài 19. Cho biểu thức P=(1a+a−1a+1):a−1a+2a+1P = \left(\dfrac{1}{a + \sqrt{a}} - \dfrac{1}{\sqrt{a} + 1}\right) : \dfrac{\sqrt{a} - 1}{a + 2\sqrt{a} + 1} với a>0a > 0, a≠1a \ne 1.

a) Rút gọn biểu thức PP.

b) Tính giá trị của PP khi a=0,25a = 0{,}25.

Lời giải:

a) Ta có a+a=a(a+1)a + \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} + 1) và a+2a+1=(a+1)2a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2.

Trong ngoặc: 1a(a+1)−1a+1=1−aa(a+1)\dfrac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} - \dfrac{1}{\sqrt{a} + 1} = \dfrac{1 - \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)}.

Chia cho a−1(a+1)2\dfrac{\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} + 1)^2}, tức nhân với (a+1)2a−1\dfrac{(\sqrt{a} + 1)^2}{\sqrt{a} - 1}:

P=1−aa(a+1)⋅(a+1)2a−1=−(a−1)(a+1)a(a−1)=−(a+1)a=−a+1a.P = \frac{1 - \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} \cdot \frac{(\sqrt{a} + 1)^2}{\sqrt{a} - 1} = \frac{-(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{-(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} = -\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}}.

Vậy P=−a+1a=−1−1aP = -\dfrac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} = -1 - \dfrac{1}{\sqrt{a}}.

b) Khi a=0,25a = 0{,}25 thì a=0,5\sqrt{a} = 0{,}5:

P=−1−10,5=−1−2=−3.P = -1 - \frac{1}{0{,}5} = -1 - 2 = -3.