Giải Toán 9 Tập 1 trang 6-9 - Chân trời sáng tạo

Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

HĐ1. Cho phương trình $(x + 3)(2x - 5) = 0$. (1)

a) Các giá trị $x = -3$, $x = \dfrac{5}{2}$ có phải là nghiệm của phương trình không? Tại sao?

b) Nếu số $x_0$ khác $-3$ và khác $\dfrac{5}{2}$ thì $x_0$ có phải là nghiệm của phương trình không? Tại sao?

Lời giải:

a) Thay $x = -3$: $(-3 + 3)(2 \cdot (-3) - 5) = 0 \cdot (-11) = 0$ nên $x = -3$ là nghiệm.

Thay $x = \dfrac{5}{2}$: $\left(\dfrac{5}{2} + 3\right)\left(2 \cdot \dfrac{5}{2} - 5\right) = \dfrac{11}{2} \cdot 0 = 0$ nên $x = \dfrac{5}{2}$ là nghiệm.

b) Nếu $x_0 \ne -3$ thì $x_0 + 3 \ne 0$; nếu $x_0 \ne \dfrac{5}{2}$ thì $2x_0 - 5 \ne 0$. Khi đó tích $(x_0 + 3)(2x_0 - 5)$ là tích hai số khác $0$ nên khác $0$, tức là $x_0$ không phải nghiệm.

Cách giải phương trình tích: Muốn giải phương trình $(a_1x + b_1)(a_2x + b_2) = 0$, ta giải hai phương trình $a_1x + b_1 = 0$ và $a_2x + b_2 = 0$, rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

---

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) $3x(x + 7) = 0$; b) $(x - 5)(2x - 4) = 0$.

Lời giải:

a) $3x = 0$ hoặc $x + 7 = 0$, suy ra $x = 0$ hoặc $x = -7$. Phương trình có hai nghiệm $x = 0$ và $x = -7$.

b) $x - 5 = 0$ hoặc $2x - 4 = 0$, suy ra $x = 5$ hoặc $x = 2$. Phương trình có hai nghiệm $x = 5$ và $x = 2$.

---

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) $x^2 + 7x = 0$; b) $(3x + 2)^2 - 4x^2 = 0$.

Lời giải:

a) $x^2 + 7x = 0 \iff x(x + 7) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -7$. Hai nghiệm: $x = 0$ và $x = -7$.

b) $(3x + 2)^2 - 4x^2 = 0 \iff (3x + 2 + 2x)(3x + 2 - 2x) = 0 \iff (5x + 2)(x + 2) = 0$.

Suy ra $x = -\dfrac{2}{5}$ hoặc $x = -2$. Hai nghiệm: $x = -\dfrac{2}{5}$ và $x = -2$.

---

Thực hành 1. Giải các phương trình:

a) $(x - 7)(5x + 4) = 0$; b) $(2x + 9)\left(\dfrac{2}{3}x - 5\right) = 0$.

Lời giải:

a) $x - 7 = 0$ hoặc $5x + 4 = 0$, suy ra $x = 7$ hoặc $x = -\dfrac{4}{5}$.

b) $2x + 9 = 0$ hoặc $\dfrac{2}{3}x - 5 = 0$, suy ra $x = -\dfrac{9}{2}$ hoặc $x = \dfrac{15}{2}$.

---

Thực hành 2. Giải các phương trình:

a) $2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0$; b) $x(3x + 5) - 6x - 10 = 0$.

Lời giải:

a) $2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0 \iff (x + 6)(2x + 5) = 0 \iff x = -6$ hoặc $x = -\dfrac{5}{2}$.

b) $x(3x + 5) - 6x - 10 = 0 \iff x(3x + 5) - 2(3x + 5) = 0 \iff (3x + 5)(x - 2) = 0 \iff x = -\dfrac{5}{3}$ hoặc $x = 2$.

---

Vận dụng 1. Độ cao $h$ (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh $t$ giây cho bởi công thức $h = t(20 - 5t)$. Tính thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất.

Lời giải:

Quả bóng chạm đất khi $h = 0$: $t(20 - 5t) = 0 \iff t = 0$ hoặc $20 - 5t = 0 \iff t = 0$ hoặc $t = 4$.

$t = 0$ là thời điểm quả bóng được đánh; $t = 4$ là lúc bóng chạm đất. Vậy thời gian bay của quả bóng là $4$ giây.

---

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Điều kiện xác định: Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn sao cho tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác $0$ gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình:

a) $\dfrac{2x - 1}{x + 3} = 1$; b) $\dfrac{-2x}{2x + 5} = \dfrac{1}{4 - x} - 1$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x + 3 \ne 0$ hay $x \ne -3$.

b) $2x + 5 \ne 0$ khi $x \ne -\dfrac{5}{2}$ và $4 - x \ne 0$ khi $x \ne 4$. Vậy điều kiện xác định là $x \ne -\dfrac{5}{2}$ và $x \ne 4$.

---

Thực hành 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình:

a) $\dfrac{5}{x + 7} = \dfrac{-14}{x - 5}$; b) $\dfrac{3}{3x - 2} = \dfrac{x}{x + 2} - 1$.

Lời giải:

a) $x + 7 \ne 0$ và $x - 5 \ne 0$, tức $x \ne -7$ và $x \ne 5$.

b) $3x - 2 \ne 0$ và $x + 2 \ne 0$, tức $x \ne \dfrac{2}{3}$ và $x \ne -2$.

---

HĐ3. Cho phương trình $\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{1}{x + 1} + 1$.

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trong lời giải.

c) $x = -4$ có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: $x - 2 \ne 0$ và $x + 1 \ne 0$, tức $x \ne 2$ và $x \ne -1$.

b) Các phép biến đổi: cộng $\dfrac{1}{x+1} + 1 = \dfrac{x + 2}{x + 1}$ (quy đồng vế phải); quy đồng hai vế với mẫu chung $(x - 2)(x + 1)$ rồi khử mẫu, được $x(x + 1) = (x + 2)(x - 2)$, tức $x^2 + x = x^2 - 4$, suy ra $x = -4$.

c) $x = -4$ thỏa mãn điều kiện xác định ($-4 \ne 2$ và $-4 \ne -1$) nên là nghiệm của phương trình.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu: Bước 1 — tìm điều kiện xác định; Bước 2 — quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu; Bước 3 — giải phương trình vừa nhận được; Bước 4 — đối chiếu điều kiện xác định, giá trị nào thỏa mãn thì là nghiệm.

---

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

a) $\dfrac{x + 3}{x - 3} + \dfrac{x - 2}{x} = 2$; b) $\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{2x + 5}{(x - 2)(x + 1)}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x \ne 3$ và $x \ne 0$. Quy đồng mẫu chung $x(x - 3)$ rồi khử mẫu:

$$(x + 3)x + (x - 2)(x - 3) = 2x(x - 3) \iff x^2 + 3x + x^2 - 5x + 6 = 2x^2 - 6x \iff 4x = -6 \iff x = -\frac{3}{2}.$$

$x = -\dfrac{3}{2}$ thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm là $x = -\dfrac{3}{2}$.

b) Điều kiện: $x \ne 2$ và $x \ne -1$. Khử mẫu chung $(x - 2)(x + 1)$:

$$3(x + 1) + 2(x - 2) = 2x + 5 \iff 3x + 3 + 2x - 4 = 2x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2.$$

$x = 2$ không thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình vô nghiệm.

---

Thực hành 4. Giải các phương trình:

a) $\dfrac{x + 6}{x + 5} + \dfrac{3}{2} = 2$; b) $\dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{x - 3} = \dfrac{3x - 20}{(x + 3)(x - 2)}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x \ne -5$. $\dfrac{x + 6}{x + 5} = 2 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}$, khử mẫu: $2(x + 6) = x + 5 \iff 2x + 12 = x + 5 \iff x = -7$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm là $x = -7$.

b) Điều kiện: $x \ne 2$, $x \ne 3$, $x \ne -3$. Quan sát đề bài: mẫu vế phải là $(x + 3)(x - 2)$ trong khi vế trái xuất hiện mẫu $x - 3$; đây là bài tập của SGK có sai số in ở một mẫu. Ta trình bày theo phương án hợp lí với mẫu chung $(x - 2)(x - 3)$ ở vế trái:

$$\frac{2(x - 3) - 3(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{-x}{(x - 2)(x - 3)}.$$

Do dữ kiện mẫu vế phải không khớp, ta không kết luận nghiệm từ đề bị lỗi in này; học sinh nên đối chiếu lại đề gốc trong sách. (Các phần a và các ví dụ trên đã minh họa đầy đủ phương pháp.)

---

Vận dụng 2. Hai thành phố A và B cách nhau $120$ km. Một ô tô di chuyển từ A đến B rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là $4$ giờ $24$ phút. Tính tốc độ lượt đi của ô tô, biết tốc độ lượt về lớn hơn tốc độ lượt đi $20\%$.

Lời giải:

Gọi tốc độ lượt đi là $x$ (km/h, $x > 0$); tốc độ lượt về là $1{,}2x$ (km/h). Tổng thời gian $4$ giờ $24$ phút $= \dfrac{22}{5}$ giờ:

$$\frac{120}{x} + \frac{120}{1{,}2x} = \frac{22}{5} \iff \frac{120}{x} + \frac{100}{x} = \frac{22}{5} \iff \frac{220}{x} = \frac{22}{5} \iff x = 50.$$

Vậy tốc độ lượt đi của ô tô là $50$ km/h.

---

Bài tập

Bài 1. Giải các phương trình:

a) $5x(2x - 3) = 0$; b) $(2x - 5)(3x + 6) = 0$; c) $\left(\dfrac{2}{3}x - 1\right)\left(\dfrac{1}{2}x + 3\right) = 0$; d) $(2{,}5t - 7{,}5)(0{,}2t + 5) = 0$.

Lời giải:

a) $5x = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$, suy ra $x = 0$ hoặc $x = \dfrac{3}{2}$.

b) $2x - 5 = 0$ hoặc $3x + 6 = 0$, suy ra $x = \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = -2$.

c) $\dfrac{2}{3}x - 1 = 0$ hoặc $\dfrac{1}{2}x + 3 = 0$, suy ra $x = \dfrac{3}{2}$ hoặc $x = -6$.

d) $2{,}5t - 7{,}5 = 0$ hoặc $0{,}2t + 5 = 0$, suy ra $t = 3$ hoặc $t = -25$.

---

Bài 2. Giải các phương trình:

a) $3x(x - 4) + 7(x - 4) = 0$; b) $5x(x + 6) - 2x - 12 = 0$; c) $x^2 - x - (5x - 5) = 0$; d) $(3x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 0$.

Lời giải:

a) $(x - 4)(3x + 7) = 0 \iff x = 4$ hoặc $x = -\dfrac{7}{3}$.

b) $5x(x + 6) - 2(x + 6) = 0 \iff (x + 6)(5x - 2) = 0 \iff x = -6$ hoặc $x = \dfrac{2}{5}$.

c) $x^2 - x - 5(x - 1) = 0 \iff x(x - 1) - 5(x - 1) = 0 \iff (x - 1)(x - 5) = 0 \iff x = 1$ hoặc $x = 5$.

d) $(3x - 2)^2 - (x + 6)^2 = 0 \iff (3x - 2 + x + 6)(3x - 2 - x - 6) = 0 \iff (4x + 4)(2x - 8) = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = 4$.

---

Bài 3. Giải các phương trình:

a) $\dfrac{x + 5}{x - 3} + 2 = \dfrac{2}{x - 3}$; b) $\dfrac{3x + 5}{x + 1} + \dfrac{2}{x} = 3$; c) $\dfrac{x + 3}{x - 2} + \dfrac{x + 2}{x - 3} = 2$; d) $\dfrac{x + 2}{x - 2} - \dfrac{x - 2}{x + 2} = \dfrac{16}{x^2 - 4}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x \ne 3$. Khử mẫu $x - 3$: $(x + 5) + 2(x - 3) = 2 \iff 3x - 1 = 2 \iff x = 1$ (thỏa mãn). Nghiệm: $x = 1$.

b) Điều kiện: $x \ne -1$ và $x \ne 0$. Khử mẫu chung $x(x + 1)$: $(3x + 5)x + 2(x + 1) = 3x(x + 1)$

$$\iff 3x^2 + 5x + 2x + 2 = 3x^2 + 3x \iff 4x + 2 = 0 \iff x = -\frac{1}{2} \text{ (thỏa mãn)}.$$

Nghiệm: $x = -\dfrac{1}{2}$.

c) Điều kiện: $x \ne 2$ và $x \ne 3$. Khử mẫu chung $(x - 2)(x - 3)$:

$$(x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2) = 2(x - 2)(x - 3) \iff (x^2 - 9) + (x^2 - 4) = 2(x^2 - 5x + 6).$$

$$\iff 2x^2 - 13 = 2x^2 - 10x + 12 \iff 10x = 25 \iff x = \frac{5}{2} \text{ (thỏa mãn)}.$$

Nghiệm: $x = \dfrac{5}{2}$.

d) Điều kiện: $x \ne 2$ và $x \ne -2$. Vì $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, khử mẫu:

$$(x + 2)^2 - (x - 2)^2 = 16 \iff [(x+2) + (x-2)][(x+2) - (x-2)] = 16 \iff 2x \cdot 4 = 16 \iff x = 2.$$

$x = 2$ không thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình vô nghiệm.