Bài 1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Định nghĩa: Cho góc nhọn α\alpha. Xét tam giác ABCABC vuông tại AA có ABC^=α\widehat{ABC} = \alpha (cạnh đối của α\alpha là ACAC, cạnh kề là ABAB, cạnh huyền BCBC):

  • sin⁡α=cạnh đoˆˊicạnh huyeˆˋn=ACBC\sin\alpha = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{AC}{BC};
  • cos⁡α=cạnh keˆˋcạnh huyeˆˋn=ABBC\cos\alpha = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \dfrac{AB}{BC};
  • tan⁡α=cạnh đoˆˊicạnh keˆˋ=ACAB\tan\alpha = \dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \dfrac{AC}{AB};
  • cot⁡α=cạnh keˆˋcạnh đoˆˊi=ABAC\cot\alpha = \dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \dfrac{AB}{AC}.

Chú ý: Với góc nhọn α\alpha: 0<sin⁡α<10 < \sin\alpha < 1; 0<cos⁡α<10 < \cos\alpha < 1; cot⁡α=1tan⁡α\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha}.

Ví dụ 1. Tính các tỉ số lượng giác của góc α\alpha trong tam giác ABCABC (Hình 4): tam giác vuông tại AA, B^=α\widehat{B} = \alpha, AB=12AB = 12, AC=9AC = 9, BC=15BC = 15.

Lời giải:

sin⁡α=ACBC=915=0,6\sin\alpha = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{9}{15} = 0{,}6; cos⁡α=ABBC=1215=0,8\cos\alpha = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{12}{15} = 0{,}8;

tan⁡α=ACAB=912=0,75\tan\alpha = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{9}{12} = 0{,}75; cot⁡α=ABAC=129=43\cot\alpha = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}.

Thực hành 1. Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn AA trong mỗi tam giác vuông ABCABC có B^=90∘\widehat{B} = 90^\circ ở Hình 5 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Tam giác vuông tại BB: AB=3AB = 3, BC=4BC = 4, AC=5AC = 5. Góc AA có cạnh đối BC=4BC = 4, cạnh kề AB=3AB = 3:

sin⁡A=45=0,8\sin A = \dfrac{4}{5} = 0{,}8; cos⁡A=35=0,6\cos A = \dfrac{3}{5} = 0{,}6; tan⁡A=43≈1,33\tan A = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33; cot⁡A=34=0,75\cot A = \dfrac{3}{4} = 0{,}75.

b) Tam giác vuông tại CC: BC=1BC = 1, CA=17CA = \sqrt{17}, BA=4BA = 4. Góc AA có cạnh đối BC=1BC = 1, cạnh kề CA=17CA = \sqrt{17}, cạnh huyền BA=4BA = 4:

sin⁡A=14=0,25\sin A = \dfrac{1}{4} = 0{,}25; cos⁡A=174≈1,03\cos A = \dfrac{\sqrt{17}}{4} \approx 1{,}03... kiểm tra lại: cạnh huyền là AB=4AB = 4, hai cạnh góc vuông BC=1BC = 1 và CA=17CA = \sqrt{17} cho 1+17=18≠161 + 17 = 18 \ne 16. Theo hình, AB=4AB = 4 là cạnh huyền và 17\sqrt{17} là một cạnh — dữ kiện có mâu thuẫn nhỏ do làm tròn hình; ta lấy cạnh đối của AA là BC=1BC = 1, cạnh kề là CA=17CA = \sqrt{17}, khi đó cạnh huyền =1+17=18=32= \sqrt{1 + 17} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. Vậy: sin⁡A=132=26≈0,24\sin A = \dfrac{1}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}24; cos⁡A=1732≈0,97\cos A = \dfrac{\sqrt{17}}{3\sqrt{2}} \approx 0{,}97; tan⁡A=117≈0,24\tan A = \dfrac{1}{\sqrt{17}} \approx 0{,}24; cot⁡A=17≈4,12\cot A = \sqrt{17} \approx 4{,}12.

c) Tam giác vuông tại BB: CB=3CB = 3, BA=2BA = 2, CA=13CA = \sqrt{13}. Góc AA có cạnh đối CB=3CB = 3, cạnh kề BA=2BA = 2, cạnh huyền CA=13CA = \sqrt{13}:

sin⁡A=313≈0,83\sin A = \dfrac{3}{\sqrt{13}} \approx 0{,}83; cos⁡A=213≈0,55\cos A = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0{,}55; tan⁡A=32=1,5\tan A = \dfrac{3}{2} = 1{,}5; cot⁡A=23≈0,67\cot A = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67.

d) Tam giác vuông tại BB: CB=6CB = \sqrt{6}, BA=10BA = \sqrt{10}, CA=4CA = 4. Góc AA có cạnh đối CB=6CB = \sqrt{6}, cạnh kề BA=10BA = \sqrt{10}, cạnh huyền CA=4CA = 4:

sin⁡A=64≈0,61\sin A = \dfrac{\sqrt{6}}{4} \approx 0{,}61; cos⁡A=104≈0,79\cos A = \dfrac{\sqrt{10}}{4} \approx 0{,}79; tan⁡A=610=155≈0,77\tan A = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5} \approx 0{,}77; cot⁡A=106=153≈1,29\cot A = \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{15}}{3} \approx 1{,}29.

Vận dụng 1. Sử dụng tỉ số lượng giác để giải thích tình huống mở đầu: khi tia nắng chiếu, cây và bóng tạo thành các tam giác vuông đồng dạng với C^=C′^\widehat{C} = \widehat{C'}, so sánh ABAC\dfrac{AB}{AC} và A′B′A′C′\dfrac{A'B'}{A'C'}.

Lời giải:

Hai tam giác vuông có cùng một góc nhọn C^=C′^=α\widehat{C} = \widehat{C'} = \alpha. Cả ABAC\dfrac{AB}{AC} và A′B′A′C′\dfrac{A'B'}{A'C'} đều là tang của góc α\alpha (tỉ số cạnh đối trên cạnh kề của góc CC). Vì tỉ số lượng giác của cùng một góc nhọn là không đổi nên:

ABAC=A′B′A′C′=tan⁡α.\frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} = \tan\alpha.

Tỉ số lượng giác của các góc nhọn đặc biệt (30°, 45°, 60°)

HĐ2. a) Tam giác ABCABC vuông cân tại AA, cạnh góc vuông bằng aa. Tính BCBC theo aa rồi tính các tỉ số lượng giác của góc 45∘45^\circ. b) Tam giác đều MNPMNP cạnh aa, đường cao MHMH. Tính MHMH theo aa rồi tính tỉ số lượng giác của góc 30∘30^\circ và 60∘60^\circ.

Lời giải:

a) Tam giác vuông cân: BC=a2+a2=a2BC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}. Với góc 45∘45^\circ: sin⁡45∘=aa2=22\sin 45^\circ = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; cos⁡45∘=22\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; tan⁡45∘=aa=1\tan 45^\circ = \dfrac{a}{a} = 1; cot⁡45∘=1\cot 45^\circ = 1.

b) Tam giác đều cạnh aa: đường cao MH=a32MH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, NH=a2NH = \dfrac{a}{2}. Xét tam giác vuông MHNMHN với MNH^=60∘\widehat{MNH} = 60^\circ và NMH^=30∘\widehat{NMH} = 30^\circ:

  • Góc 60∘60^\circ: sin⁡60∘=MHMN=a3/2a=32\sin 60^\circ = \dfrac{MH}{MN} = \dfrac{a\sqrt{3}/2}{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; cos⁡60∘=NHMN=12\cos 60^\circ = \dfrac{NH}{MN} = \dfrac{1}{2}; tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}; cot⁡60∘=33\cot 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}.
  • Góc 30∘30^\circ: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}; cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3}; cot⁡30∘=3\cot 30^\circ = \sqrt{3}.

Bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt:

Góc α\alpha 30∘30^\circ 45∘45^\circ 60∘60^\circ
sin⁡α\sin\alpha 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡α\cos\alpha 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 12\dfrac{1}{2}
tan⁡α\tan\alpha 33\dfrac{\sqrt{3}}{3} 11 3\sqrt{3}
cot⁡α\cot\alpha 3\sqrt{3} 11 33\dfrac{\sqrt{3}}{3}

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức P=sin⁡30∘⋅cos⁡60∘tan⁡45∘P = \dfrac{\sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ}{\tan 45^\circ}.

Lời giải: P=12⋅121=14P = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{4}.

Thực hành 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A=2cos⁡45∘2+3tan⁡30∘A = \dfrac{2\cos 45^\circ}{\sqrt{2}} + \sqrt{3}\tan 30^\circ; b) B=2sin⁡60∘3−cot⁡45∘B = \dfrac{2\sin 60^\circ}{\sqrt{3}} - \cot 45^\circ.

Lời giải:

a) A=2⋅222+3⋅33=22+33=1+1=2A = \dfrac{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \dfrac{3}{3} = 1 + 1 = 2.

b) B=2⋅323−1=33−1=1−1=0B = \dfrac{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} - 1 = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 1 = 1 - 1 = 0.

Vận dụng 2. Tìm chiều cao của tháp canh trong Hình 7 (làm tròn đến hàng phần trăm): từ điểm CC cách chân tháp BB một khoảng CB=5,8CB = 5{,}8 m, nhìn đỉnh tháp AA dưới góc ACB^=60∘\widehat{ACB} = 60^\circ.

Lời giải:

Tam giác ABCABC vuông tại BB, chiều cao tháp AB=CB⋅tan⁡60∘=5,8⋅3≈10,05AB = CB \cdot \tan 60^\circ = 5{,}8 \cdot \sqrt{3} \approx 10{,}05 (m).

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

HĐ3. Xét tam giác ABCABC vuông tại AA có C^=α\widehat{C} = \alpha, khi đó B^=90∘−α\widehat{B} = 90^\circ - \alpha. So sánh các tỉ số lượng giác của B^\widehat{B} và C^\widehat{C}.

Lời giải:

Với C^=α\widehat{C} = \alpha: cạnh đối c=ABc = AB, cạnh kề b=ACb = AC, cạnh huyền a=BCa = BC. Với B^=90∘−α\widehat{B} = 90^\circ - \alpha: cạnh đối là AC=bAC = b, cạnh kề là AB=cAB = c.

Do đó: sin⁡B^=ba=cos⁡C^\sin\widehat{B} = \dfrac{b}{a} = \cos\widehat{C}; cos⁡B^=ca=sin⁡C^\cos\widehat{B} = \dfrac{c}{a} = \sin\widehat{C}; tan⁡B^=bc=cot⁡C^\tan\widehat{B} = \dfrac{b}{c} = \cot\widehat{C}; cot⁡B^=cb=tan⁡C^\cot\widehat{B} = \dfrac{c}{b} = \tan\widehat{C}.

Định lí (hai góc phụ nhau): Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia:

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α;cos⁡(90∘−α)=sin⁡α;tan⁡(90∘−α)=cot⁡α;cot⁡(90∘−α)=tan⁡α.\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha; \quad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha; \quad \tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha; \quad \cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha.

Ví dụ 3. So sánh:

a) sin⁡25∘\sin 25^\circ và cos⁡65∘\cos 65^\circ; b) cos⁡25∘\cos 25^\circ và sin⁡65∘\sin 65^\circ; c) tan⁡25∘\tan 25^\circ và cot⁡65∘\cot 65^\circ; d) cot⁡25∘\cot 25^\circ và tan⁡65∘\tan 65^\circ.

Lời giải:

a) sin⁡25∘=cos⁡(90∘−25∘)=cos⁡65∘\sin 25^\circ = \cos(90^\circ - 25^\circ) = \cos 65^\circ (bằng nhau).

b) cos⁡25∘=sin⁡(90∘−25∘)=sin⁡65∘\cos 25^\circ = \sin(90^\circ - 25^\circ) = \sin 65^\circ (bằng nhau).

c) tan⁡25∘=cot⁡(90∘−25∘)=cot⁡65∘\tan 25^\circ = \cot(90^\circ - 25^\circ) = \cot 65^\circ (bằng nhau).

d) cot⁡25∘=tan⁡(90∘−25∘)=tan⁡65∘\cot 25^\circ = \tan(90^\circ - 25^\circ) = \tan 65^\circ (bằng nhau).

Thực hành 3.

a) So sánh: sin⁡72∘\sin 72^\circ và cos⁡18∘\cos 18^\circ; cos⁡72∘\cos 72^\circ và sin⁡18∘\sin 18^\circ; tan⁡72∘\tan 72^\circ và cot⁡18∘\cot 18^\circ.

b) Cho biết sin⁡18∘≈0,31\sin 18^\circ \approx 0{,}31; tan⁡18∘≈0,32\tan 18^\circ \approx 0{,}32. Tính cos⁡72∘\cos 72^\circ và cot⁡72∘\cot 72^\circ.

Lời giải:

a) sin⁡72∘=cos⁡18∘\sin 72^\circ = \cos 18^\circ (vì 72∘+18∘=90∘72^\circ + 18^\circ = 90^\circ); cos⁡72∘=sin⁡18∘\cos 72^\circ = \sin 18^\circ; tan⁡72∘=cot⁡18∘\tan 72^\circ = \cot 18^\circ — các cặp đều bằng nhau.

b) cos⁡72∘=sin⁡18∘≈0,31\cos 72^\circ = \sin 18^\circ \approx 0{,}31; cot⁡72∘=tan⁡18∘≈0,32\cot 72^\circ = \tan 18^\circ \approx 0{,}32.

Vận dụng 3. Tia nắng chiếu qua điểm BB của nóc tòa nhà tạo với mặt đất một góc xx và tạo với cạnh ABAB của tòa nhà một góc yy (Hình 9). Cho biết cos⁡x≈0,78\cos x \approx 0{,}78 và cot⁡x≈1,25\cot x \approx 1{,}25. Tính sin⁡y\sin y và tan⁡y\tan y (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Trong tam giác vuông tại AA, hai góc xx và yy phụ nhau (x+y=90∘x + y = 90^\circ). Do đó:

sin⁡y=cos⁡x≈0,78;tan⁡y=cot⁡x≈1,25.\sin y = \cos x \approx 0{,}78; \qquad \tan y = \cot x \approx 1{,}25.