Bài 1 (tiếp). Tính tỉ số lượng giác bằng máy tính cầm tay

Đơn vị đo góc: độ (°), phút (′), giây (″) với 1∘=60′1^\circ = 60', 1′=60′′1' = 60''. Trước khi tính, ấn SHIFT MODE 3 để máy ở chế độ độ (màn hình hiện chữ D).

Ví dụ 4. Dùng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến hàng phần nghìn): a) sin⁡15∘\sin 15^\circ; b) cos⁡64∘24′\cos 64^\circ 24'.

Lời giải:

a) Ấn sin 1 5 ) =, máy hiện 6−24\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}; ấn thêm S⇔D để đổi sang số thập phân: sin⁡15∘≈0,259\sin 15^\circ \approx 0{,}259.

b) Ấn cos 6 4 °′″ 2 4 °′″ ) =, máy hiện 0,43208574880{,}4320857488; làm tròn: cos⁡64∘24′≈0,432\cos 64^\circ 24' \approx 0{,}432.

Lưu ý: Để tính cot⁡α\cot\alpha, ta tính cot⁡α=1tan⁡α\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha} hoặc tan⁡(90∘−α)\tan(90^\circ - \alpha).

Ví dụ 5. Dùng máy tính cầm tay, tìm α\alpha biết sin⁡α=0,72\sin\alpha = 0{,}72.

Lời giải: Ấn SHIFT sin 0 . 7 2 ) =, máy hiện 46,0544804446{,}05448044; làm tròn đến hàng phần trăm: α≈46,05∘\alpha \approx 46{,}05^\circ. Ấn thêm °′″ được 46∘3′16,13′′46^\circ 3' 16{,}13'', làm tròn đến phút: α≈46∘3′\alpha \approx 46^\circ 3'.

Để tìm α\alpha khi biết cot⁡α\cot\alpha, ta tính tan⁡α=1cot⁡α\tan\alpha = \dfrac{1}{\cot\alpha} rồi dùng tan⁡α\tan\alpha để tìm α\alpha.

Thực hành 4.

a) Tính tỉ số lượng giác của các góc 22∘22^\circ; 52∘52^\circ; 15∘20′15^\circ 20'; 52∘18′52^\circ 18' (làm tròn đến hàng phần nghìn).

b) Tìm các góc nhọn xx, yy, zz, tt biết sin⁡x=0,723\sin x = 0{,}723; cos⁡y=0,828\cos y = 0{,}828; tan⁡z=3,77\tan z = 3{,}77; cot⁡t=1,54\cot t = 1{,}54.

Lời giải:

a) Dùng máy tính cầm tay:

Góc sin⁡\sin cos⁡\cos tan⁡\tan cot⁡\cot
22∘22^\circ 0,3750{,}375 0,9270{,}927 0,4040{,}404 2,4752{,}475
52∘52^\circ 0,7880{,}788 0,6160{,}616 1,2801{,}280 0,7810{,}781
15∘20′15^\circ 20' 0,2640{,}264 0,9640{,}964 0,2740{,}274 3,6473{,}647
52∘18′52^\circ 18' 0,7910{,}791 0,6120{,}612 1,2941{,}294 0,7730{,}773

b) sin⁡x=0,723⇒x≈46,30∘≈46∘18′\sin x = 0{,}723 \Rightarrow x \approx 46{,}30^\circ \approx 46^\circ 18';

cos⁡y=0,828⇒y≈34,09∘≈34∘5′\cos y = 0{,}828 \Rightarrow y \approx 34{,}09^\circ \approx 34^\circ 5';

tan⁡z=3,77⇒z≈75,15∘≈75∘9′\tan z = 3{,}77 \Rightarrow z \approx 75{,}15^\circ \approx 75^\circ 9';

cot⁡t=1,54⇒tan⁡t=11,54≈0,6494⇒t≈33,00∘≈33∘\cot t = 1{,}54 \Rightarrow \tan t = \dfrac{1}{1{,}54} \approx 0{,}6494 \Rightarrow t \approx 33{,}00^\circ \approx 33^\circ.

Vận dụng 4.

a) Vẽ một tam giác vuông có một góc bằng 40∘40^\circ, đo các cạnh rồi tính tỉ số lượng giác của góc 40∘40^\circ, kiểm tra bằng máy tính.

b) Vẽ tam giác vuông có ba cạnh 33 cm, 44 cm, 55 cm. Tính tỉ số lượng giác của mỗi góc nhọn, đo góc và kiểm tra bằng máy tính.

Lời giải:

a) Kết quả đo (tùy hình vẽ) sẽ cho các tỉ số xấp xỉ giá trị máy tính: sin⁡40∘≈0,643\sin 40^\circ \approx 0{,}643; cos⁡40∘≈0,766\cos 40^\circ \approx 0{,}766; tan⁡40∘≈0,839\tan 40^\circ \approx 0{,}839; cot⁡40∘≈1,192\cot 40^\circ \approx 1{,}192.

b) Tam giác có 32+42=523^2 + 4^2 = 5^2 nên vuông, cạnh huyền 55 cm. Gọi BB là góc đối cạnh 33 cm (tức B^\widehat{B} có cạnh đối 33, cạnh kề 44):

sin⁡B=35=0,6\sin B = \dfrac{3}{5} = 0{,}6; cos⁡B=45=0,8\cos B = \dfrac{4}{5} = 0{,}8; tan⁡B=34=0,75\tan B = \dfrac{3}{4} = 0{,}75; cot⁡B=43≈1,33\cot B = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33. Dùng máy: B≈36,87∘≈36∘52′B \approx 36{,}87^\circ \approx 36^\circ 52'.

Góc nhọn còn lại CC (cạnh đối 44, cạnh kề 33): sin⁡C=0,8\sin C = 0{,}8; cos⁡C=0,6\cos C = 0{,}6; tan⁡C≈1,33\tan C \approx 1{,}33; cot⁡C=0,75\cot C = 0{,}75; C≈53,13∘≈53∘8′C \approx 53{,}13^\circ \approx 53^\circ 8' (đúng bằng 90∘−B90^\circ - B).

Bài tập

Bài 1. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA. Tính các tỉ số lượng giác của góc BB trong mỗi trường hợp:

a) BC=5BC = 5 cm, AB=3AB = 3 cm; b) BC=13BC = 13 cm, AC=12AC = 12 cm; c) BC=52BC = 5\sqrt{2} cm, AB=5AB = 5 cm; d) AB=a3AB = a\sqrt{3}, AC=aAC = a.

Lời giải:

Với góc BB: cạnh đối là ACAC, cạnh kề là ABAB, cạnh huyền là BCBC.

a) AC=52−32=4AC = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 (cm). sin⁡B=45\sin B = \dfrac{4}{5}; cos⁡B=35\cos B = \dfrac{3}{5}; tan⁡B=43\tan B = \dfrac{4}{3}; cot⁡B=34\cot B = \dfrac{3}{4}.

b) AB=132−122=5AB = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5 (cm). sin⁡B=1213\sin B = \dfrac{12}{13}; cos⁡B=513\cos B = \dfrac{5}{13}; tan⁡B=125\tan B = \dfrac{12}{5}; cot⁡B=512\cot B = \dfrac{5}{12}.

c) AC=(52)2−52=50−25=5AC = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - 5^2} = \sqrt{50 - 25} = 5 (cm). sin⁡B=552=22\sin B = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; cos⁡B=22\cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; tan⁡B=1\tan B = 1; cot⁡B=1\cot B = 1 (góc B=45∘B = 45^\circ).

d) BC=(a3)2+a2=4a2=2aBC = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a. sin⁡B=a2a=12\sin B = \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}; cos⁡B=a32a=32\cos B = \dfrac{a\sqrt{3}}{2a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}; tan⁡B=aa3=33\tan B = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}; cot⁡B=3\cot B = \sqrt{3} (góc B=30∘B = 30^\circ).

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A=sin⁡30∘⋅cos⁡30∘cot⁡45∘A = \dfrac{\sin 30^\circ \cdot \cos 30^\circ}{\cot 45^\circ}; b) B=tan⁡30∘cos⁡45∘⋅cos⁡60∘B = \dfrac{\tan 30^\circ}{\cos 45^\circ \cdot \cos 60^\circ}.

Lời giải:

a) A=12⋅321=34A = \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}.

b) B=3322⋅12=3324=33⋅42=4332=466=263B = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{6}}{6} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}.

Bài 3. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45∘45^\circ:

a) sin⁡60∘\sin 60^\circ; b) cos⁡75∘\cos 75^\circ; c) tan⁡80∘\tan 80^\circ.

Lời giải:

a) sin⁡60∘=cos⁡(90∘−60∘)=cos⁡30∘\sin 60^\circ = \cos(90^\circ - 60^\circ) = \cos 30^\circ.

b) cos⁡75∘=sin⁡(90∘−75∘)=sin⁡15∘\cos 75^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ.

c) tan⁡80∘=cot⁡(90∘−80∘)=cot⁡10∘\tan 80^\circ = \cot(90^\circ - 80^\circ) = \cot 10^\circ.

Bài 4. Dùng máy tính cầm tay, tính tỉ số lượng giác của các góc sau: a) 26∘26^\circ; b) 72∘72^\circ; c) 81∘27′81^\circ 27'.

Lời giải:

Góc sin⁡\sin cos⁡\cos tan⁡\tan cot⁡\cot
26∘26^\circ 0,440{,}44 0,900{,}90 0,490{,}49 2,052{,}05
72∘72^\circ 0,950{,}95 0,310{,}31 3,083{,}08 0,320{,}32
81∘27′81^\circ 27' 0,990{,}99 0,150{,}15 6,666{,}66 0,150{,}15

Bài 5. Dùng máy tính cầm tay, tìm góc nhọn α\alpha trong mỗi trường hợp:

a) cos⁡α=0,6\cos\alpha = 0{,}6; b) tan⁡α=34\tan\alpha = \dfrac{3}{4}.

Lời giải:

a) α≈53,13∘≈53∘8′\alpha \approx 53{,}13^\circ \approx 53^\circ 8'.

b) tan⁡α=0,75⇒α≈36,87∘≈36∘52′\tan\alpha = 0{,}75 \Rightarrow \alpha \approx 36{,}87^\circ \approx 36^\circ 52'.

Bài 6. Tia nắng chiếu qua nóc của một tòa nhà hợp với mặt đất một góc α\alpha. Biết tòa nhà cao 2121 m và bóng của nó trên mặt đất dài 1515 m (Hình 10). Tính góc α\alpha (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Tam giác vuông có cạnh đối của α\alpha là chiều cao tòa nhà 2121 m, cạnh kề là bóng 1515 m:

tan⁡α=2115=1,4  ⟹  α≈54,46∘≈54∘.\tan\alpha = \frac{21}{15} = 1{,}4 \implies \alpha \approx 54{,}46^\circ \approx 54^\circ.

Bài 7. Một cái thang dài 1212 m được đặt dựa vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 77 m (Hình 11). Tính góc α\alpha tạo bởi thang và tường.

Lời giải:

Xét tam giác vuông tạo bởi thang (cạnh huyền 1212 m), tường và mặt đất. Góc α\alpha ở đỉnh BB (giữa thang và tường) có cạnh đối là khoảng cách từ chân thang đến tường =7= 7 m, cạnh huyền là thang =12= 12 m:

sin⁡α=712≈0,5833  ⟹  α≈35,69∘≈35∘41′.\sin\alpha = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833 \implies \alpha \approx 35{,}69^\circ \approx 35^\circ 41'.