Bài 2. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

1. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

HĐ1. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA (cạnh huyền a=BCa = BC, các cạnh góc vuông b=ACb = AC, c=ABc = AB).

a) Tính sin⁡B\sin B theo bb và aa, cos⁡B\cos B theo cc và aa; giải thích các đẳng thức b=asin⁡Bb = a\sin B; c=acos⁡Bc = a\cos B.

b) Tính tan⁡B\tan B theo bb và cc, cot⁡B\cot B theo cc và bb; giải thích các đẳng thức b=ctan⁡Bb = c\tan B; c=bcot⁡Bc = b\cot B.

Lời giải:

a) Với góc BB: cạnh đối là b=ACb = AC, cạnh kề là c=ABc = AB, cạnh huyền là a=BCa = BC.

sin⁡B=ba\sin B = \dfrac{b}{a}, suy ra b=asin⁡Bb = a\sin B; cos⁡B=ca\cos B = \dfrac{c}{a}, suy ra c=acos⁡Bc = a\cos B.

b) tan⁡B=bc\tan B = \dfrac{b}{c}, suy ra b=ctan⁡Bb = c\tan B; cot⁡B=cb\cot B = \dfrac{c}{b}, suy ra c=bcot⁡Bc = b\cot B.

Định lí: Trong một tam giác vuông:

  • Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
  • Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Cụ thể với tam giác ABCABC vuông tại AA:

b=asin⁡B=acos⁡C;c=asin⁡C=acos⁡B;b = a\sin B = a\cos C; \qquad c = a\sin C = a\cos B; b=ctan⁡B=ccot⁡C;c=btan⁡C=bcot⁡B.b = c\tan B = c\cot C; \qquad c = b\tan C = b\cot B.

Ví dụ 1. Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3030 cm và một góc nhọn bằng 22∘22^\circ. Tính xx, yy (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Cạnh góc vuông xx có góc kề bằng 22∘22^\circ: x=30⋅cos⁡22∘≈27,82x = 30 \cdot \cos 22^\circ \approx 27{,}82 (cm).

Cạnh góc vuông yy có góc đối bằng 22∘22^\circ: y=30⋅sin⁡22∘≈11,24y = 30 \cdot \sin 22^\circ \approx 11{,}24 (cm).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có cạnh góc vuông AC=10AC = 10 cm. Tính ABAB khi: a) C^=34∘\widehat{C} = 34^\circ; b) B^=25∘\widehat{B} = 25^\circ.

Lời giải:

a) ABAB là cạnh đối của góc CC, ACAC là cạnh kề: AB=AC⋅tan⁡C=10⋅tan⁡34∘≈6,75AB = AC \cdot \tan C = 10 \cdot \tan 34^\circ \approx 6{,}75 (cm).

b) ABAB là cạnh kề của góc BB, ACAC là cạnh đối: AB=AC⋅cot⁡B=10⋅cot⁡25∘≈21,45AB = AC \cdot \cot B = 10 \cdot \cot 25^\circ \approx 21{,}45 (cm).

Thực hành 1. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có cạnh huyền bằng 2020 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông khi: a) B^=36∘\widehat{B} = 36^\circ; b) C^=41∘\widehat{C} = 41^\circ.

Lời giải:

a) B^=36∘\widehat{B} = 36^\circ: AC=BC⋅sin⁡B=20⋅sin⁡36∘≈11,76AC = BC \cdot \sin B = 20 \cdot \sin 36^\circ \approx 11{,}76 (cm); AB=BC⋅cos⁡B=20⋅cos⁡36∘≈16,18AB = BC \cdot \cos B = 20 \cdot \cos 36^\circ \approx 16{,}18 (cm).

Kiểm tra: 11,762+16,182≈138,3+261,8=400,1≈20211{,}76^2 + 16{,}18^2 \approx 138{,}3 + 261{,}8 = 400{,}1 \approx 20^2 ✓

b) C^=41∘\widehat{C} = 41^\circ: AB=BC⋅sin⁡C=20⋅sin⁡41∘≈13,12AB = BC \cdot \sin C = 20 \cdot \sin 41^\circ \approx 13{,}12 (cm); AC=BC⋅cos⁡C=20⋅cos⁡41∘≈15,10AC = BC \cdot \cos C = 20 \cdot \cos 41^\circ \approx 15{,}10 (cm).

Kiểm tra: 13,122+15,102≈172,1+228,0=400,1≈20213{,}12^2 + 15{,}10^2 \approx 172{,}1 + 228{,}0 = 400{,}1 \approx 20^2 ✓

Thực hành 2. Tính độ dài cạnh góc vuông xx của mỗi tam giác vuông trong Hình 3 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Tam giác vuông có cạnh huyền... quan sát hình: hai cạnh góc vuông là xx và 99, góc nhọn 32∘32^\circ kề với cạnh xx và đối với cạnh 99. Do đó x=9⋅cot⁡32∘≈14,40x = 9 \cdot \cot 32^\circ \approx 14{,}40.

b) Tam giác vuông có cạnh góc vuông 55 (kề góc 48∘48^\circ) và xx (đối góc 48∘48^\circ): x=5⋅tan⁡48∘≈5,55x = 5 \cdot \tan 48^\circ \approx 5{,}55.

Vận dụng 1. Một cần cẩu đang nâng một khối gỗ trên sông. Tay cẩu ABAB dài 1616 m và nghiêng một góc 42∘42^\circ so với phương nằm ngang. Tính chiều dài BCBC của đoạn dây cáp (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải:

Tam giác ABCABC vuông tại CC, AB=16AB = 16 m là cạnh huyền, góc A^=42∘\widehat{A} = 42^\circ. Đoạn dây cáp BCBC là cạnh đối của góc AA:

BC=AB⋅sin⁡A=16⋅sin⁡42∘≈10,7 (m).BC = AB \cdot \sin A = 16 \cdot \sin 42^\circ \approx 10{,}7 \text{ (m)}.

2. Giải tam giác vuông

HĐ2. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA (Hình 5). Trong các trường hợp sau, trường hợp nào tính được tất cả các cạnh và góc của tam giác?

Trường hợp aa bb cc B^\widehat{B} C^\widehat{C}
1 1010 44 ? ? ?
2 ? ? ? 20∘20^\circ 70∘70^\circ
3 1616 ? ? 35∘35^\circ ?

Lời giải:

Trường hợp 1 (biết hai cạnh): tính được. c=a2−b2=100−16=84≈9,17c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{100 - 16} = \sqrt{84} \approx 9{,}17; sin⁡B=ba=0,4⇒B^≈23,58∘\sin B = \dfrac{b}{a} = 0{,}4 \Rightarrow \widehat{B} \approx 23{,}58^\circ; C^≈66,42∘\widehat{C} \approx 66{,}42^\circ.

Trường hợp 2 (chỉ biết hai góc): không tính được các cạnh, vì có vô số tam giác đồng dạng với hai góc đó nhưng kích thước khác nhau.

Trường hợp 3 (biết một cạnh và một góc nhọn): tính được. C^=90∘−35∘=55∘\widehat{C} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ; b=asin⁡B=16sin⁡35∘≈9,18b = a\sin B = 16\sin 35^\circ \approx 9{,}18; c=acos⁡B=16cos⁡35∘≈13,11c = a\cos B = 16\cos 35^\circ \approx 13{,}11.

Kết luận: Giải một tam giác vuông là tính các cạnh và các góc của tam giác đó. Có thể giải được nếu biết hai cạnh, hoặc một cạnh và một góc nhọn.

Ví dụ 3. Giải các tam giác vuông ở Hình 6 (làm tròn độ dài đến hàng đơn vị, số đo góc đến độ).

Lời giải:

a) Tam giác ABCABC vuông tại AA, AB=6AB = 6, BC=11BC = 11:

sin⁡C=ABBC=611  ⟹  C^≈33∘;B^≈90∘−33∘=57∘.\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{11} \implies \widehat{C} \approx 33^\circ; \quad \widehat{B} \approx 90^\circ - 33^\circ = 57^\circ.

Theo định lí Pythagore: AC=112−62=85≈9AC = \sqrt{11^2 - 6^2} = \sqrt{85} \approx 9.

b) Tam giác DEFDEF vuông tại DD, E^=32∘\widehat{E} = 32^\circ, DF=9DF = 9:

F^=90∘−32∘=58∘;DE=DF⋅cot⁡E=9⋅cot⁡32∘≈14;EF=DFsin⁡E=9sin⁡32∘≈17.\widehat{F} = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ; \quad DE = DF \cdot \cot E = 9 \cdot \cot 32^\circ \approx 14; \quad EF = \frac{DF}{\sin E} = \frac{9}{\sin 32^\circ} \approx 17.

c) Tam giác PQRPQR vuông tại PP, QR=13QR = 13, PR=9PR = 9:

sin⁡Q=PRQR=913  ⟹  Q^≈44∘;R^≈46∘;PQ=132−92=88≈9.\sin Q = \frac{PR}{QR} = \frac{9}{13} \implies \widehat{Q} \approx 44^\circ; \quad \widehat{R} \approx 46^\circ; \quad PQ = \sqrt{13^2 - 9^2} = \sqrt{88} \approx 9.