Bài 2 (tiếp). Ứng dụng thực tế

Ví dụ 4. Hai con thuyền PP và QQ cách nhau 300300 m và thẳng hàng với chân BB của tháp hải đăng trên bờ biển. Từ PP và QQ, người ta nhìn thấy tháp hải đăng dưới các góc BPA^=14∘\widehat{BPA} = 14^\circ và BQA^=42∘\widehat{BQA} = 42^\circ. Đặt h=ABh = AB là chiều cao tháp hải đăng.

a) Tính BQBQ và BPBP theo hh. b) Tính chiều cao của tháp hải đăng (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải:

a) Xét tam giác BQABQA vuông tại BB: tan⁡Q=ABQB\tan Q = \dfrac{AB}{QB} nên BQ=htan⁡42∘BQ = \dfrac{h}{\tan 42^\circ}.

Xét tam giác BPABPA vuông tại BB: tan⁡P=ABPB\tan P = \dfrac{AB}{PB} nên BP=htan⁡14∘BP = \dfrac{h}{\tan 14^\circ}.

b) Vì PP, QQ, BB thẳng hàng và PQ=300PQ = 300 m nên BP−BQ=300BP - BQ = 300:

htan⁡14∘−htan⁡42∘=300  ⟹  h=3001tan⁡14∘−1tan⁡42∘≈3004,0108−1,1106≈103,4 (m).\frac{h}{\tan 14^\circ} - \frac{h}{\tan 42^\circ} = 300 \implies h = \frac{300}{\dfrac{1}{\tan 14^\circ} - \dfrac{1}{\tan 42^\circ}} \approx \frac{300}{4{,}0108 - 1{,}1106} \approx 103{,}4 \text{ (m)}.

Vậy tháp hải đăng cao khoảng 103,4103{,}4 m.

Chú ý: Khi người quan sát có hướng nhìn ngang theo tia OxOx: góc xOA^\widehat{xOA} (nhìn lên) gọi là góc nâng (góc nghiêng lên); góc xOB^\widehat{xOB} (nhìn xuống) gọi là góc hạ (góc nghiêng xuống).

Vận dụng 2. Trong Hình 9, cho OH=4OH = 4 m, AOH^=42∘\widehat{AOH} = 42^\circ, HOB^=28∘\widehat{HOB} = 28^\circ. Tính chiều cao ABAB của cây.

Lời giải:

OH=4OH = 4 m là khoảng cách ngang từ người quan sát đến cây; AHAH là phần cây phía trên tầm mắt, HBHB là phần cây phía dưới tầm mắt.

Xét tam giác OHAOHA vuông tại HH: AH=OH⋅tan⁡AOH^=4⋅tan⁡42∘≈3,6AH = OH \cdot \tan\widehat{AOH} = 4 \cdot \tan 42^\circ \approx 3{,}6 (m).

Xét tam giác OHBOHB vuông tại HH: HB=OH⋅tan⁡HOB^=4⋅tan⁡28∘≈2,1HB = OH \cdot \tan\widehat{HOB} = 4 \cdot \tan 28^\circ \approx 2{,}1 (m).

Chiều cao cây: AB=AH+HB≈3,6+2,1=5,7AB = AH + HB \approx 3{,}6 + 2{,}1 = 5{,}7 (m).

Bài tập

Bài 1. Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCDABCD, biết AC=16AC = 16 cm và BAC^=68∘\widehat{BAC} = 68^\circ (Hình 10).

Lời giải:

Xét tam giác ABCABC vuông tại BB, cạnh huyền AC=16AC = 16 cm, BAC^=68∘\widehat{BAC} = 68^\circ:

AB=AC⋅cos⁡68∘=16⋅cos⁡68∘≈6,0 (cm);BC=AC⋅sin⁡68∘=16⋅sin⁡68∘≈14,8 (cm).AB = AC \cdot \cos 68^\circ = 16 \cdot \cos 68^\circ \approx 6{,}0 \text{ (cm)}; \qquad BC = AC \cdot \sin 68^\circ = 16 \cdot \sin 68^\circ \approx 14{,}8 \text{ (cm)}.

Hình chữ nhật có AB=CD≈6,0AB = CD \approx 6{,}0 cm và BC=AD≈14,8BC = AD \approx 14{,}8 cm.

(Kiểm tra: 6,02+14,82≈36+219=255≈162=2566{,}0^2 + 14{,}8^2 \approx 36 + 219 = 255 \approx 16^2 = 256 ✓)

Bài 2. Cho tam giác ABCABC có BC=20BC = 20 cm, ABC^=22∘\widehat{ABC} = 22^\circ, ACB^=30∘\widehat{ACB} = 30^\circ.

a) Tính khoảng cách từ điểm BB đến đường thẳng ACAC.

b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABCABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm AA đến đường thẳng BCBC.

Lời giải:

a) Kẻ BK⊥ACBK \perp AC tại KK. Vì ABC^=22∘\widehat{ABC} = 22^\circ và ACB^=30∘\widehat{ACB} = 30^\circ nên tam giác ABCABC có BAC^=180∘−22∘−30∘=128∘\widehat{BAC} = 180^\circ - 22^\circ - 30^\circ = 128^\circ (góc tù), do đó KK nằm ngoài đoạn ACAC.

Xét tam giác BKCBKC vuông tại KK: BK=BC⋅sin⁡BCK^=20⋅sin⁡30∘=10BK = BC \cdot \sin\widehat{BCK} = 20 \cdot \sin 30^\circ = 10 (cm).

Vậy khoảng cách từ BB đến đường thẳng ACAC là 1010 cm.

b) BAC^=128∘\widehat{BAC} = 128^\circ. Xét tam giác ABKABK vuông tại KK, với BAK^=180∘−128∘=52∘\widehat{BAK} = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ (góc kề bù):

AB=BKsin⁡BAK^=10sin⁡52∘≈12,7 (cm).AB = \frac{BK}{\sin\widehat{BAK}} = \frac{10}{\sin 52^\circ} \approx 12{,}7 \text{ (cm)}.

Kẻ CI⊥ABCI \perp AB tại II; xét tam giác BICBIC vuông tại II: CI=BC⋅sin⁡22∘=20sin⁡22∘≈7,5CI = BC \cdot \sin 22^\circ = 20\sin 22^\circ \approx 7{,}5 (cm). Xét tam giác AICAIC vuông tại II với IAC^=52∘\widehat{IAC} = 52^\circ:

AC=CIsin⁡52∘≈7,50,788≈9,5 (cm).AC = \frac{CI}{\sin 52^\circ} \approx \frac{7{,}5}{0{,}788} \approx 9{,}5 \text{ (cm)}.

Vậy A^=128∘\widehat{A} = 128^\circ, AB≈12,7AB \approx 12{,}7 cm, AC≈9,5AC \approx 9{,}5 cm.

c) Khoảng cách từ AA đến BCBC là đường cao AHAH (H∈BCH \in BC). Xét tam giác ABHABH vuông tại HH:

AH=AB⋅sin⁡ABH^=12,7⋅sin⁡22∘≈4,8 (cm).AH = AB \cdot \sin\widehat{ABH} = 12{,}7 \cdot \sin 22^\circ \approx 4{,}8 \text{ (cm)}.

(Kiểm tra bằng tam giác AHCAHC: AH=ACsin⁡30∘≈9,5⋅0,5=4,75AH = AC\sin 30^\circ \approx 9{,}5 \cdot 0{,}5 = 4{,}75 ✓)

Bài 3. Một người đẩy một vật lên hết một con dốc nghiêng một góc 35∘35^\circ (Hình 11). Tính độ cao của vật so với mặt đất, biết độ dài con dốc là 44 m.

Lời giải:

Độ cao là cạnh đối của góc 35∘35^\circ trong tam giác vuông có cạnh huyền là con dốc 44 m:

h=4⋅sin⁡35∘≈2,3 (m).h = 4 \cdot \sin 35^\circ \approx 2{,}3 \text{ (m)}.

Bài 5. Lúc 66 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm AA) đến trường (điểm BB), phải đi đoạn lên dốc ACAC và đoạn xuống dốc CBCB (Hình 12). Biết AB=762AB = 762 m, A^=6∘\widehat{A} = 6^\circ, B^=4∘\widehat{B} = 4^\circ.

a) Tính chiều cao hh của con dốc.

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết tốc độ khi lên dốc là 44 km/h và tốc độ khi xuống dốc là 1919 km/h.

Lời giải:

a) Gọi HH là chân đường cao hạ từ CC xuống ABAB, CH=hCH = h. Ta có:

AH=htan⁡6∘;HB=htan⁡4∘;AH+HB=762.AH = \frac{h}{\tan 6^\circ}; \qquad HB = \frac{h}{\tan 4^\circ}; \qquad AH + HB = 762.

  ⟹  h(1tan⁡6∘+1tan⁡4∘)=762  ⟹  h≈7629,5144+14,3007≈76223,815≈32 (m).\implies h\left(\frac{1}{\tan 6^\circ} + \frac{1}{\tan 4^\circ}\right) = 762 \implies h \approx \frac{762}{9{,}5144 + 14{,}3007} \approx \frac{762}{23{,}815} \approx 32 \text{ (m)}.

b) Độ dài đoạn lên dốc: AC=hsin⁡6∘≈320,1045≈306AC = \dfrac{h}{\sin 6^\circ} \approx \dfrac{32}{0{,}1045} \approx 306 (m).

Độ dài đoạn xuống dốc: CB=hsin⁡4∘≈320,0698≈459CB = \dfrac{h}{\sin 4^\circ} \approx \dfrac{32}{0{,}0698} \approx 459 (m).

Thời gian lên dốc: t1=0,3064≈0,0765t_1 = \dfrac{0{,}306}{4} \approx 0{,}0765 giờ ≈4,6\approx 4{,}6 phút.

Thời gian xuống dốc: t2=0,45919≈0,0242t_2 = \dfrac{0{,}459}{19} \approx 0{,}0242 giờ ≈1,5\approx 1{,}5 phút.

Tổng thời gian ≈6,1\approx 6{,}1 phút. Vậy bạn An đến trường lúc khoảng 6 giờ 6 phút.