Bài tập cuối chương 4

Câu hỏi trắc nghiệm

Bài 1. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có AC=10AC = 10 cm, C^=60∘\widehat{C} = 60^\circ. Độ dài hai cạnh còn lại là?

Lời giải: AB=AC⋅tan⁡C=10tan⁡60∘=103AB = AC \cdot \tan C = 10\tan 60^\circ = 10\sqrt{3} (cm); BC=ACcos⁡C=100,5=20BC = \dfrac{AC}{\cos C} = \dfrac{10}{0{,}5} = 20 (cm). Đáp án C.

Bài 2. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có BC=8BC = 8 cm, AC=6AC = 6 cm. Tỉ số lượng giác tan⁡C\tan C (làm tròn đến hàng phần trăm) là?

Lời giải: AB=82−62=28=27AB = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}. Với góc CC: cạnh đối ABAB, cạnh kề ACAC:

tan⁡C=276=73≈0,88.\tan C = \frac{2\sqrt{7}}{6} = \frac{\sqrt{7}}{3} \approx 0{,}88.

Đáp án C.

Bài 3. Giá trị của biểu thức B=tan⁡20∘⋅tan⁡30∘⋅tan⁡40∘⋅tan⁡50∘⋅tan⁡60∘⋅tan⁡70∘B = \tan 20^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ \cdot \tan 60^\circ \cdot \tan 70^\circ là?

Lời giải: Ghép các cặp góc phụ nhau (tan⁡α⋅tan⁡(90∘−α)=tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan\alpha \cdot \tan(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1):

B=(tan⁡20∘⋅tan⁡70∘)(tan⁡30∘⋅tan⁡60∘)(tan⁡40∘⋅tan⁡50∘)=1⋅1⋅1=1.B = (\tan 20^\circ \cdot \tan 70^\circ)(\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ)(\tan 40^\circ \cdot \tan 50^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.

Đáp án B.

Bài 4. Người quan sát tại ngọn hải đăng cao 149149 m so với mặt nước thấy một du thuyền với góc nghiêng xuống là 27∘27^\circ. Hỏi thuyền cách chân hải đăng bao nhiêu mét?

Lời giải: Góc nghiêng xuống 27∘27^\circ bằng góc nâng từ thuyền nhìn lên đỉnh hải đăng (hai góc so le trong):

AB=149tan⁡27∘≈1490,5095≈292 (m).AB = \frac{149}{\tan 27^\circ} \approx \frac{149}{0{,}5095} \approx 292 \text{ (m)}.

Đáp án A.

Bài 5. Cho Hình 2 (tam giác vuông tại AA, AB=8AB = 8 cm, C^=30∘\widehat{C} = 30^\circ). Độ dài cạnh BCBC là?

Lời giải: BC=ABsin⁡C=8sin⁡30∘=80,5=16BC = \dfrac{AB}{\sin C} = \dfrac{8}{\sin 30^\circ} = \dfrac{8}{0{,}5} = 16 (cm). Đáp án D.

Bài 6. Cho tam giác MNPMNP có N^=70∘\widehat{N} = 70^\circ, P^=38∘\widehat{P} = 38^\circ, đường cao MI=11,5MI = 11{,}5 cm. Độ dài cạnh NPNP bằng?

Lời giải: II là chân đường cao trên NPNP:

NI=MItan⁡70∘≈11,52,7475≈4,19;IP=MItan⁡38∘≈11,50,7813≈14,72.NI = \frac{MI}{\tan 70^\circ} \approx \frac{11{,}5}{2{,}7475} \approx 4{,}19; \qquad IP = \frac{MI}{\tan 38^\circ} \approx \frac{11{,}5}{0{,}7813} \approx 14{,}72.

NP=NI+IP≈4,19+14,72=18,9NP = NI + IP \approx 4{,}19 + 14{,}72 = 18{,}9 (cm). Đáp án B.

Bài 7. Một cái thang dài 33 m đặt sát bờ tường, góc tạo bởi thang và bờ tường là 40∘40^\circ. Chân thang cách tường bao nhiêu mét?

Lời giải: Khoảng cách từ chân thang đến tường là cạnh đối của góc 40∘40^\circ:

d=3⋅sin⁡40∘≈3⋅0,6428≈1,9 (m).d = 3 \cdot \sin 40^\circ \approx 3 \cdot 0{,}6428 \approx 1{,}9 \text{ (m)}.

Đáp án A.

Bài 8. Máy bay bay lên với tốc độ 450450 km/h, đường bay lên tạo với phương ngang một góc 30∘30^\circ. Sau 33 phút, máy bay cách mặt đất bao nhiêu km theo phương thẳng đứng?

Lời giải: Quãng đường bay trong 33 phút =360= \dfrac{3}{60} giờ: 450⋅120=22,5450 \cdot \dfrac{1}{20} = 22{,}5 (km).

Độ cao =22,5⋅sin⁡30∘=22,5⋅0,5=11,25= 22{,}5 \cdot \sin 30^\circ = 22{,}5 \cdot 0{,}5 = 11{,}25 (km). Đáp án D.

Bài tập tự luận

Bài 9. Tìm số đo góc α\alpha biết:

a) sin⁡α=0,25\sin\alpha = 0{,}25; b) cos⁡α=0,75\cos\alpha = 0{,}75; c) tan⁡α=1\tan\alpha = 1; d) cot⁡α=2\cot\alpha = 2.

Lời giải:

a) α≈14,48∘≈14∘29′\alpha \approx 14{,}48^\circ \approx 14^\circ 29'.

b) α≈41,41∘≈41∘25′\alpha \approx 41{,}41^\circ \approx 41^\circ 25'.

c) α=45∘\alpha = 45^\circ.

d) tan⁡α=12=0,5⇒α≈26,57∘≈26∘34′\tan\alpha = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 \Rightarrow \alpha \approx 26{,}57^\circ \approx 26^\circ 34'.

Bài 10. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có AB=18AB = 18 cm, AC=24AC = 24 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc BB, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc CC.

Lời giải:

BC=182+242=324+576=900=30BC = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 (cm).

Góc BB (cạnh đối AC=24AC = 24, cạnh kề AB=18AB = 18):

sin⁡B=2430=0,8;cos⁡B=1830=0,6;tan⁡B=2418=43;cot⁡B=34.\sin B = \frac{24}{30} = 0{,}8; \quad \cos B = \frac{18}{30} = 0{,}6; \quad \tan B = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}; \quad \cot B = \frac{3}{4}.

Vì B^\widehat{B} và C^\widehat{C} phụ nhau nên:

sin⁡C=cos⁡B=0,6;cos⁡C=sin⁡B=0,8;tan⁡C=cot⁡B=34;cot⁡C=tan⁡B=43.\sin C = \cos B = 0{,}6; \quad \cos C = \sin B = 0{,}8; \quad \tan C = \cot B = \frac{3}{4}; \quad \cot C = \tan B = \frac{4}{3}.

Bài 11. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA. Chứng minh rằng ACAB=sin⁡Bsin⁡C\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{\sin B}{\sin C}.

Lời giải:

Trong tam giác vuông tại AA với cạnh huyền BCBC:

sin⁡B=ACBC;sin⁡C=ABBC.\sin B = \frac{AC}{BC}; \qquad \sin C = \frac{AB}{BC}.

Do đó:

sin⁡Bsin⁡C=AC/BCAB/BC=ACAB (đieˆˋu phải chứng minh).\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{AC/BC}{AB/BC} = \frac{AC}{AB} \text{ (điều phải chứng minh)}.

Bài 12. Cho góc nhọn α\alpha biết sin⁡α=0,8\sin\alpha = 0{,}8. Tính cos⁡α\cos\alpha, tan⁡α\tan\alpha và cot⁡α\cot\alpha.

Lời giải:

Xét tam giác vuông có cạnh đối của α\alpha bằng 0,80{,}8 và cạnh huyền bằng 11; cạnh kề =1−0,64=0,36=0,6= \sqrt{1 - 0{,}64} = \sqrt{0{,}36} = 0{,}6.

cos⁡α=0,6;tan⁡α=0,80,6=43;cot⁡α=34.\cos\alpha = 0{,}6; \qquad \tan\alpha = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3}; \qquad \cot\alpha = \frac{3}{4}.

Bài 13. Tính giá trị của biểu thức:

a) A=4−sin⁡245∘+2cos⁡260∘−3cot⁡345∘A = 4 - \sin^2 45^\circ + 2\cos^2 60^\circ - 3\cot^3 45^\circ;

b) B=tan⁡45∘⋅cos⁡30∘⋅cot⁡30∘B = \tan 45^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \cot 30^\circ;

c) C=sin⁡15∘+sin⁡75∘−cos⁡15∘−cos⁡75∘+sin⁡30∘C = \sin 15^\circ + \sin 75^\circ - \cos 15^\circ - \cos 75^\circ + \sin 30^\circ.

Lời giải:

a) sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} nên sin⁡245∘=12\sin^2 45^\circ = \dfrac{1}{2}; cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} nên cos⁡260∘=14\cos^2 60^\circ = \dfrac{1}{4}; cot⁡45∘=1\cot 45^\circ = 1 nên cot⁡345∘=1\cot^3 45^\circ = 1.

A=4−12+2⋅14−3⋅1=4−0,5+0,5−3=1.A = 4 - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot 1 = 4 - 0{,}5 + 0{,}5 - 3 = 1.

b) B=1⋅32⋅3=32=1,5B = 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5.

c) Dùng hai góc phụ nhau: sin⁡75∘=cos⁡15∘\sin 75^\circ = \cos 15^\circ và cos⁡75∘=sin⁡15∘\cos 75^\circ = \sin 15^\circ:

C=sin⁡15∘+cos⁡15∘−cos⁡15∘−sin⁡15∘+sin⁡30∘=sin⁡30∘=12.C = \sin 15^\circ + \cos 15^\circ - \cos 15^\circ - \sin 15^\circ + \sin 30^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.

Bài 14. Cho tam giác OPQOPQ vuông tại OO có P^=39∘\widehat{P} = 39^\circ và PQ=10PQ = 10 cm. Hãy giải tam giác vuông OPQOPQ.

Lời giải:

Q^=90∘−39∘=51∘\widehat{Q} = 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ.

OQOQ là cạnh đối của P^\widehat{P}: OQ=PQ⋅sin⁡P=10⋅sin⁡39∘≈6,3OQ = PQ \cdot \sin P = 10 \cdot \sin 39^\circ \approx 6{,}3 (cm).

OPOP là cạnh kề của P^\widehat{P}: OP=PQ⋅cos⁡P=10⋅cos⁡39∘≈7,8OP = PQ \cdot \cos P = 10 \cdot \cos 39^\circ \approx 7{,}8 (cm).

(Kiểm tra: 6,32+7,82≈39,7+60,8=100,5≈1026{,}3^2 + 7{,}8^2 \approx 39{,}7 + 60{,}8 = 100{,}5 \approx 10^2 ✓)

Bài 15. Hai điểm PP và QQ cách nhau 203203 m và thẳng hàng với chân NN của một tòa tháp. Từ đỉnh MM của tòa tháp, một người nhìn thấy hai điểm PP, QQ với hai góc nghiêng xuống lần lượt là 38∘38^\circ và 44∘44^\circ. Tính chiều cao của tòa tháp (làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Lời giải:

Đặt h=MNh = MN là chiều cao tháp. Góc nghiêng xuống bằng góc nâng nhìn từ mặt đất lên đỉnh tháp, nên MPN^=38∘\widehat{MPN} = 38^\circ và MQN^=44∘\widehat{MQN} = 44^\circ.

NP=htan⁡38∘;NQ=htan⁡44∘;NP−NQ=PQ=203.NP = \frac{h}{\tan 38^\circ}; \qquad NQ = \frac{h}{\tan 44^\circ}; \qquad NP - NQ = PQ = 203.

h(1tan⁡38∘−1tan⁡44∘)=203  ⟹  h≈2031,2799−1,0355≈2030,2444≈831 (m).h\left(\frac{1}{\tan 38^\circ} - \frac{1}{\tan 44^\circ}\right) = 203 \implies h \approx \frac{203}{1{,}2799 - 1{,}0355} \approx \frac{203}{0{,}2444} \approx 831 \text{ (m)}.

Vậy tòa tháp cao khoảng 831831 m.

Bài 16. Hai chiếc tàu thủy BB và CC cùng xuất phát từ vị trí AA, đi thẳng theo hai hướng tạo thành góc 60∘60^\circ. Tàu BB chạy với tốc độ 2020 hải lí/giờ, tàu CC chạy 1515 hải lí/giờ. Hỏi sau 1,51{,}5 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Sau 1,51{,}5 giờ: AB=20⋅1,5=30AB = 20 \cdot 1{,}5 = 30 (hải lí); AC=15⋅1,5=22,5AC = 15 \cdot 1{,}5 = 22{,}5 (hải lí); BAC^=60∘\widehat{BAC} = 60^\circ.

Kẻ BH⊥ACBH \perp AC tại HH. Trong tam giác ABHABH vuông tại HH:

AH=AB⋅cos⁡60∘=30⋅0,5=15;BH=AB⋅sin⁡60∘=30⋅32=153.AH = AB \cdot \cos 60^\circ = 30 \cdot 0{,}5 = 15; \qquad BH = AB \cdot \sin 60^\circ = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}.

HC=AC−AH=22,5−15=7,5.HC = AC - AH = 22{,}5 - 15 = 7{,}5.

Trong tam giác BHCBHC vuông tại HH:

BC=BH2+HC2=675+56,25=731,25≈27,04 (hải lıˊ).BC = \sqrt{BH^2 + HC^2} = \sqrt{675 + 56{,}25} = \sqrt{731{,}25} \approx 27{,}04 \text{ (hải lí)}.

Vậy sau 1,51{,}5 giờ hai tàu cách nhau khoảng 27,0427{,}04 hải lí.