Giải Toán 9 Tập 1 trang 76-78 - Chân trời sáng tạo

Bài 1. Đường tròn

2. Tính đối xứng của đường tròn

HĐ2. a) Cho đường tròn $(O; R)$ .

i) Lấy điểm $A$ nằm trên đường tròn. Vẽ đường thẳng $AO$ cắt đường tròn tại điểm $A'$ khác $A$ . Giải thích tại sao $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AA'$ .

ii) Lấy điểm $B$ khác $A$ thuộc $(O; R)$ . Tìm điểm $B'$ sao cho $O$ là trung điểm của $BB'$ . Điểm $B'$ có thuộc $(O; R)$ không?

b) Cho $d$ là đường thẳng đi qua tâm $O$ . Lấy $M$ trên đường tròn, vẽ $M'$ sao cho $d$ là đường trung trực của $MM'$ . Điểm $M'$ có thuộc $(O; R)$ không?

Lời giải:

a) i) Vì $A$ và $A'$ đều thuộc đường tròn $(O; R)$ nên $OA = OA' = R$ . Mặt khác $A$ , $O$ , $A'$ thẳng hàng (cùng nằm trên đường thẳng $AO$ ) và $A' \ne A$ , nên $O$ nằm giữa $A$ và $A'$ . Vậy $O$ là trung điểm của $AA'$ .

ii) Vì $O$ là trung điểm $BB'$ nên $OB' = OB = R$ , do đó $B'$ thuộc đường tròn $(O; R)$ .

b) Vì $d$ đi qua $O$ và là trung trực của $MM'$ nên $O$ cách đều $M$ và $M'$ : $OM' = OM = R$ . Vậy $M'$ thuộc đường tròn $(O; R)$ .

Kết luận: Đường tròn là hình có tâm đối xứng, tâm đối xứng chính là tâm đường tròn. Đường tròn cũng là hình có trục đối xứng; mọi đường thẳng đi qua tâm đều là trục đối xứng của nó.

Ví dụ 2. Cho đường tròn $(I)$ . a) Tìm tâm đối xứng của $(I)$ . b) Vẽ hai trục đối xứng của $(I)$ .

Lời giải:

a) Tâm $I$ là tâm đối xứng của $(I)$ .

b) Vẽ hai đường thẳng $a$ và $b$ bất kì đi qua tâm $I$ ; cả $a$ và $b$ đều là trục đối xứng của $(I)$ .

Thực hành 1. Xác định tâm đối xứng và trục đối xứng của bánh xe trong Hình 7. Giải thích cách làm.

Lời giải:

Bánh xe có dạng hình tròn nên tâm đối xứng là tâm của bánh xe (giao điểm của các nan hoa, cũng là trục quay). Trục đối xứng là mọi đường thẳng đi qua tâm đó — chẳng hạn đường thẳng chứa một nan hoa và nan hoa đối diện.

Cách làm: xác định tâm bằng giao điểm của hai đường kính bất kì (hoặc giao các nan hoa), rồi kẻ các đường thẳng qua tâm.

Vận dụng 1. Nêu cách chia một cái bánh có dạng hình tròn tâm $O$ (Hình 8) thành hai phần bằng nhau.

Lời giải:

Cắt theo một đường kính bất kì của hình tròn, tức là đường thẳng đi qua tâm $O$ . Vì mọi đường thẳng qua tâm đều là trục đối xứng của hình tròn nên hai phần thu được đối xứng nhau qua đường cắt, do đó bằng nhau.

3. Đường kính và dây cung của đường tròn

HĐ3. Trên đường tròn $(O; R)$ , lấy bốn điểm $A$ , $B$ , $M$ , $N$ sao cho $AB$ đi qua $O$ và $MN$ không đi qua $O$ .

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ theo $R$ .

b) So sánh độ dài của $MN$ và $OM + ON$ . Từ đó, so sánh độ dài của $MN$ và $AB$ .

Lời giải:

a) Vì $AB$ đi qua tâm $O$ nên $AB = OA + OB = R + R = 2R$ .

b) Vì $MN$ không đi qua $O$ nên ba điểm $M$ , $O$ , $N$ không thẳng hàng, tạo thành tam giác $OMN$ . Theo bất đẳng thức tam giác:

$MN < OM + ON = R + R = 2R = AB.$

Vậy $MN < AB$ .

Định nghĩa và kết luận: Cho hai điểm $C$ , $D$ cùng thuộc một đường tròn; đoạn thẳng $CD$ gọi là dây cung (hay dây). Đường kính là dây đi qua tâm. Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Ví dụ 3. Trong Hình 10, so sánh độ dài của các đoạn thẳng $OC$ , $PQ$ với $AB$ .

Lời giải:

Trong đường tròn $(O)$ : $AB$ là đường kính, $OC$ là bán kính, $PQ$ là dây cung không đi qua $O$ . Suy ra:

$OC = \frac{AB}{2} \quad \text{và} \quad PQ < AB.$

Thực hành 2. Cho đường tròn $(I)$ có các dây cung $AB$ , $CD$ , $EF$ ; biết $AB$ và $CD$ đi qua tâm $I$ , còn $EF$ không đi qua $I$ (Hình 11). Hãy so sánh độ dài $AB$ , $CD$ , $EF$ .

Lời giải:

$AB$ và $CD$ đều đi qua tâm nên đều là đường kính, do đó $AB = CD = 2R$ . Dây $EF$ không đi qua tâm nên $EF < 2R$ .

Vậy $AB = CD > EF$ .

Vận dụng 2. Bạn Mai căng ba đoạn chỉ $AB$ , $CD$ , $EF$ có độ dài lần lượt là $16$ cm, $14$ cm và $20$ cm trên một khung thêu hình tròn bán kính $10$ cm (Hình 12). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn? Giải thích.

Lời giải:

Đường kính của khung thêu bằng $2 \cdot 10 = 20$ (cm) — đó là dây dài nhất. Trong ba đoạn chỉ, chỉ có $EF = 20$ cm bằng đúng đường kính.

Vậy dây $EF$ đi qua tâm của đường tròn; hai dây còn lại ( $16$ cm và $14$ cm) đều ngắn hơn $20$ cm nên không đi qua tâm.

4. Vị trí tương đối của hai đường tròn

HĐ4. Tìm số điểm chung của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ trong mỗi trường hợp ở Hình 13.

Lời giải:

a) Hai đường tròn ở ngoài nhau: không có điểm chung.

b) Đường tròn này đựng đường tròn kia: không có điểm chung.

c) Tiếp xúc ngoài: có 1 điểm chung (điểm $M$ ).

d) Tiếp xúc trong: có 1 điểm chung (điểm $M$ ).

e) Cắt nhau: có 2 điểm chung (hai điểm $M$ , $N$ ).

Định nghĩa:

Hai đường tròn không có điểm chung gọi là hai đường tròn không giao nhau — có thể ở ngoài nhau hoặc đường tròn này đựng đường tròn kia.
Hai đường tròn chỉ có một điểm chung gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau; điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Có thể tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.
Hai đường tròn có đúng hai điểm chung gọi là hai đường tròn cắt nhau; hai điểm chung gọi là hai giao điểm, đoạn thẳng nối chúng gọi là dây chung.