Bài 1 (tiếp). Vị trí tương đối của hai đường tròn

Ví dụ 4. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (I)(I) và (I′)(I') trong mỗi trường hợp ở Hình 14.

Lời giải:

a) (I)(I) và (I′)(I') có đúng một điểm chung nên chúng tiếp xúc với nhau (tiếp xúc trong).

b) (I)(I) và (I′)(I') không có điểm chung, đồng thời nằm ở ngoài nhau.

c) (I)(I) và (I′)(I') có đúng hai điểm chung nên chúng cắt nhau.

d) (I)(I) và (I′)(I') không có điểm chung, đồng thời (I′)(I') đựng (I)(I).

HĐ5. Cho hai đường tròn phân biệt (O;R)(O; R) và (O′;R′)(O'; R') với R≥R′R \ge R'. Hãy so sánh OO′OO' với R+R′R + R' và R−R′R - R' trong các trường hợp: không có điểm chung; chỉ có một điểm chung; có đúng hai điểm chung.

Lời giải:

Trường hợp 1 — không có điểm chung:

  • Hình 15a (ở ngoài nhau): hai đường tròn tách rời, khoảng cách hai tâm lớn hơn tổng hai bán kính: OO′>R+R′OO' > R + R'.
  • Hình 15b (đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ): hai tâm rất gần nhau, OO′<R−R′OO' < R - R'.

Trường hợp 2 — chỉ có một điểm chung:

  • Hình 16a (tiếp xúc ngoài): tiếp điểm AA nằm giữa OO và O′O' nên OO′=OA+AO′=R+R′OO' = OA + AO' = R + R'.
  • Hình 16b (tiếp xúc trong): O′O' nằm giữa OO và tiếp điểm AA nên OO′=OA−O′A=R−R′OO' = OA - O'A = R - R'.

Trường hợp 3 — có đúng hai điểm chung (Hình 17, cắt nhau): xét tam giác OAO′OAO' với OA=ROA = R, O′A=R′O'A = R'; theo bất đẳng thức tam giác:

R−R′<OO′<R+R′.R - R' < OO' < R + R'.

Tóm tắt các hệ thức (với R≥R′R \ge R'):

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ
Hai đường tròn cắt nhau 22 R−R′<OO′<R+R′R - R' < OO' < R + R'
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài 11 OO′=R+R′OO' = R + R'
Hai đường tròn tiếp xúc trong 11 OO′=R−R′OO' = R - R'
Hai đường tròn ở ngoài nhau 00 OO′>R+R′OO' > R + R'
(O;R)(O; R) đựng (O′;R′)(O'; R') 00 OO′<R−R′OO' < R - R'

Ví dụ 5. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R)(O; R) và (O′;R′)(O'; R') trong mỗi trường hợp:

a) OO′=12OO' = 12; R=5R = 5; R′=3R' = 3; b) OO′=8OO' = 8; R=5R = 5; R′=3R' = 3; c) OO′=7OO' = 7; R=5R = 5; R′=3R' = 3; d) OO′=0OO' = 0; R=5R = 5; R′=4R' = 4.

Lời giải:

a) 12>5+3=812 > 5 + 3 = 8 nên OO′>R+R′OO' > R + R': hai đường tròn ở ngoài nhau.

b) 8=5+38 = 5 + 3 nên OO′=R+R′OO' = R + R': hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

c) 5−3=2<7<8=5+35 - 3 = 2 < 7 < 8 = 5 + 3 nên R−R′<OO′<R+R′R - R' < OO' < R + R': hai đường tròn cắt nhau.

d) 0<5−4=10 < 5 - 4 = 1 nên OO′<R−R′OO' < R - R': đường tròn (O;R)(O; R) đựng đường tròn (O′;R′)(O'; R').

Chú ý: Nếu OO′=0OO' = 0 thì OO trùng O′O'; hai đường tròn có tâm trùng nhau gọi là hai đường tròn đồng tâm.

Thực hành 3. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn (I;R)(I; R) và (J;R′)(J; R') trong mỗi trường hợp:

a) IJ=5IJ = 5; R=3R = 3; R′=2R' = 2; b) IJ=4IJ = 4; R=11R = 11; R′=7R' = 7; c) IJ=6IJ = 6; R=9R = 9; R′=4R' = 4; d) IJ=10IJ = 10; R=4R = 4; R′=1R' = 1.

Lời giải:

a) R+R′=3+2=5=IJR + R' = 3 + 2 = 5 = IJ: hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

b) R−R′=11−7=4=IJR - R' = 11 - 7 = 4 = IJ: hai đường tròn tiếp xúc trong.

c) R−R′=9−4=5R - R' = 9 - 4 = 5 và R+R′=13R + R' = 13; vì 5<6<135 < 6 < 13 nên hai đường tròn cắt nhau.

d) R+R′=4+1=5<10=IJR + R' = 4 + 1 = 5 < 10 = IJ: hai đường tròn ở ngoài nhau.

Vận dụng 3. Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn trong hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên (Hình 18).

Lời giải:

a) Hai chiếc cồng đặt cạnh nhau, các đường viền tròn không có điểm chung và nằm tách rời: hai đường tròn ở ngoài nhau.

b) Hai chiếc cồng chạm sát nhau tại đúng một điểm: hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

c) Trên mỗi mặt cồng có vành trang trí tròn nhỏ nằm hẳn bên trong vành ngoài, chung tâm mặt cồng: đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ (hai đường tròn đồng tâm).

Vận dụng 4. Dùng compa đo bán kính và vẽ lại các hình trong Hình 19.

Lời giải:

a) Hình âm dương: vẽ đường tròn lớn tâm OO bán kính RR; trên đường kính của nó lấy hai điểm là trung điểm của hai nửa bán kính, dùng compa vẽ hai nửa đường tròn bán kính R2\dfrac{R}{2} (một nửa phía trên, một nửa phía dưới) — hai nửa đường tròn này tiếp xúc trong với đường tròn lớn và tiếp xúc ngoài với nhau tại tâm OO. Tô màu theo mẫu.

b) Hình bia bắn: vẽ các đường tròn đồng tâm cùng tâm OO với các bán kính tăng dần đều (ví dụ RR, 2R2R, 3R3R, 4R4R), rồi tô màu xen kẽ đen – trắng.