Bài tập (Bài 1. Đường tròn)

Bài 1. Cho đường tròn (O)(O) bán kính 55 cm và bốn điểm AA, BB, CC, DD thỏa mãn OA=3OA = 3 cm, OB=4OB = 4 cm, OC=7OC = 7 cm, OD=5OD = 5 cm. Hãy cho biết mỗi điểm AA, BB, CC, DD nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài đường tròn (O)(O).

Lời giải:

So sánh khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm với bán kính R=5R = 5 cm:

  • OA=3<5OA = 3 < 5: điểm AA nằm trong đường tròn;
  • OB=4<5OB = 4 < 5: điểm BB nằm trong đường tròn;
  • OC=7>5OC = 7 > 5: điểm CC nằm ngoài đường tròn;
  • OD=5=ROD = 5 = R: điểm DD nằm trên đường tròn.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCDABCD có AD=18AD = 18 cm và CD=12CD = 12 cm. Chứng minh rằng bốn điểm AA, BB, CC, DD cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Gọi OO là giao điểm hai đường chéo ACAC và BDBD. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên:

OA=OB=OC=OD=AC2.OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2}.

Vậy bốn điểm AA, BB, CC, DD cùng thuộc đường tròn tâm OO bán kính AC2\dfrac{AC}{2}.

Theo định lí Pythagore trong tam giác ACDACD vuông tại DD:

AC=AD2+CD2=182+122=324+144=468=613 (cm).AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{18^2 + 12^2} = \sqrt{324 + 144} = \sqrt{468} = 6\sqrt{13} \text{ (cm)}.

Bán kính: R=AC2=313≈10,8R = \dfrac{AC}{2} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}8 (cm).

Bài 3. Cho tam giác ABCABC có hai đường cao BB′BB' và CC′CC'. Gọi OO là trung điểm BCBC.

a) Chứng minh đường tròn tâm OO bán kính OB′OB' đi qua BB, CC, C′C';

b) So sánh độ dài hai đoạn thẳng BCBC và B′C′B'C'.

Lời giải:

a) Vì BB′BB' là đường cao nên BB′C^=90∘\widehat{BB'C} = 90^\circ: tam giác BB′CBB'C vuông tại B′B', có B′OB'O là trung tuyến ứng với cạnh huyền BCBC nên OB′=BC2=OB=OCOB' = \dfrac{BC}{2} = OB = OC.

Tương tự, CC′CC' là đường cao nên tam giác BC′CBC'C vuông tại C′C', có C′OC'O là trung tuyến ứng với cạnh huyền BCBC nên OC′=BC2OC' = \dfrac{BC}{2}.

Vậy OB=OC=OB′=OC′=BC2OB = OC = OB' = OC' = \dfrac{BC}{2}: đường tròn tâm OO bán kính OB′OB' đi qua cả bốn điểm BB, CC, B′B', C′C'.

b) Trong đường tròn tâm OO nói trên, BCBC là đường kính (vì OO là trung điểm BCBC), còn B′C′B'C' là một dây cung. Vì đường kính là dây lớn nhất nên:

B′C′≤BC (daˆˊu ba˘ˋng khoˆng xảy ra vıˋ B′C′ khoˆng đi qua O), tức laˋ B′C′<BC.B'C' \le BC \text{ (dấu bằng không xảy ra vì } B'C' \text{ không đi qua } O\text{), tức là } B'C' < BC.

Bài 4. Cho tứ giác ABCDABCD có B^=D^=90∘\widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ.

a) Chứng minh bốn điểm AA, BB, CC, DD cùng nằm trên một đường tròn.

b) So sánh độ dài của ACAC và BDBD.

Lời giải:

a) Gọi OO là trung điểm của ACAC.

Tam giác ABCABC vuông tại BB có BOBO là trung tuyến ứng với cạnh huyền ACAC nên OB=AC2OB = \dfrac{AC}{2}.

Tam giác ADCADC vuông tại DD có DODO là trung tuyến ứng với cạnh huyền ACAC nên OD=AC2OD = \dfrac{AC}{2}.

Suy ra OA=OB=OC=OD=AC2OA = OB = OC = OD = \dfrac{AC}{2}: bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm OO, bán kính AC2\dfrac{AC}{2}.

b) Trong đường tròn đó, ACAC là đường kính còn BDBD là dây cung không đi qua tâm (vì tứ giác có hai góc kia khác 90∘90^\circ), nên BD<ACBD < AC.

Bài 5. Cho hai đường tròn (O;2(O; 2 cm)) và (A;2(A; 2 cm)) cắt nhau tại CC, DD, điểm AA nằm trên đường tròn tâm OO (Hình 20).

a) Vẽ đường tròn (C;2(C; 2 cm)).

b) Đường tròn (C;2(C; 2 cm)) có đi qua hai điểm OO và AA không? Vì sao?

Lời giải:

a) Dùng compa mở khẩu độ 22 cm, đặt mũi nhọn tại CC rồi vẽ đường tròn.

b) Có. Vì CC thuộc đường tròn (O;2(O; 2 cm)) nên OC=2OC = 2 cm; vì CC thuộc đường tròn (A;2(A; 2 cm)) nên AC=2AC = 2 cm.

Do đó hai điểm OO và AA đều cách CC một khoảng bằng 22 cm, tức là cùng nằm trên đường tròn (C;2(C; 2 cm)).

Bài 6. Cho hai đường tròn (A;6(A; 6 cm)) và (B;4(B; 4 cm)) cắt nhau tại CC và DD, AB=8AB = 8 cm. Gọi KK, II lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng ABAB (Hình 21).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CACA, CBCB, DADA và DBDB.

b) Điểm II có phải là trung điểm của đoạn thẳng ABAB không?

c) Tính độ dài của đoạn thẳng IKIK.

Lời giải:

a) CC và DD đều thuộc đường tròn (A;6(A; 6 cm)) nên CA=DA=6CA = DA = 6 cm.

CC và DD đều thuộc đường tròn (B;4(B; 4 cm)) nên CB=DB=4CB = DB = 4 cm.

b) II là giao điểm của đường tròn (B;4(B; 4 cm)) với đoạn ABAB nên BI=4BI = 4 cm, suy ra:

AI=AB−BI=8−4=4 (cm)=BI.AI = AB - BI = 8 - 4 = 4 \text{ (cm)} = BI.

Vậy II là trung điểm của ABAB.

c) KK là giao điểm của đường tròn (A;6(A; 6 cm)) với đoạn ABAB nên AK=6AK = 6 cm.

IK=AK−AI=6−4=2 (cm).IK = AK - AI = 6 - 4 = 2 \text{ (cm)}.

Bài 7. Xác định vị trí tương đối của (O;R)(O; R) và (O′;R′)(O'; R') trong mỗi trường hợp sau:

a) OO′=18OO' = 18; R=10R = 10; R′=6R' = 6; b) OO′=2OO' = 2; R=9R = 9; R′=3R' = 3; c) OO′=13OO' = 13; R=8R = 8; R′=5R' = 5; d) OO′=17OO' = 17; R=15R = 15; R′=4R' = 4.

Lời giải:

a) R+R′=16<18=OO′R + R' = 16 < 18 = OO': hai đường tròn ở ngoài nhau.

b) R−R′=9−3=6>2=OO′R - R' = 9 - 3 = 6 > 2 = OO': đường tròn (O;R)(O; R) đựng đường tròn (O′;R′)(O'; R').

c) R+R′=13=OO′R + R' = 13 = OO': hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

d) R−R′=11R - R' = 11 và R+R′=19R + R' = 19; vì 11<17<1911 < 17 < 19 nên hai đường tròn cắt nhau.