Giải Toán 9 Tập 1 trang 83-85 - Chân trời sáng tạo

Bài 2. Tiếp tuyến của đường tròn

Khởi động. Hãy mô tả các vị trí của Mặt Trời so với đường chân trời ở các thời điểm Mặt Trời lặn khác nhau.

Trả lời:

Coi Mặt Trời là hình tròn và đường chân trời là một đường thẳng:

a) Mặt Trời còn nằm hẳn phía trên đường chân trời — đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

b) Mặt Trời vừa chạm đường chân trời tại một điểm — đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

c) Mặt Trời đã lặn một phần dưới đường chân trời — đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

HĐ1. Nêu nhận xét về số điểm chung của đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ trong mỗi hình (Hình 1).

Lời giải:

a) Không có điểm chung. b) Có đúng một điểm chung ( $C$ ). c) Có hai điểm chung ( $A$ và $B$ ).

Định nghĩa: Nếu đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ :

Không có điểm chung thì $a$ và $(O)$ không giao nhau;
Có duy nhất một điểm chung $C$ thì $a$ tiếp xúc với $(O)$ tại $C$ ; khi đó $a$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $C$ là tiếp điểm;
Có hai điểm chung $A$ , $B$ thì $a$ cắt $(O)$ ; $a$ là cát tuyến và $A$ , $B$ là hai giao điểm.

Nhận xét (hệ thức với khoảng cách $d$ từ $O$ đến $a$ ):

$d > R$ : đường thẳng và đường tròn không giao nhau;
$d = R$ : đường thẳng tiếp xúc với đường tròn;
$d < R$ : đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng $b$ và một điểm $I$ cách $b$ một khoảng $d = 6$ cm. Xác định vị trí tương đối của $b$ với các đường tròn:

a) $(I; 3$ cm $)$ ; b) $(I; 6$ cm $)$ ; c) $(I; 8$ cm $)$ .

Lời giải:

a) $d = 6 > 3 = R$ : $b$ và $(I; 3$ cm $)$ không giao nhau.

b) $d = 6 = R$ : $b$ tiếp xúc với $(I; 6$ cm $)$ .

c) $d = 6 < 8 = R$ : $b$ cắt $(I; 8$ cm $)$ tại hai điểm.

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $a$ và một điểm $O$ cách $a$ một khoảng $8$ cm. Vẽ đường tròn tâm $O$ , bán kính $10$ cm.

a) Giải thích vì sao $a$ và $(O)$ cắt nhau.

b) Gọi $M$ và $N$ là các giao điểm của $a$ và $(O; 10$ cm $)$ . Tính độ dài dây $MN$ .

Lời giải:

a) Vẽ $OH \perp a$ tại $H$ , ta có $OH = 8$ cm $< R = 10$ cm, tức $d < R$ nên $a$ cắt $(O; 10$ cm $)$ tại hai điểm.

b) Vì $M$ , $N$ thuộc $(O)$ nên $OM = ON = R$ : tam giác $OMN$ cân tại $O$ , có $OH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, do đó $H$ là trung điểm của $MN$ .

Trong tam giác $OMH$ vuông tại $H$ :

$MH = \sqrt{OM^2 - OH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6 \text{ (cm)}.$

Suy ra $MN = 2MH = 12$ (cm).

Thực hành 1. Cho đường tròn $(J; 5$ cm $)$ và đường thẳng $c$ . Gọi $K$ là chân đường vuông góc vẽ từ $J$ xuống $c$ , $d$ là độ dài của đoạn thẳng $JK$ . Xác định vị trí tương đối của $c$ và $(J; 5$ cm $)$ khi:

a) $d = 4$ cm; b) $d = 5$ cm; c) $d = 6$ cm.

Lời giải:

a) $d = 4 < 5 = R$ : đường thẳng $c$ cắt đường tròn tại hai điểm.

b) $d = 5 = R$ : đường thẳng $c$ tiếp xúc với đường tròn (là tiếp tuyến).

c) $d = 6 > 5 = R$ : đường thẳng $c$ và đường tròn không giao nhau.

Vận dụng 1. Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là $72$ cm, tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Lời giải:

Bánh xe lăn trên dây cáp nên dây cáp là tiếp tuyến của đường tròn bánh xe. Khi đó khoảng cách từ tâm (trục bánh xe) đến tiếp tuyến bằng bán kính:

$d = R = \frac{72}{2} = 36 \text{ (cm)}.$

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

HĐ2. Cho điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O; R)$ , đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với $OA$ . Gọi $M$ là một điểm trên $d$ ( $M$ khác $A$ ).

a) Giải thích tại sao $OA = R$ và $OM > R$ .

b) Giải thích tại sao $d$ và $(O)$ không thể có điểm chung nào khác ngoài $A$ .

Lời giải:

a) $A$ thuộc đường tròn $(O; R)$ nên $OA = R$ .

Vì $d \perp OA$ tại $A$ nên tam giác $OAM$ vuông tại $A$ , có $OM$ là cạnh huyền. Cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông nên $OM > OA = R$ .

b) Với mọi điểm $M$ trên $d$ khác $A$ , ta luôn có $OM > R$ , tức $M$ nằm ngoài đường tròn. Do đó $d$ không thể cắt $(O)$ tại điểm nào khác ngoài $A$ — $d$ chỉ có duy nhất một điểm chung với $(O)$ là $A$ .

Dấu hiệu nhận biết: Một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn khi nó đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Ví dụ 3. Cho đường tròn $(O; 2$ cm $)$ và điểm $M$ nằm trên $(O)$ . Nêu cách dựng tiếp tuyến $d$ với $(O)$ tại $M$ .

Lời giải:

Vẽ bán kính $OM$ , rồi vẽ đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $OM$ tại $M$ . Theo dấu hiệu nhận biết, $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ .

Chú ý — tính chất của tiếp tuyến:

Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm;
Khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp tuyến luôn bằng bán kính của đường tròn đó.