Bài 2 (tiếp). Ứng dụng tiếp tuyến

Ví dụ 4. Một thủy thủ đang ở trên cột buồm của một con tàu, cách mặt nước biển 1010 m. Biết bán kính Trái Đất khoảng 6 4006\,400 km. Tính tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ đó (làm tròn đến hàng phần nghìn).

Lời giải:

Gọi BB là vị trí con tàu (trên mặt biển), AA là vị trí thủy thủ, CC là điểm xa nhất nhìn thấy. Đặt h=AB=10h = AB = 10 m =0,01= 0{,}01 km và R=OB=OC=6 400R = OB = OC = 6\,400 km.

Vì ACAC tiếp xúc với đường tròn (O;R)(O; R) tại CC nên AC⊥OCAC \perp OC. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ACOACO vuông tại CC:

AC2=AO2−OC2=(R+h)2−R2=2Rh+h2.AC^2 = AO^2 - OC^2 = (R + h)^2 - R^2 = 2Rh + h^2.

AC=2Rh+h2=2⋅6 400⋅0,01+0,012≈11,314 (km).AC = \sqrt{2Rh + h^2} = \sqrt{2 \cdot 6\,400 \cdot 0{,}01 + 0{,}01^2} \approx 11{,}314 \text{ (km)}.

Vậy tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ khoảng 11,31411{,}314 km.

Chú ý: Nếu hh rất nhỏ so với RR thì 2Rh+h2≈2Rh2Rh + h^2 \approx 2Rh, khi đó AC≈2Rh=6 400⋅2h=802hAC \approx \sqrt{2Rh} = \sqrt{6\,400 \cdot 2h} = 80\sqrt{2h} — công thức tính nhanh tầm nhìn xa theo độ cao hh (km). Kiểm tra lại: 802⋅0,01≈11,31480\sqrt{2 \cdot 0{,}01} \approx 11{,}314 km ✓

Thực hành 2. Cho tam giác ABCABC có đường cao AHAH (Hình 8). Tìm tiếp tuyến của đường tròn (A;AH)(A; AH) tại HH.

Lời giải:

Vì AHAH là đường cao của tam giác ABCABC nên AH⊥BCAH \perp BC tại HH. Mặt khác HH thuộc đường tròn (A;AH)(A; AH) và AHAH chính là bán kính đi qua HH.

Đường thẳng BCBC đi qua điểm HH của đường tròn và vuông góc với bán kính AHAH tại HH, nên theo dấu hiệu nhận biết, đường thẳng BCBC là tiếp tuyến của đường tròn (A;AH)(A; AH) tại HH.

Vận dụng 2. Một diễn viên xiếc đi xe đạp trên một sợi dây cáp căng (Hình 9). Ta coi sợi dây là tiếp tuyến của mỗi bánh xe, xác định các tiếp điểm.

Lời giải:

Sợi dây cáp tiếp xúc với mỗi bánh xe tại đúng một điểm — đó là điểm thấp nhất của mỗi bánh xe, nơi bánh xe chạm dây.

Tại mỗi tiếp điểm, bán kính nối từ trục bánh xe (tâm) đến tiếp điểm vuông góc với sợi dây cáp. Vậy có hai tiếp điểm, mỗi bánh xe một điểm.

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

HĐ3. Cho đường tròn (O)(O) và hai tiếp tuyến của (O)(O) tại BB và CC cắt nhau tại điểm AA (Hình 10).

a) Chứng minh hai tam giác ABOABO và ACOACO bằng nhau.

b) Tìm các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau trong Hình 10.

Lời giải:

a) Vì ABAB, ACAC là tiếp tuyến tại BB, CC nên AB⊥OBAB \perp OB và AC⊥OCAC \perp OC, tức ABO^=ACO^=90∘\widehat{ABO} = \widehat{ACO} = 90^\circ.

Xét hai tam giác vuông ABOABO và ACOACO:

  • OB=OC=ROB = OC = R (hai bán kính);
  • OAOA là cạnh huyền chung.

Vậy △ABO=△ACO\triangle ABO = \triangle ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Từ hai tam giác bằng nhau suy ra:

  • Các đoạn thẳng bằng nhau: AB=ACAB = AC (và OB=OCOB = OC);
  • Các góc bằng nhau: BAO^=CAO^\widehat{BAO} = \widehat{CAO} (nên AOAO là tia phân giác của BAC^\widehat{BAC}) và BOA^=COA^\widehat{BOA} = \widehat{COA} (nên OAOA là tia phân giác của BOC^\widehat{BOC}).

Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

  • Điểm đó cách đều hai tiếp điểm;
  • Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;
  • Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Ví dụ 5. Cho điểm AA nằm ngoài đường tròn (O;R)(O; R). Vẽ đường tròn đường kính AOAO cắt (O;R)(O; R) tại hai điểm BB và CC.

a) Chứng minh ABAB và ACAC là các tiếp tuyến của (O;R)(O; R).

b) Chứng minh AB=ACAB = AC.

c) Xác định tia phân giác của BAC^\widehat{BAC} và BOC^\widehat{BOC}.

Lời giải:

a) Gọi MM là trung điểm của AOAO, khi đó MM là tâm đường tròn đường kính AOAO và MB=MC=AO2MB = MC = \dfrac{AO}{2}.

Trong tam giác ABOABO, trung tuyến BMBM ứng với cạnh AOAO bằng nửa cạnh đó nên tam giác ABOABO vuông tại BB; tương tự tam giác ACOACO vuông tại CC.

Vì AB⊥OBAB \perp OB tại BB (bán kính) và AC⊥OCAC \perp OC tại CC nên ABAB, ACAC là hai tiếp tuyến của (O;R)(O; R) tại BB và CC.

b) Giao điểm AA của hai tiếp tuyến cách đều hai tiếp điểm nên AB=ACAB = AC.

c) Theo định lí: tia AOAO là tia phân giác của BAC^\widehat{BAC}; tia OAOA là tia phân giác của BOC^\widehat{BOC}.

Thực hành 3. Cho điểm MM nằm ngoài đường tròn (I;6(I; 6 cm)) và MEME, MFMF là hai tiếp tuyến của đường tròn này tại EE và FF. Cho biết EMF^=60∘\widehat{EMF} = 60^\circ.

a) Tính số đo EMI^\widehat{EMI} và EIF^\widehat{EIF}.

b) Tính độ dài MIMI.

Lời giải:

a) Vì MIMI là tia phân giác của EMF^\widehat{EMF} nên:

EMI^=EMF^2=60∘2=30∘.\widehat{EMI} = \frac{\widehat{EMF}}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ.

Tam giác MEIMEI vuông tại EE (tiếp tuyến vuông góc bán kính) nên EIM^=90∘−30∘=60∘\widehat{EIM} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ. Vì IMIM là phân giác của EIF^\widehat{EIF} nên:

EIF^=2EIM^=2⋅60∘=120∘.\widehat{EIF} = 2\widehat{EIM} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ.

b) Trong tam giác MEIMEI vuông tại EE với IE=6IE = 6 cm và EMI^=30∘\widehat{EMI} = 30^\circ:

MI=IEsin⁡EMI^=6sin⁡30∘=60,5=12 (cm).MI = \frac{IE}{\sin\widehat{EMI}} = \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{0{,}5} = 12 \text{ (cm)}.