Bài 2 (tiếp). Thực hành, vận dụng và bài tập

Thực hành 4. Tìm giá trị của xx trong Hình 12: từ điểm BB ngoài đường tròn (D)(D) kẻ hai tiếp tuyến BABA và BCBC với các tiếp điểm AA, CC; biết BA=4x−9BA = 4x - 9 và BC=15BC = 15.

Lời giải:

Vì BABA và BCBC là hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại BB nên điểm BB cách đều hai tiếp điểm: BA=BCBA = BC.

4x−9=15  ⟺  4x=24  ⟺  x=6.4x - 9 = 15 \iff 4x = 24 \iff x = 6.

Vận dụng 3. Bánh đà của một động cơ có dạng đường tròn tâm OO, bán kính 1515 cm được kéo bởi một dây curoa. Trục của mô tơ truyền lực được biểu diễn bởi điểm MM (Hình 13). Cho biết khoảng cách OMOM là 3535 cm.

a) Tính độ dài của hai đoạn dây curoa MAMA và MBMB (làm tròn đến hàng phần mười).

b) Tính số đo AMB^\widehat{AMB} tạo bởi hai tiếp tuyến AMAM, BMBM và số đo AOB^\widehat{AOB} (làm tròn đến phút).

Lời giải:

a) MAMA, MBMB là hai tiếp tuyến nên MA⊥OAMA \perp OA và MB⊥OBMB \perp OB. Trong tam giác MAOMAO vuông tại AA:

MA=OM2−OA2=352−152=1 225−225=1 000≈31,6 (cm).MA = \sqrt{OM^2 - OA^2} = \sqrt{35^2 - 15^2} = \sqrt{1\,225 - 225} = \sqrt{1\,000} \approx 31{,}6 \text{ (cm)}.

Vì hai tiếp tuyến cắt nhau tại MM nên MB=MA≈31,6MB = MA \approx 31{,}6 (cm).

b) Trong tam giác MAOMAO vuông tại AA:

sin⁡AMO^=OAOM=1535=37  ⟹  AMO^≈25∘23′.\sin\widehat{AMO} = \frac{OA}{OM} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \implies \widehat{AMO} \approx 25^\circ 23'.

Vì MOMO là tia phân giác của AMB^\widehat{AMB} nên AMB^=2AMO^≈50∘46′\widehat{AMB} = 2\widehat{AMO} \approx 50^\circ 46'.

Ta có AOM^=90∘−AMO^≈64∘37′\widehat{AOM} = 90^\circ - \widehat{AMO} \approx 64^\circ 37'; vì OMOM là tia phân giác của AOB^\widehat{AOB} nên:

AOB^=2AOM^≈129∘14′.\widehat{AOB} = 2\widehat{AOM} \approx 129^\circ 14'.

(Kiểm tra: trong tứ giác OAMBOAMB, AMB^+AOB^+90∘+90∘≈50∘46′+129∘14′+180∘=360∘\widehat{AMB} + \widehat{AOB} + 90^\circ + 90^\circ \approx 50^\circ 46' + 129^\circ 14' + 180^\circ = 360^\circ ✓)

Bài tập

Bài 1. Trong Hình 14, ABAB là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại BB, với AB=4AB = 4, AC=2AC = 2 và CC nằm trên đoạn OAOA (nên OC=rOC = r).

a) Tính bán kính rr của đường tròn (O)(O).

b) Tính chiều dài cạnh OAOA của tam giác ABOABO.

Lời giải:

a) Vì ABAB là tiếp tuyến tại BB nên AB⊥OBAB \perp OB, tam giác ABOABO vuông tại BB. Ta có OA=OC+CA=r+2OA = OC + CA = r + 2.

Áp dụng định lí Pythagore:

OA2=OB2+AB2  ⟺  (r+2)2=r2+42  ⟺  r2+4r+4=r2+16  ⟺  4r=12  ⟺  r=3.OA^2 = OB^2 + AB^2 \iff (r + 2)^2 = r^2 + 4^2 \iff r^2 + 4r + 4 = r^2 + 16 \iff 4r = 12 \iff r = 3.

b) OA=r+2=3+2=5OA = r + 2 = 3 + 2 = 5.

(Kiểm tra: 32+42=25=523^2 + 4^2 = 25 = 5^2 ✓)

Bài 2. Trong Hình 15, MBMB, MCMC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại BB, CC; COB^=130∘\widehat{COB} = 130^\circ. Tính số đo CMB^\widehat{CMB}.

Lời giải:

Xét tứ giác OBMCOBMC có OBM^=OCM^=90∘\widehat{OBM} = \widehat{OCM} = 90^\circ (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm). Tổng bốn góc của tứ giác bằng 360∘360^\circ:

CMB^=360∘−COB^−OBM^−OCM^=360∘−130∘−90∘−90∘=50∘.\widehat{CMB} = 360^\circ - \widehat{COB} - \widehat{OBM} - \widehat{OCM} = 360^\circ - 130^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 50^\circ.

Bài 3. Quan sát Hình 16. Biết ABAB, ACAC lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại BB, CC; AB=7x−4AB = 7x - 4 và AC=3x+8AC = 3x + 8. Tính giá trị của xx.

Lời giải:

Hai tiếp tuyến ABAB, ACAC cắt nhau tại AA nên AB=ACAB = AC:

7x−4=3x+8  ⟺  4x=12  ⟺  x=3.7x - 4 = 3x + 8 \iff 4x = 12 \iff x = 3.

(Thử lại: AB=7⋅3−4=17AB = 7 \cdot 3 - 4 = 17; AC=3⋅3+8=17AC = 3 \cdot 3 + 8 = 17 ✓)