Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp

1. Góc ở tâm

HĐ1. Cho hai điểm AA, BB trên đường tròn (O;R)(O; R). Nêu nhận xét về đỉnh và cạnh của AOB^\widehat{AOB}.

Lời giải: Góc AOB^\widehat{AOB} có đỉnh OO trùng với tâm đường tròn; hai cạnh OAOA, OBOB là hai bán kính.

Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Ví dụ 1. Cho tam giác MNPMNP có ba đỉnh nằm trên đường tròn (I)(I). Xác định các góc ở tâm của đường tròn.

Lời giải: Các góc ở tâm (đỉnh II) là MIN^\widehat{MIN}, NIP^\widehat{NIP}, PIM^\widehat{PIM}.

Thực hành 1. Tính số đo góc ở tâm EOA^\widehat{EOA} và AOB^\widehat{AOB} trong Hình 3. Biết ACAC và BEBE là hai đường kính của đường tròn (O)(O), DOC^=28∘\widehat{DOC} = 28^\circ, COB^=57∘\widehat{COB} = 57^\circ, DOE^\widehat{DOE}... (theo hình: EOD^=95∘\widehat{EOD} = 95^\circ nằm giữa, các góc quanh OO).

Lời giải:

Vì ACAC là đường kính nên EOA^\widehat{EOA} và EOC^\widehat{EOC} kề bù. Trên nửa mặt phẳng chứa DD, các góc EOD^=95∘\widehat{EOD} = 95^\circ và DOC^=28∘\widehat{DOC} = 28^\circ kề nhau tạo thành EOC^=95∘+28∘=123∘\widehat{EOC} = 95^\circ + 28^\circ = 123^\circ.

Do đó EOA^=180∘−EOC^=180∘−123∘=57∘\widehat{EOA} = 180^\circ - \widehat{EOC} = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ.

Vì BEBE là đường kính nên AOB^\widehat{AOB} và AOE^\widehat{AOE} kề bù: AOB^=180∘−EOA^=180∘−57∘=123∘\widehat{AOB} = 180^\circ - \widehat{EOA} = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ.

(Cũng có thể tính trực tiếp: AOB^=EOD^+DOC^=95∘+28∘=123∘\widehat{AOB} = \widehat{EOD} + \widehat{DOC} = 95^\circ + 28^\circ = 123^\circ vì đối đỉnh với EOC^\widehat{EOC}.)

Vận dụng 1. Tính số đo góc ở tâm được tạo thành khi kim giờ quay: a) Từ 77 giờ đến 99 giờ; b) Từ 99 giờ đến 1212 giờ.

Lời giải:

Mặt đồng hồ chia thành 1212 phần, mỗi giờ ứng với góc ở tâm 360∘12=30∘\dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ.

a) Từ 77 giờ đến 99 giờ, kim giờ quay 22 giờ: 2⋅30∘=60∘2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.

b) Từ 99 giờ đến 1212 giờ, kim giờ quay 33 giờ: 3⋅30∘=90∘3 \cdot 30^\circ = 90^\circ.

2. Cung, số đo cung

HĐ2. Vẽ đường tròn (O)(O) và hai điểm AA, BB nằm trên (O)(O), tô hai phần của đường tròn được phân chia bởi AA và BB.

Lời giải: Hai điểm AA, BB chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần là một cung, kí hiệu AB⌢\overset{\frown}{AB}.

Định nghĩa số đo cung: Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360∘360^\circ và số đo cung nhỏ có chung hai đầu mút. Số đo của cung nửa đường tròn bằng 180∘180^\circ. Kí hiệu số đo cung ABAB là sđAB⌢\overset{\frown}{AB}.

Ví dụ 2. Tính số đo các cung AnB⌢\overset{\frown}{AnB} và AmB⌢\overset{\frown}{AmB} trong Hình 8, biết AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circ.

Lời giải:

Cung nhỏ AnB⌢\overset{\frown}{AnB} bị chắn bởi góc ở tâm AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circ nên sđAnB⌢=60∘\overset{\frown}{AnB} = 60^\circ.

Cung lớn AmB⌢\overset{\frown}{AmB}: sđAmB⌢=360∘−60∘=300∘\overset{\frown}{AmB} = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ.

Thực hành 2. Cho đường tròn (O)(O) có hai đường kính ABAB và CDCD vuông góc với nhau (Hình 9). Xác định số đo của các cung AB⌢\overset{\frown}{AB}, AC⌢\overset{\frown}{AC} và AD⌢\overset{\frown}{AD}.

Lời giải:

ABAB là đường kính nên cung AB⌢\overset{\frown}{AB} (nửa đường tròn): sđAB⌢=180∘\overset{\frown}{AB} = 180^\circ.

Vì AB⊥CDAB \perp CD nên AOC^=AOD^=90∘\widehat{AOC} = \widehat{AOD} = 90^\circ, do đó sđAC⌢=90∘\overset{\frown}{AC} = 90^\circ và sđAD⌢=90∘\overset{\frown}{AD} = 90^\circ.

Vận dụng 2. Xác định số đo cung ABAB trong hình ngôi sao năm cánh (Hình 10).

Lời giải:

Năm đỉnh của ngôi sao chia đường tròn thành năm cung bằng nhau. Cung nhỏ AB⌢\overset{\frown}{AB} (giữa hai đỉnh kề nhau) có số đo:

sđAB⌢=360∘5=72∘.\text{sđ}\overset{\frown}{AB} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ.

HĐ3. Cho OAOA và OBOB là hai bán kính vuông góc với nhau của đường tròn (O)(O), CC là điểm trên cung nhỏ ABAB (Hình 7).

a) Xác định số đo của cung AB⌢\overset{\frown}{AB}.

b) So sánh số đo của hai cung AC⌢\overset{\frown}{AC} và AB⌢\overset{\frown}{AB}.

Lời giải:

a) Vì OA⊥OBOA \perp OB nên AOB^=90∘\widehat{AOB} = 90^\circ, do đó sđAB⌢=90∘\overset{\frown}{AB} = 90^\circ.

b) CC nằm trên cung nhỏ ABAB nên cung AC⌢\overset{\frown}{AC} là một phần của cung AB⌢\overset{\frown}{AB}, suy ra sđAC⌢<\overset{\frown}{AC} < sđAB⌢\overset{\frown}{AB}.

Tính chất cộng cung: Nếu BB là một điểm nằm trên cung ACAC thì:

sđAC⌢=sđAB⌢+sđBC⌢.\text{sđ}\overset{\frown}{AC} = \text{sđ}\overset{\frown}{AB} + \text{sđ}\overset{\frown}{BC}.

Thực hành 3. Trên cung ABAB có số đo 90∘90^\circ của đường tròn (O)(O), lấy điểm MM sao cho cung AMAM có số đo 15∘15^\circ. Tính số đo của cung MBMB.

Lời giải:

Vì MM nằm trên cung ABAB nên sđAB⌢=\overset{\frown}{AB} = sđAM⌢+\overset{\frown}{AM} + sđMB⌢\overset{\frown}{MB}:

sđMB⌢=sđAB⌢−sđAM⌢=90∘−15∘=75∘.\text{sđ}\overset{\frown}{MB} = \text{sđ}\overset{\frown}{AB} - \text{sđ}\overset{\frown}{AM} = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ.

Vận dụng 3. Bạn Hùng làm một cái diều với thân diều là hình tứ giác SAOBSAOB sao cho OSOS là đường phân giác của AOB^\widehat{AOB} và ASB^=106∘\widehat{ASB} = 106^\circ. Thanh tre màu xanh được uốn cong thành cung ABAB của đường tròn tâm OO; SASA, SBSB là hai tiếp tuyến của (O)(O) (Hình 12). Tính số đo của cung AB⌢\overset{\frown}{AB}.

Lời giải:

Vì SASA, SBSB là hai tiếp tuyến nên OAS^=OBS^=90∘\widehat{OAS} = \widehat{OBS} = 90^\circ. Xét tứ giác SAOBSAOB, tổng bốn góc bằng 360∘360^\circ:

AOB^=360∘−ASB^−OAS^−OBS^=360∘−106∘−90∘−90∘=74∘.\widehat{AOB} = 360^\circ - \widehat{ASB} - \widehat{OAS} - \widehat{OBS} = 360^\circ - 106^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 74^\circ.

Cung nhỏ AB⌢\overset{\frown}{AB} bị chắn bởi góc ở tâm AOB^=74∘\widehat{AOB} = 74^\circ nên sđAB⌢=74∘\overset{\frown}{AB} = 74^\circ.

HĐ4. Trên đường tròn (O)(O), vẽ hai cung nhỏ AB⌢\overset{\frown}{AB}, BC⌢\overset{\frown}{BC} sao cho AOB^=18∘\widehat{AOB} = 18^\circ, BOC^=32∘\widehat{BOC} = 32^\circ và tia OBOB ở giữa hai tia OAOA, OCOC (Hình 11). Tính số đo của các cung AB⌢\overset{\frown}{AB}, BC⌢\overset{\frown}{BC}, AC⌢\overset{\frown}{AC}.

Lời giải:

sđAB⌢=AOB^=18∘\overset{\frown}{AB} = \widehat{AOB} = 18^\circ; sđBC⌢=BOC^=32∘\overset{\frown}{BC} = \widehat{BOC} = 32^\circ.

Vì BB nằm trên cung ACAC nên sđAC⌢=\overset{\frown}{AC} = sđAB⌢+\overset{\frown}{AB} + sđBC⌢=18∘+32∘=50∘\overset{\frown}{BC} = 18^\circ + 32^\circ = 50^\circ.

3. Góc nội tiếp

HĐ5. Quan sát Hình 13. Trong các góc APB^\widehat{APB}, AOB^\widehat{AOB}, AMB^\widehat{AMB}, AQB^\widehat{AQB}, góc nào có đỉnh nằm trên đường tròn (O)(O)?

Lời giải: Các góc có đỉnh nằm trên đường tròn (O)(O) là AMB^\widehat{AMB} và AQB^\widehat{AQB} (đỉnh MM, QQ thuộc đường tròn). Góc AOB^\widehat{AOB} có đỉnh ở tâm; góc APB^\widehat{APB} có đỉnh PP nằm trong đường tròn.

Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ 3. Tìm góc nội tiếp chắn cung ABAB của đường tròn (O)(O) trong Hình 14.

Lời giải: ACB^\widehat{ACB} là góc nội tiếp chắn cung AB⌢\overset{\frown}{AB} của đường tròn (O)(O).

Thực hành 4. Cho tam giác đều MNPMNP có ba đỉnh nằm trên đường tròn (I)(I). Hãy chỉ ra các góc nội tiếp của đường tròn (I)(I) và tính số đo của các góc nội tiếp đó.

Lời giải:

Các góc nội tiếp là NMP^\widehat{NMP}, MNP^\widehat{MNP}, MPN^\widehat{MPN} (đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa các dây).

Vì tam giác MNPMNP đều nên ba góc bằng nhau và bằng 60∘60^\circ. Vậy mỗi góc nội tiếp có số đo 60∘60^\circ.

Vận dụng 4. Cho hai điểm EE và FF nằm trên đường tròn (O)(O). Có bao nhiêu góc nội tiếp chắn cung EFEF?

Lời giải:

Mỗi điểm bất kì (khác EE, FF) nằm trên cung còn lại của đường tròn đều tạo với EE, FF một góc nội tiếp chắn cung EFEF. Vì có vô số điểm như vậy trên đường tròn nên có vô số góc nội tiếp chắn cung EFEF.