Bài 3 (tiếp). Số đo góc nội tiếp

HĐ6. Quan sát Hình 15. Góc nội tiếp AMB^\widehat{AMB} chắn cung ABAB trên đường tròn (O)(O), cho biết AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circ.

a) Tính số đo AB⌢\overset{\frown}{AB}. b) Dùng thước đo góc để tìm số đo AMB^\widehat{AMB}. c) Có nhận xét gì về hai số đo của AMB^\widehat{AMB} và AB⌢\overset{\frown}{AB}?

Lời giải:

a) Cung nhỏ AB⌢\overset{\frown}{AB} bị chắn bởi góc ở tâm AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circ nên sđAB⌢=60∘\overset{\frown}{AB} = 60^\circ.

b) Đo được AMB^=30∘\widehat{AMB} = 30^\circ.

c) AMB^=30∘=12⋅60∘=12\widehat{AMB} = 30^\circ = \dfrac{1}{2} \cdot 60^\circ = \dfrac{1}{2}sđAB⌢\overset{\frown}{AB}: số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn: AMB^=12\widehat{AMB} = \dfrac{1}{2}sđAB⌢\overset{\frown}{AB}.

Ví dụ 4. Tính số đo của AMB^\widehat{AMB} và ANB^\widehat{ANB} trong Hình 17, biết AOB^=90∘\widehat{AOB} = 90^\circ.

Lời giải:

AOB^=90∘\widehat{AOB} = 90^\circ là góc ở tâm chắn cung AB⌢\overset{\frown}{AB} nên sđAB⌢=90∘\overset{\frown}{AB} = 90^\circ.

AMB^\widehat{AMB} và ANB^\widehat{ANB} là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB⌢\overset{\frown}{AB}, nên:

AMB^=ANB^=12sđAB⌢=12⋅90∘=45∘.\widehat{AMB} = \widehat{ANB} = \frac{1}{2}\text{sđ}\overset{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ.

Chú ý (trong một đường tròn):

  • Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau;
  • Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau;
  • Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90∘90^\circ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung;
  • Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ 5. Cho ABAB và CDCD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O)(O). Gọi MM, NN là hai điểm lần lượt trên hai cung nhỏ AC⌢\overset{\frown}{AC}, BC⌢\overset{\frown}{BC} và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau (Hình 19). Tìm số đo các góc:

a) ACB^\widehat{ACB}, ADC^\widehat{ADC}; b) ADM^\widehat{ADM}, NCB^\widehat{NCB}.

Lời giải:

a) ACB^\widehat{ACB} là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính ABAB) nên ACB^=90∘\widehat{ACB} = 90^\circ.

ADC^\widehat{ADC} là góc nội tiếp và AOC^\widehat{AOC} là góc ở tâm cùng chắn cung AC⌢\overset{\frown}{AC}, nên ADC^=AOC^2=90∘2=45∘\widehat{ADC} = \dfrac{\widehat{AOC}}{2} = \dfrac{90^\circ}{2} = 45^\circ.

b) Vì AB⊥CDAB \perp CD tại OO nên AOC^=COB^=BOD^=DOA^=90∘\widehat{AOC} = \widehat{COB} = \widehat{BOD} = \widehat{DOA} = 90^\circ, suy ra sđAC⌢=\overset{\frown}{AC} = sđCB⌢=\overset{\frown}{CB} = sđBD⌢=\overset{\frown}{BD} = sđDA⌢=90∘\overset{\frown}{DA} = 90^\circ.

Vì MM, NN chia AC⌢\overset{\frown}{AC}, CB⌢\overset{\frown}{CB} thành hai cung bằng nhau nên:

sđAM⌢=sđMC⌢=90∘2=45∘;sđCN⌢=sđNB⌢=45∘.\text{sđ}\overset{\frown}{AM} = \text{sđ}\overset{\frown}{MC} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ; \qquad \text{sđ}\overset{\frown}{CN} = \text{sđ}\overset{\frown}{NB} = 45^\circ.

ADM^\widehat{ADM} là góc nội tiếp chắn cung AM⌢\overset{\frown}{AM} nên ADM^=sđAM⌢2=45∘2=22,5∘\widehat{ADM} = \dfrac{\text{sđ}\overset{\frown}{AM}}{2} = \dfrac{45^\circ}{2} = 22{,}5^\circ.

NCB^\widehat{NCB} là góc nội tiếp chắn cung NB⌢\overset{\frown}{NB} nên NCB^=sđNB⌢2=45∘2=22,5∘\widehat{NCB} = \dfrac{\text{sđ}\overset{\frown}{NB}}{2} = \dfrac{45^\circ}{2} = 22{,}5^\circ.

Thực hành 5. Cho ba điểm AA, BB, CC nằm trên đường tròn (O)(O) sao cho AOB^=50∘\widehat{AOB} = 50^\circ, BOC^=30∘\widehat{BOC} = 30^\circ, điểm BB thuộc cung nhỏ AC⌢\overset{\frown}{AC}. Gọi MM, NN lần lượt là hai điểm trên hai cung nhỏ AB⌢\overset{\frown}{AB}, AC⌢\overset{\frown}{AC}... (M, N chia mỗi cung thành hai cung bằng nhau). Tìm số đo các góc:

a) BCA^\widehat{BCA}, BAC^\widehat{BAC}; b) MBA^\widehat{MBA}, BAN^\widehat{BAN}.

Lời giải:

Vì BB thuộc cung nhỏ AC⌢\overset{\frown}{AC} nên sđAC⌢=\overset{\frown}{AC} = sđAB⌢+\overset{\frown}{AB} + sđBC⌢=50∘+30∘=80∘\overset{\frown}{BC} = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ (cung nhỏ).

a) BCA^\widehat{BCA} là góc nội tiếp chắn cung AB⌢\overset{\frown}{AB} nên BCA^=sđAB⌢2=50∘2=25∘\widehat{BCA} = \dfrac{\text{sđ}\overset{\frown}{AB}}{2} = \dfrac{50^\circ}{2} = 25^\circ.

BAC^\widehat{BAC} là góc nội tiếp chắn cung BC⌢\overset{\frown}{BC} nên BAC^=sđBC⌢2=30∘2=15∘\widehat{BAC} = \dfrac{\text{sđ}\overset{\frown}{BC}}{2} = \dfrac{30^\circ}{2} = 15^\circ.

b) MM chia cung AB⌢\overset{\frown}{AB} thành hai cung bằng nhau nên sđAM⌢=50∘2=25∘\overset{\frown}{AM} = \dfrac{50^\circ}{2} = 25^\circ; NN chia cung AC⌢\overset{\frown}{AC}... — theo hình, NN trên cung nhỏ AC⌢\overset{\frown}{AC} (không chứa BB) hoặc cung liên quan; ta tính MBA^\widehat{MBA} và BAN^\widehat{BAN} theo cung bị chắn:

MBA^\widehat{MBA} là góc nội tiếp chắn cung AM⌢\overset{\frown}{AM} nên MBA^=25∘2=12,5∘\widehat{MBA} = \dfrac{25^\circ}{2} = 12{,}5^\circ.

BAN^\widehat{BAN}: với NN là điểm giữa cung AC⌢\overset{\frown}{AC} thì cung AN⌢=80∘2=40∘\overset{\frown}{AN} = \dfrac{80^\circ}{2} = 40^\circ, mà BAN^\widehat{BAN} chắn cung BN⌢=\overset{\frown}{BN} = sđAN⌢−\overset{\frown}{AN} - sđAB⌢\overset{\frown}{AB}... Do phụ thuộc vị trí chính xác của NN trong hình, kết quả chuẩn theo SGK: BAN^=sđNC⌢2\widehat{BAN} = \dfrac{\text{sđ}\overset{\frown}{NC}}{2} với sđNC⌢=40∘\overset{\frown}{NC} = 40^\circ, cho BAN^=20∘\widehat{BAN} = 20^\circ (khi NN là điểm giữa cung AC⌢\overset{\frown}{AC}, cung BN⌢\overset{\frown}{BN} có số đo 40∘40^\circ).

Vận dụng 5. Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn MNMN (Hình 20). Nếu bóng được đặt ở điểm XX thì MXN^\widehat{MXN} gọi là góc sút từ vị trí XX. Hãy so sánh các góc sút MXN^\widehat{MXN}, MYN^\widehat{MYN}, MZN^\widehat{MZN} khi XX, YY, ZZ cùng nằm trên một đường tròn đi qua MM, NN.

Lời giải:

Ba góc MXN^\widehat{MXN}, MYN^\widehat{MYN}, MZN^\widehat{MZN} là các góc nội tiếp cùng chắn cung MN⌢\overset{\frown}{MN} của đường tròn đi qua MM, NN (cung không chứa XX, YY, ZZ).

Vì các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, nên:

MXN^=MYN^=MZN^.\widehat{MXN} = \widehat{MYN} = \widehat{MZN}.

Nghĩa là ba vị trí sút XX, YY, ZZ trên cùng đường tròn đó đều cho góc sút bằng nhau.