Giải Toán 9 Tập 1 trang 97 - Chân trời sáng tạo

Bài tập (Bài 3. Góc ở tâm, góc nội tiếp)

Bài 1. Cho đường tròn $(O; 5$ cm$)$ và điểm $M$ sao cho $OM = 10$ cm. Qua $M$ vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn tại $A$ và $B$. Tính số đo góc ở tâm được tạo bởi hai tia $OA$ và $OB$.

Lời giải:

Vì $MA$ là tiếp tuyến nên tam giác $OAM$ vuông tại $A$, với $OA = 5$ cm, $OM = 10$ cm:

$$\cos\widehat{AOM} = \frac{OA}{OM} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \implies \widehat{AOM} = 60^\circ.$$

Vì $OM$ là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{AOB} = 2\widehat{AOM} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

---

Bài 2. Cho tam giác đều $ABC$. Vẽ nửa đường tròn đường kính $BC$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Hãy so sánh các cung $\overset{\frown}{BD}$, $\overset{\frown}{DE}$, $\overset{\frown}{EC}$.

Lời giải:

Gọi $O$ là trung điểm $BC$ (tâm nửa đường tròn). Tam giác $ABC$ đều nên $\widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ$.

Tam giác $OBD$ có $OB = OD$ (bán kính) nên cân tại $O$; lại có $\widehat{OBD} = \widehat{B} = 60^\circ$ nên $OBD$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{BOD} = 60^\circ$. Tương tự $\widehat{EOC} = 60^\circ$.

Ba góc ở tâm $\widehat{BOD}$, $\widehat{DOE}$, $\widehat{EOC}$ có tổng bằng $180^\circ$ (nửa đường tròn), nên $\widehat{DOE} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Ba cung có số đo bằng nhau ($60^\circ$) nên $\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EC}$.

---

Bài 3. Dây cung $AB$ chia đường tròn $(O)$ thành hai cung. Cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ.

a) Tính số đo mỗi cung.

b) Chứng minh khoảng cách $OH$ từ tâm $O$ đến dây cung $AB$ có độ dài bằng $\dfrac{AB}{2}$.

Lời giải:

a) Gọi số đo cung nhỏ là $x$, cung lớn là $3x$. Vì tổng hai cung bằng $360^\circ$:

$$x + 3x = 360^\circ \iff 4x = 360^\circ \iff x = 90^\circ.$$

Vậy cung nhỏ $90^\circ$, cung lớn $270^\circ$.

b) Vì cung nhỏ $\overset{\frown}{AB}$ có số đo $90^\circ$ nên góc ở tâm $\widehat{AOB} = 90^\circ$, tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ ($OA = OB = R$).

Kẻ $OH \perp AB$ tại $H$; trong tam giác vuông cân, đường cao từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:

$$OH = \frac{AB}{2}.$$

(Chứng minh: $OH$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$ của tam giác vuông $OAB$, nên $OH = \dfrac{AB}{2}$.)

---

Bài 4. Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo bao nhiêu vào những thời điểm: a) $2$ giờ; b) $8$ giờ; c) $21$ giờ.

Lời giải:

Mỗi khoảng giờ trên mặt đồng hồ ứng với góc $\dfrac{360^\circ}{12} = 30^\circ$.

a) $2$ giờ: kim giờ ở số $2$, kim phút ở số $12$, cách nhau $2$ khoảng: $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

b) $8$ giờ: cách nhau $4$ khoảng (lấy góc không vượt quá $180^\circ$): $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.

c) $21$ giờ = $9$ giờ tối: kim giờ ở số $9$, kim phút ở số $12$, cách nhau $3$ khoảng: $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

---

Bài 5. Cho hai đường tròn đồng tâm $(O; R)$ và $\left(O; \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\right)$. Một tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại hai điểm $A$ và $B$. Tính số đo cung $AB$.

Lời giải:

Gọi $H$ là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn nhỏ; khi đó $OH \perp AB$ và $OH = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$ (bán kính đường tròn nhỏ), còn $OA = OB = R$.

$H$ là trung điểm dây $AB$. Trong tam giác $OAH$ vuông tại $H$:

$$\cos\widehat{AOH} = \frac{OH}{OA} = \frac{R\sqrt{3}/2}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \widehat{AOH} = 30^\circ.$$

Vì $OH$ là phân giác của $\widehat{AOB}$ (do tam giác $OAB$ cân, $OH$ là đường cao) nên $\widehat{AOB} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Vậy số đo cung nhỏ $\overset{\frown}{AB} = 60^\circ$.

---

Bài 6. Xác định số đo các cung $\overset{\frown}{AB}$, $\overset{\frown}{BC}$, $\overset{\frown}{CA}$ trong mỗi hình vẽ (Hình 21).

Lời giải:

a) Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, với các góc nội tiếp $\widehat{ABC} = 60^\circ$ và $\widehat{BAC} = 67^\circ$.

Góc nội tiếp $\widehat{ABC} = 60^\circ$ chắn cung $\overset{\frown}{AC}$ (không chứa $B$) nên sđ$\overset{\frown}{CA} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Góc nội tiếp $\widehat{BAC} = 67^\circ$ chắn cung $\overset{\frown}{BC}$ nên sđ$\overset{\frown}{BC} = 2 \cdot 67^\circ = 134^\circ$.

sđ$\overset{\frown}{AB} = 360^\circ - 120^\circ - 134^\circ = 106^\circ$.

b) Trong hình có góc ở tâm $\widehat{COA} = 135^\circ$ (chắn cung $\overset{\frown}{CA}$) và góc nội tiếp $\widehat{BAO}$... theo hình, góc ở tâm $\widehat{AOB} = 60^\circ$ chắn cung $\overset{\frown}{AB}$.

sđ$\overset{\frown}{AB} = \widehat{AOB} = 60^\circ$; sđ$\overset{\frown}{CA} = \widehat{COA} = 135^\circ$.

sđ$\overset{\frown}{BC} = 360^\circ - 60^\circ - 135^\circ = 165^\circ$.

---

Bài 7. Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$, $CD$ vuông góc với nhau. Lấy một điểm $M$ trên cung nhỏ $\overset{\frown}{AC}$ rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $M$. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng $CD$ tại $S$. Chứng minh rằng $\widehat{MSD} = 2\widehat{MBA}$.

Lời giải:

Đặt sđ$\overset{\frown}{AM} = \alpha$ (cung nhỏ). Vì $AB \perp CD$ tại $O$ nên $\widehat{AOC} = 90^\circ$, tức sđ$\overset{\frown}{AC} = 90^\circ$, suy ra sđ$\overset{\frown}{MC} = 90^\circ - \alpha$.

Tính $\widehat{MBA}$: $\widehat{MBA}$ là góc nội tiếp chắn cung $\overset{\frown}{AM}$ nên $\widehat{MBA} = \dfrac{\alpha}{2}$.

Tính $\widehat{MSD}$: Tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với bán kính $OM$, nên trong tam giác $OMS$ vuông tại $M$: $\widehat{MSO} = 90^\circ - \widehat{MOS}$.

Xét $\widehat{MOS} = \widehat{MOD}$. Ta có $\widehat{MOC} =$ sđ$\overset{\frown}{MC} = 90^\circ - \alpha$ (góc ở tâm), và $\widehat{MOD} = 180^\circ - \widehat{MOC} = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ + \alpha$ (vì $C$, $O$, $D$ thẳng hàng). Nhưng $S$ nằm trên tia $OD$ hay $OC$ tùy vị trí; xét $S$ trên tia $OC$: $\widehat{MOS} = \widehat{MOC} = 90^\circ - \alpha$.

Khi đó $\widehat{MSD}$ (góc giữa tiếp tuyến $SM$ và đường thẳng $CD$ tại $S$) là góc ngoài: $\widehat{MSO} = 90^\circ - \widehat{MOS} = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Vậy $\widehat{MSD} = \alpha = 2 \cdot \dfrac{\alpha}{2} = 2\widehat{MBA}$ (điều phải chứng minh).