Bài 4. Hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Độ dài cung tròn

HĐ1. Một hàng rào bao quanh một sân có hình tròn bán kính 1010 m được ghép bởi 360360 phần bằng nhau. Hãy tính:

a) Độ dài của toàn bộ hàng rào. b) Độ dài của mỗi phần hàng rào. c) Độ dài của nn phần hàng rào.

Lời giải:

a) Độ dài toàn bộ hàng rào bằng chu vi đường tròn: C=2πR=2π⋅10=20πC = 2\pi R = 2\pi \cdot 10 = 20\pi (m).

b) Mỗi phần (ứng với cung 1∘1^\circ): 20π360=π18\dfrac{20\pi}{360} = \dfrac{\pi}{18} (m).

c) Độ dài nn phần (ứng với cung n∘n^\circ): 20π360⋅n=π⋅10⋅n180=πRn180\dfrac{20\pi}{360} \cdot n = \dfrac{\pi \cdot 10 \cdot n}{180} = \dfrac{\pi Rn}{180} (m).

Công thức: Trên đường tròn bán kính RR, độ dài ll của cung có số đo n∘n^\circ là:

l=πRn180.l = \frac{\pi R n}{180}.

Ví dụ 1. Tính độ dài cung 30∘30^\circ của một đường tròn có bán kính 1010 cm.

Lời giải:

l=πRn180=π⋅10⋅30180=5π3≈5,24 (cm).l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 30}{180} = \frac{5\pi}{3} \approx 5{,}24 \text{ (cm)}.

Thực hành 1. Tính độ dài cung 72∘72^\circ của một đường tròn có bán kính 2525 cm.

Lời giải:

l=π⋅25⋅72180=10π≈31,42 (cm).l = \frac{\pi \cdot 25 \cdot 72}{180} = 10\pi \approx 31{,}42 \text{ (cm)}.

Vận dụng 1. Tính độ dài của đoạn hàng rào từ AA đến BB của sân cỏ trong Hình 3, cho biết AOB^=80∘\widehat{AOB} = 80^\circ và bán kính sân là 1010 m.

Lời giải:

Đoạn hàng rào từ AA đến BB là cung 80∘80^\circ của đường tròn bán kính 1010 m:

l=π⋅10⋅80180=40π9≈13,96 (m).l = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 80}{180} = \frac{40\pi}{9} \approx 13{,}96 \text{ (m)}.

2. Hình quạt tròn

HĐ2. a) Ta có thể tính diện tích của miếng bánh pizza trong Hình 4a theo góc ở tâm và bán kính của ổ bánh hay không?

b) Chia một hình tròn bán kính RR thành 360360 phần bằng nhau.

i) Tính diện tích của mỗi phần đó.

ii) Tính diện tích phần hình tròn ghép bởi nn phần bằng nhau nói trên.

Lời giải:

a) Có. Miếng bánh pizza là một hình quạt tròn, diện tích phụ thuộc bán kính ổ bánh và góc ở tâm của miếng.

b) Diện tích cả hình tròn là S=πR2S = \pi R^2.

i) Mỗi phần (ứng với cung 1∘1^\circ): πR2360\dfrac{\pi R^2}{360}.

ii) Phần ghép bởi nn phần (ứng với cung n∘n^\circ): πR2n360\dfrac{\pi R^2 n}{360}.

Định nghĩa và công thức: Hình quạt tròn là một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó. Diện tích hình quạt tròn bán kính RR, ứng với cung n∘n^\circ:

S=πR2n360.S = \frac{\pi R^2 n}{360}.

Chú ý: Diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo của cung ứng với nó.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình quạt tròn bán kính R=10R = 10 cm, ứng với cung 60∘60^\circ.

Lời giải:

S=πR2n360=π⋅102⋅60360=100π6≈52,36 (cm2).S = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 60}{360} = \frac{100\pi}{6} \approx 52{,}36 \text{ (cm}^2\text{)}.

Ví dụ 3. Phần hình tròn được giới hạn bởi một cung và dây căng cung đó gọi là hình viên phân. Tính diện tích hình viên phân AmBAmB, biết góc ở tâm AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circ và bán kính đường tròn là 5,15{,}1 cm.

Lời giải:

Vì OA=OB=ROA = OB = R và AOB^=60∘\widehat{AOB} = 60^\circ nên tam giác OABOAB đều cạnh R=5,1R = 5{,}1 cm. Diện tích tam giác đều:

SOAB=R234=5,12⋅34≈11,26 (cm2).S_{OAB} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{5{,}1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \approx 11{,}26 \text{ (cm}^2\text{)}.

Diện tích hình quạt tròn OAmBOAmB:

SOAmB=πR2⋅60360=π⋅5,12⋅60360≈13,62 (cm2).S_{OAmB} = \frac{\pi R^2 \cdot 60}{360} = \frac{\pi \cdot 5{,}1^2 \cdot 60}{360} \approx 13{,}62 \text{ (cm}^2\text{)}.

Diện tích hình viên phân AmBAmB:

SAmB=SOAmB−SOAB≈13,62−11,26=2,36 (cm2).S_{AmB} = S_{OAmB} - S_{OAB} \approx 13{,}62 - 11{,}26 = 2{,}36 \text{ (cm}^2\text{)}.

Thực hành 2. Tính diện tích hình quạt tròn bán kính R=20R = 20 cm, ứng với cung 72∘72^\circ.

Lời giải:

S=π⋅202⋅72360=400π⋅72360=80π≈251,33 (cm2).S = \frac{\pi \cdot 20^2 \cdot 72}{360} = \frac{400\pi \cdot 72}{360} = 80\pi \approx 251{,}33 \text{ (cm}^2\text{)}.

Vận dụng 2. Tính diện tích của miếng bánh pizza có dạng hình quạt tròn trong Hình 8. Biết OA=15OA = 15 cm và AOB^=55∘\widehat{AOB} = 55^\circ.

Lời giải:

S=πR2n360=π⋅152⋅55360=225π⋅55360≈107,99 (cm2).S = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 15^2 \cdot 55}{360} = \frac{225\pi \cdot 55}{360} \approx 107{,}99 \text{ (cm}^2\text{)}.

Vậy miếng bánh pizza có diện tích khoảng 108108 cm².