Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn

Khởi động. Sau khi được ném theo chiều từ dưới lên, độ cao hh (m) của quả bóng theo thời gian tt (giây) được xác định bởi công thức h=2+9t−5t2h = 2 + 9t - 5t^2. Thời gian từ lúc ném cho đến khi bóng chạm đất là bao lâu?

Trả lời: Bóng chạm đất khi h=0h = 0, tức −5t2+9t+2=0-5t^2 + 9t + 2 = 0. (Đây là một phương trình bậc hai một ẩn — cách giải sẽ tìm hiểu trong bài; kết quả t=2t = 2 giây.)

1. Phương trình bậc hai một ẩn

HĐ1. Một tấm thảm hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 22 m. Biết diện tích tấm thảm bằng 2424 m². Gọi xx (m) là chiều rộng tấm thảm (x>0x > 0). Hãy viết phương trình với ẩn xx biểu thị mối quan hệ giữa chiều dài, chiều rộng và diện tích của tấm thảm.

Lời giải:

Chiều dài tấm thảm là x+2x + 2 (m). Diện tích bằng 2424 m²:

x(x+2)=24  ⟺  x2+2x−24=0.x(x + 2) = 24 \iff x^2 + 2x - 24 = 0.

Đây là một phương trình bậc hai một ẩn.

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (còn gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, trong đó xx là ẩn; aa, bb, cc là những số cho trước gọi là các hệ số và a≠0a \ne 0.

Ví dụ 1. Hãy xác định các hệ số aa, bb, cc của mỗi phương trình bậc hai sau:

a) x2+2x−24=0x^2 + 2x - 24 = 0; b) 3y2−25y=03y^2 - 2\sqrt{5}y = 0; c) −5t2+7=0-5t^2 + 7 = 0.

Lời giải:

a) a=1a = 1; b=2b = 2; c=−24c = -24.

b) a=3a = 3; b=−25b = -2\sqrt{5}; c=0c = 0.

c) a=−5a = -5; b=0b = 0; c=7c = 7.

Thực hành 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Chỉ rõ các hệ số aa, bb, cc của mỗi phương trình bậc hai một ẩn đó.

a) −7x2=0-7x^2 = 0; b) −12x2+7x−3=0-12x^2 + 7x - \sqrt{3} = 0; c) x3+5x−6=0x^3 + 5x - 6 = 0; d) x2−(m+2)x+7=0x^2 - (m + 2)x + 7 = 0 (mm là số đã cho).

Lời giải:

a) Là phương trình bậc hai một ẩn: a=−7a = -7; b=0b = 0; c=0c = 0.

b) Là phương trình bậc hai một ẩn: a=−12a = -12; b=7b = 7; c=−3c = -\sqrt{3}.

c) Không phải (có bậc ba: x3x^3).

d) Là phương trình bậc hai một ẩn: a=1a = 1; b=−(m+2)b = -(m + 2); c=7c = 7.

2. Giải một số phương trình bậc hai dạng đặc biệt

HĐ2. a) Bằng cách đưa về phương trình tích, hãy giải các phương trình sau:

i) 3x2−12x=03x^2 - 12x = 0; ii) x2−16=0x^2 - 16 = 0.

b) Để đưa các phương trình bậc hai dạng đặc biệt trên về phương trình tích ta đã dùng các phép biến đổi nào?

Lời giải:

a) i) 3x2−12x=0  ⟺  3x(x−4)=0  ⟺  x=03x^2 - 12x = 0 \iff 3x(x - 4) = 0 \iff x = 0 hoặc x=4x = 4.

ii) x2−16=0  ⟺  (x−4)(x+4)=0  ⟺  x=4x^2 - 16 = 0 \iff (x - 4)(x + 4) = 0 \iff x = 4 hoặc x=−4x = -4.

b) Ở i) dùng phép đặt nhân tử chung; ở ii) dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) 2x2+3x=02x^2 + 3x = 0; b) x2−5=0x^2 - 5 = 0.

Lời giải:

a) 2x2+3x=0  ⟺  x(2x+3)=0  ⟺  x=02x^2 + 3x = 0 \iff x(2x + 3) = 0 \iff x = 0 hoặc x=−32x = -\dfrac{3}{2}. Phương trình có hai nghiệm x=0x = 0 và x=−32x = -\dfrac{3}{2}.

b) x2−5=0  ⟺  x2=5  ⟺  x=5x^2 - 5 = 0 \iff x^2 = 5 \iff x = \sqrt{5} hoặc x=−5x = -\sqrt{5}. Phương trình có hai nghiệm x=5x = \sqrt{5} và x=−5x = -\sqrt{5}.

Ví dụ 3. Giải phương trình (x−3)2−25=0(x - 3)^2 - 25 = 0.

Lời giải:

(x−3)2−25=0  ⟺  (x−3)2=25  ⟺  x−3=5 hoặc x−3=−5  ⟺  x=8 hoặc x=−2.(x - 3)^2 - 25 = 0 \iff (x - 3)^2 = 25 \iff x - 3 = 5 \text{ hoặc } x - 3 = -5 \iff x = 8 \text{ hoặc } x = -2.

Phương trình có hai nghiệm x=8x = 8 và x=−2x = -2.

Thực hành 2. Giải các phương trình sau:

a) 3x2−27=03x^2 - 27 = 0; b) x2−10x+25=16x^2 - 10x + 25 = 16.

Lời giải:

a) 3x2−27=0  ⟺  x2=9  ⟺  x=33x^2 - 27 = 0 \iff x^2 = 9 \iff x = 3 hoặc x=−3x = -3. Hai nghiệm: x=3x = 3 và x=−3x = -3.

b) x2−10x+25=16  ⟺  (x−5)2=16  ⟺  x−5=4x^2 - 10x + 25 = 16 \iff (x - 5)^2 = 16 \iff x - 5 = 4 hoặc x−5=−4  ⟺  x=9x - 5 = -4 \iff x = 9 hoặc x=1x = 1. Hai nghiệm: x=9x = 9 và x=1x = 1.