Giải Toán 9 Tập 2 trang 13-14 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 (tiếp). Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

HĐ3. Cho phương trình bậc hai $x^2 - 4x + 3 = 0$.

a) Thay mỗi dấu "?" bằng số thích hợp: $x^2 - 4x + 4 = \boxed{?}$ hay $(x - 2)^2 = \boxed{?}$.

b) Giải phương trình đó, từ đó tìm nghiệm phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Cộng $1$ vào hai vế của $x^2 - 4x + 3 = 0$ (chuyển $3$ sang phải rồi thêm $4$): $x^2 - 4x + 4 = 1$, hay $(x - 2)^2 = 1$.

b) $(x - 2)^2 = 1 \iff x - 2 = 1$ hoặc $x - 2 = -1 \iff x = 3$ hoặc $x = 1$.

Vậy phương trình $x^2 - 4x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x = 3$ và $x = 1$.

Công thức nghiệm: Cho phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \ne 0$) và biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$.

• Nếu $\Delta > 0$: phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$;
• Nếu $\Delta = 0$: phương trình có nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$;
• Nếu $\Delta < 0$: phương trình vô nghiệm.

---

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

a) $x^2 - 7x - 8 = 0$; b) $x^2 + 2\sqrt{5}x + 5 = 0$; c) $5x^2 - 2x + 2 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 1$, $b = -7$, $c = -8$; $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 > 0$.

$$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8; \qquad x_2 = \frac{7 - 9}{2} = -1.$$

b) $a = 1$, $b = 2\sqrt{5}$, $c = 5$; $\Delta = (2\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 20 - 20 = 0$.

Nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2\sqrt{5}}{2} = -\sqrt{5}$.

c) $a = 5$, $b = -2$, $c = 2$; $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 4 - 40 = -36 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có $a$ và $c$ trái dấu ($ac < 0$) thì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

---

Ví dụ 5. Không giải phương trình, hãy nhận xét số nghiệm của phương trình $x^2 + 3\,572x - 3\,573 = 0$.

Lời giải:

Có $a = 1 > 0$, $c = -3\,573 < 0$ nên $a$ và $c$ trái dấu ($ac < 0$), suy ra $\Delta > 0$. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Công thức nghiệm thu gọn: Khi $b = 2b'$, đặt $\Delta' = b'^2 - ac$ (thì $\Delta = 4\Delta'$):

• Nếu $\Delta' > 0$: hai nghiệm phân biệt $x_1 = \dfrac{-b' + \sqrt{\Delta'}}{a}$, $x_2 = \dfrac{-b' - \sqrt{\Delta'}}{a}$;
• Nếu $\Delta' = 0$: nghiệm kép $x_1 = x_2 = -\dfrac{b'}{a}$;
• Nếu $\Delta' < 0$: vô nghiệm.

---

Ví dụ 6. Giải phương trình $7x^2 - 12x + 5 = 0$.

Lời giải:

$a = 7$, $b' = -6$, $c = 5$; $\Delta' = (-6)^2 - 7 \cdot 5 = 36 - 35 = 1 > 0$.

$$x_1 = \frac{-(-6) + 1}{7} = \frac{7}{7} = 1; \qquad x_2 = \frac{6 - 1}{7} = \frac{5}{7}.$$

---

Thực hành 3. Giải các phương trình:

a) $7x^2 - 3x + 2 = 0$; b) $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$; c) $-2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 7$, $b = -3$, $c = 2$; $\Delta = 9 - 56 = -47 < 0$. Phương trình vô nghiệm.

b) $a = 3$, $b = -2\sqrt{3}$, $c = 1$; $\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12 - 12 = 0$. Nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\dfrac{-2\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

c) $a = -2$, $b = 5$, $c = 2$; $\Delta = 25 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 = 25 + 16 = 41 > 0$.

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-5 + \sqrt{41}}{-4} = \frac{5 - \sqrt{41}}{4}; \qquad x_2 = \frac{5 + \sqrt{41}}{4}.$$

---

Thực hành 4. Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) $5x^2 - 12x + 4 = 0$; b) $5x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$.

Lời giải:

a) $a = 5$, $b' = -6$, $c = 4$; $\Delta' = (-6)^2 - 5 \cdot 4 = 36 - 20 = 16 > 0$.

$$x_1 = \frac{6 + 4}{5} = 2; \qquad x_2 = \frac{6 - 4}{5} = \frac{2}{5}.$$

b) $a = 5$, $b' = -\sqrt{5}$, $c = 1$; $\Delta' = (-\sqrt{5})^2 - 5 \cdot 1 = 5 - 5 = 0$. Nghiệm kép: $x_1 = x_2 = -\dfrac{-\sqrt{5}}{5} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

---

Vận dụng. Trả lời câu hỏi khởi động (trang 11): độ cao $h = 2 + 9t - 5t^2$; tìm thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất.

Lời giải:

Bóng chạm đất khi $h = 0$: $-5t^2 + 9t + 2 = 0 \iff 5t^2 - 9t - 2 = 0$.

$a = 5$, $b = -9$, $c = -2$; $\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 > 0$; $\sqrt{\Delta} = 11$.

$$t_1 = \frac{9 + 11}{10} = 2; \qquad t_2 = \frac{9 - 11}{10} = -0{,}2.$$

Vì $t > 0$ nên nhận $t = 2$. Vậy thời gian từ lúc ném đến khi bóng chạm đất là $2$ giây.