Bài 2 (tiếp). Tìm nghiệm bằng máy tính cầm tay & lập phương trình bậc hai

4. Tìm nghiệm bằng máy tính cầm tay

Ví dụ 7. Tìm các nghiệm của phương trình 5x2−6x+1=05x^2 - 6x + 1 = 0 bằng máy tính cầm tay.

Lời giải: Bật máy, ấn MODE → 5:EQN → 3: aX² + bX + c = 0, rồi nhập các hệ số 55, −6-6, 11. Màn hình hiện X1=1X_1 = 1; ấn = hiện X2=15X_2 = \dfrac{1}{5}.

Vậy phương trình có hai nghiệm x=1x = 1 và x=15x = \dfrac{1}{5}.

Chú ý: Với phương trình có nghiệm kép, máy chỉ hiện một giá trị XX (ví dụ 4x2+4x+1=04x^2 + 4x + 1 = 0 cho X=−12X = -\dfrac{1}{2}); với phương trình vô nghiệm, máy hiện kết quả có chứa kí hiệu ii (số phức) — nghĩa là phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Thực hành 5. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau bằng máy tính cầm tay:

a) 3x2−8x+4=03x^2 - 8x + 4 = 0; b) 5x2−25x+12=05x^2 - 2\sqrt{5}x + 12 = 0; c) 2x2−8x+8=02x^2 - 8x + 8 = 0.

Lời giải:

a) Nhập hệ số 33, −8-8, 44: máy hiện x1=2x_1 = 2; x2=23x_2 = \dfrac{2}{3}. (Kiểm tra: Δ=64−48=16>0\Delta = 64 - 48 = 16 > 0 ✓)

b) Nhập hệ số 55, −25-2\sqrt{5}, 1212: Δ=(25)2−4⋅5⋅12=20−240=−220<0\Delta = (2\sqrt{5})^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 20 - 240 = -220 < 0, máy hiện kết quả có ii. Phương trình vô nghiệm.

c) Nhập hệ số 22, −8-8, 88: Δ=64−64=0\Delta = 64 - 64 = 0, máy hiện x=2x = 2. Phương trình có nghiệm kép x=2x = 2.

5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai

HĐ4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 100100 m, diện tích 576576 m². Gọi xx (m) là chiều rộng của mảnh đất (0<x<500 < x < 50). Hãy lập phương trình biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích của mảnh đất.

Lời giải:

Nửa chu vi bằng 5050 m, nên chiều dài là 50−x50 - x (m). Diện tích 576576 m²:

x(50−x)=576  ⟺  50x−x2=576  ⟺  x2−50x+576=0.x(50 - x) = 576 \iff 50x - x^2 = 576 \iff x^2 - 50x + 576 = 0.

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai: Bước 1 — lập phương trình (chọn ẩn, đặt điều kiện, biểu diễn các đại lượng, lập phương trình); Bước 2 — giải phương trình; Bước 3 — kiểm tra điều kiện và trả lời.

Ví dụ 8. Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 120120 km. Tốc độ của xe thứ nhất nhanh hơn tốc độ xe thứ hai là 1010 km/h nên đã đến sớm hơn xe thứ hai 2424 phút. Tính tốc độ của mỗi xe.

Lời giải:

Gọi tốc độ xe thứ hai là xx (km/h, x>0x > 0); tốc độ xe thứ nhất là x+10x + 10 (km/h).

Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường: 120x\dfrac{120}{x} (giờ); xe thứ nhất: 120x+10\dfrac{120}{x + 10} (giờ).

Xe thứ nhất đến sớm hơn 2424 phút =25= \dfrac{2}{5} giờ:

120x−120x+10=25.\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 10} = \frac{2}{5}.

Khử mẫu: 120⋅5⋅(x+10)−120⋅5⋅x=2x(x+10)120 \cdot 5 \cdot (x + 10) - 120 \cdot 5 \cdot x = 2x(x + 10), thu gọn thành x2+10x−3 000=0x^2 + 10x - 3\,000 = 0.

Giải: Δ′=52+3 000=3 025\Delta' = 5^2 + 3\,000 = 3\,025, Δ′=55\sqrt{\Delta'} = 55; x1=−5+55=50x_1 = -5 + 55 = 50 (thỏa mãn x>0x > 0); x2=−5−55=−60x_2 = -5 - 55 = -60 (loại).

Vậy tốc độ xe thứ hai là 5050 km/h, tốc độ xe thứ nhất là 50+10=6050 + 10 = 60 km/h.