Giải Toán 9 Tập 2 trang 17 - Chân trời sáng tạo

Bài tập (Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn)

Thực hành 6. Một sân khấu ngoài trời có dạng hình chữ nhật, chiều dài hơn chiều rộng $2$ m, độ dài đường chéo là $10$ m. Tính diện tích của sân khấu đó.

Lời giải:

Gọi chiều rộng là $x$ (m, $x > 0$), chiều dài là $x + 2$ (m). Theo định lí Pythagore (đường chéo $10$ m):

$$x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 \iff 2x^2 + 4x + 4 = 100 \iff x^2 + 2x - 48 = 0.$$

$\Delta' = 1 + 48 = 49$; $x = -1 + 7 = 6$ (thỏa mãn) hoặc $x = -8$ (loại). Vậy chiều rộng $6$ m, chiều dài $8$ m; diện tích $= 6 \cdot 8 = 48$ (m²).

---

Bài 1. Giải các phương trình: a) $5x^2 + 7x = 0$; b) $5x^2 - 15 = 0$.

Lời giải:

a) $x(5x + 7) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{7}{5}$.

b) $5x^2 = 15 \iff x^2 = 3 \iff x = \sqrt{3}$ hoặc $x = -\sqrt{3}$.

---

Bài 2. Dùng công thức nghiệm để giải các phương trình:

a) $x^2 - x - 20 = 0$; b) $6x^2 - 11x - 35 = 0$; c) $16y^2 + 24y + 9 = 0$; d) $3x^2 + 5x + 3 = 0$; e) $x^2 - 2\sqrt{3}x - 6 = 0$; g) $x^2 - (2 + \sqrt{3})x + 2\sqrt{3} = 0$.

Lời giải:

a) $\Delta = 1 + 80 = 81$; $x_1 = \dfrac{1 + 9}{2} = 5$; $x_2 = \dfrac{1 - 9}{2} = -4$.

b) $\Delta = 121 + 840 = 961 = 31^2$; $x_1 = \dfrac{11 + 31}{12} = \dfrac{7}{2}$; $x_2 = \dfrac{11 - 31}{12} = -\dfrac{5}{3}$.

c) $\Delta = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 576 - 576 = 0$; nghiệm kép $y = -\dfrac{24}{32} = -\dfrac{3}{4}$.

d) $\Delta = 25 - 36 = -11 < 0$: phương trình vô nghiệm.

e) $\Delta' = 3 + 6 = 9$; $x_1 = \sqrt{3} + 3$; $x_2 = \sqrt{3} - 3$.

g) $\Delta = (2 + \sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 8\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$; $\sqrt{\Delta} = 2 - \sqrt{3}$.

$x_1 = \dfrac{(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})}{2} = 2$; $x_2 = \dfrac{(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})}{2} = \sqrt{3}$.

---

Bài 3. Giải các phương trình:

a) $x(x + 8) = 20$; b) $x(3x - 4) = 2x^2 + 5$; c) $(x - 5)^2 + 7x = 65$; d) $(2x + 3)(2x - 3) = 5(2x + 3)$.

Lời giải:

a) $x^2 + 8x - 20 = 0$; $\Delta' = 16 + 20 = 36$; $x_1 = -4 + 6 = 2$; $x_2 = -4 - 6 = -10$.

b) $3x^2 - 4x = 2x^2 + 5 \iff x^2 - 4x - 5 = 0$; $\Delta' = 4 + 5 = 9$; $x_1 = 2 + 3 = 5$; $x_2 = 2 - 3 = -1$.

c) $x^2 - 10x + 25 + 7x = 65 \iff x^2 - 3x - 40 = 0$; $\Delta = 9 + 160 = 169$; $x_1 = \dfrac{3 + 13}{2} = 8$; $x_2 = \dfrac{3 - 13}{2} = -5$.

d) $(2x + 3)(2x - 3) - 5(2x + 3) = 0 \iff (2x + 3)(2x - 3 - 5) = 0 \iff (2x + 3)(2x - 8) = 0 \iff x = -\dfrac{3}{2}$ hoặc $x = 4$.

---

Bài 4. Quãng đường từ thành phố A đến thành phố B dài $150$ km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đi đến B. Biết tốc độ ô tô thứ nhất lớn hơn tốc độ ô tô thứ hai là $10$ km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai $30$ phút. Tính tốc độ của mỗi xe.

Lời giải:

Gọi tốc độ ô tô thứ hai là $x$ (km/h, $x > 0$); ô tô thứ nhất là $x + 10$ (km/h). Ô tô thứ nhất đến sớm hơn $30$ phút $= \dfrac{1}{2}$ giờ:

$$\frac{150}{x} - \frac{150}{x + 10} = \frac{1}{2}.$$

Khử mẫu: $150 \cdot 2 (x + 10) - 150 \cdot 2 x = x(x + 10) \iff 3\,000 = x^2 + 10x \iff x^2 + 10x - 3\,000 = 0$.

$\Delta' = 25 + 3\,000 = 3\,025$; $x = -5 + 55 = 50$ (thỏa mãn) hoặc $x = -60$ (loại).

Vậy tốc độ ô tô thứ hai là $50$ km/h, ô tô thứ nhất là $60$ km/h.

---

Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi $280$ m. Người ta để một lối đi xung quanh vườn rộng $2$ m. Phần đất còn lại dùng để trồng rau có diện tích $4\,256$ m². Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn đó.

Lời giải:

Nửa chu vi $= 140$ m. Gọi chiều rộng khu vườn là $x$ (m, $2 < x < 140$), chiều dài là $140 - x$ (m).

Phần trồng rau (trừ lối đi rộng $2$ m mỗi phía) có chiều rộng $x - 4$ và chiều dài $140 - x - 4 = 136 - x$:

$$(x - 4)(136 - x) = 4\,256 \iff 140x - x^2 - 544 = 4\,256 \iff x^2 - 140x + 4\,800 = 0.$$

$\Delta' = 70^2 - 4\,800 = 4\,900 - 4\,800 = 100$; $x = 70 + 10 = 80$ hoặc $x = 70 - 10 = 60$.

Vậy khu vườn có chiều dài $80$ m và chiều rộng $60$ m (hai giá trị $x$ ứng với hai kích thước).

---

Bài 6. Nếu đổ thêm $250$ g nước vào một dung dịch chứa $50$ g muối thì nồng độ dung dịch sẽ giảm $10\%$. Tính nồng độ dung dịch lúc đầu.

Lời giải:

Gọi khối lượng dung dịch lúc đầu là $x$ (g, $x > 50$). Nồng độ lúc đầu: $\dfrac{50}{x}$; sau khi thêm $250$ g nước, dung dịch nặng $x + 250$ g, nồng độ mới: $\dfrac{50}{x + 250}$.

Nồng độ giảm $10\% = 0{,}1$:

$$\frac{50}{x} - \frac{50}{x + 250} = 0{,}1.$$

Khử mẫu: $50(x + 250) - 50x = 0{,}1 x(x + 250) \iff 12\,500 = 0{,}1x^2 + 25x \iff x^2 + 250x - 125\,000 = 0$.

$\Delta' = 125^2 + 125\,000 = 15\,625 + 125\,000 = 140\,625$; $\sqrt{\Delta'} = 375$; $x = -125 + 375 = 250$ (thỏa mãn) hoặc $x = -500$ (loại).

Nồng độ dung dịch lúc đầu: $\dfrac{50}{250} = 0{,}2 = 20\%$.

---

Bài 7. Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở $90$ tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có $2$ xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm $0{,}5$ tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu? Biết khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.

Lời giải:

Gọi số xe được điều đến là $x$ (xe, $x > 2$, nguyên). Mỗi xe dự định chở $\dfrac{90}{x}$ tấn.

Thực tế chỉ còn $x - 2$ xe, mỗi xe chở $\dfrac{90}{x - 2}$ tấn, nhiều hơn dự định $0{,}5$ tấn:

$$\frac{90}{x - 2} - \frac{90}{x} = 0{,}5.$$

Khử mẫu: $90x - 90(x - 2) = 0{,}5 x(x - 2) \iff 180 = 0{,}5x^2 - x \iff x^2 - 2x - 360 = 0$.

$\Delta' = 1 + 360 = 361$; $\sqrt{\Delta'} = 19$; $x = 1 + 19 = 20$ (thỏa mãn) hoặc $x = -18$ (loại).

Vậy số xe được điều đến chở hàng là $20$ xe.