Bài 3. Định lí Viète
Khởi động. Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 60 60 884 884 884
Trả lời: Chiều dài và chiều rộng là hai số có tổng S = 60 S = 60 S = 60 P = 884 P = 884 P = 884 x 2 − 60 x + 884 = 0 x^2 - 60x + 884 = 0 x 2 − 60 x + 884 = 0 34 34 34 26 26 26
1. Định lí Viète
HĐ1. Cho phương trình a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 1 + x 2 x_1 + x_2 x 1 + x 2 x 1 ⋅ x 2 x_1 \cdot x_2 x 1 ⋅ x 2
Lời giải:
Hai nghiệm x 1 = − b + Δ 2 a x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} x 1 = 2 a − b + Δ x 2 = − b − Δ 2 a x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} x 2 = 2 a − b − Δ
x 1 + x 2 = − b + Δ − b − Δ 2 a = − 2 b 2 a = − b a ; x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta} - b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}; x 1 + x 2 = 2 a − b + Δ − b − Δ = 2 a − 2 b = − a b ;
x 1 x 2 = ( − b ) 2 − ( Δ ) 2 4 a 2 = b 2 − ( b 2 − 4 a c ) 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a . x_1 x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}. x 1 x 2 = 4 a 2 ( − b ) 2 − ( Δ ) 2 = 4 a 2 b 2 − ( b 2 − 4 a c ) = 4 a 2 4 a c = a c .
Định lí Viète: Nếu phương trình bậc hai a x 2 + b x + c = 0 ax^2 + bx + c = 0 a x 2 + b x + c = 0 a ≠ 0 a \ne 0 a = 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
S = x 1 + x 2 = − b a ; P = x 1 x 2 = c a . S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; \qquad P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}. S = x 1 + x 2 = − a b ; P = x 1 x 2 = a c .
Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình:
a) x 2 − 7 x + 5 = 0 x^2 - 7x + 5 = 0 x 2 − 7 x + 5 = 0 5 x 2 − 2 x + 7 = 0 5x^2 - 2x + 7 = 0 5 x 2 − 2 x + 7 = 0
Lời giải:
a) Δ = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 29 > 0 \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 29 > 0 Δ = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 29 > 0 x 1 + x 2 = 7 x_1 + x_2 = 7 x 1 + x 2 = 7 x 1 x 2 = 5 x_1 x_2 = 5 x 1 x 2 = 5
b) Δ = ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 7 = − 136 < 0 \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = -136 < 0 Δ = ( − 2 ) 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 7 = − 136 < 0 vô nghiệm (không tính tổng, tích).
Ví dụ 2. Gọi x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 x^2 - 5x + 3 = 0 x 2 − 5 x + 3 = 0
a) 1 x 1 + 1 x 2 \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} x 1 1 + x 2 1 x 1 2 + x 2 2 x_1^2 + x_2^2 x 1 2 + x 2 2
Lời giải:
Δ = 25 − 12 = 13 > 0 \Delta = 25 - 12 = 13 > 0 Δ = 25 − 12 = 13 > 0 x 1 + x 2 = 5 x_1 + x_2 = 5 x 1 + x 2 = 5 x 1 x 2 = 3 x_1 x_2 = 3 x 1 x 2 = 3
a) 1 x 1 + 1 x 2 = x 1 + x 2 x 1 x 2 = 5 3 \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{5}{3} x 1 1 + x 2 1 = x 1 x 2 x 1 + x 2 = 3 5
b) x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = 5 2 − 2 ⋅ 3 = 25 − 6 = 19 x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 5^2 - 2 \cdot 3 = 25 - 6 = 19 x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = 5 2 − 2 ⋅ 3 = 25 − 6 = 19
Nhận xét (tính nhẩm nghiệm):
Nếu a + b + c = 0 a + b + c = 0 a + b + c = 0 x 1 = 1 x_1 = 1 x 1 = 1 x 2 = c a x_2 = \dfrac{c}{a} x 2 = a c
Nếu a − b + c = 0 a - b + c = 0 a − b + c = 0 x 1 = − 1 x_1 = -1 x 1 = − 1 x 2 = − c a x_2 = -\dfrac{c}{a} x 2 = − a c
Ví dụ 3. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 15 x 2 + 7 x − 22 = 0 15x^2 + 7x - 22 = 0 15 x 2 + 7 x − 22 = 0 18 x 2 − 7 x − 25 = 0 18x^2 - 7x - 25 = 0 18 x 2 − 7 x − 25 = 0
Lời giải:
a) a + b + c = 15 + 7 + ( − 22 ) = 0 a + b + c = 15 + 7 + (-22) = 0 a + b + c = 15 + 7 + ( − 22 ) = 0 x 1 = 1 x_1 = 1 x 1 = 1 x 2 = c a = − 22 15 x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{22}{15} x 2 = a c = − 15 22
b) a − b + c = 18 − ( − 7 ) + ( − 25 ) = 0 a - b + c = 18 - (-7) + (-25) = 0 a − b + c = 18 − ( − 7 ) + ( − 25 ) = 0 x 1 = − 1 x_1 = -1 x 1 = − 1 x 2 = − c a = 25 18 x_2 = -\dfrac{c}{a} = \dfrac{25}{18} x 2 = − a c = 18 25
Thực hành 1. Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:
a) x 2 − 2 7 x + 7 = 0 x^2 - 2\sqrt{7}x + 7 = 0 x 2 − 2 7 x + 7 = 0 15 x 2 − 2 x − 7 = 0 15x^2 - 2x - 7 = 0 15 x 2 − 2 x − 7 = 0 35 x 2 − 12 x + 2 = 0 35x^2 - 12x + 2 = 0 35 x 2 − 12 x + 2 = 0
Lời giải:
a) Δ = ( 2 7 ) 2 − 4 ⋅ 7 = 28 − 28 = 0 \Delta = (2\sqrt{7})^2 - 4 \cdot 7 = 28 - 28 = 0 Δ = ( 2 7 ) 2 − 4 ⋅ 7 = 28 − 28 = 0 x 1 + x 2 = 2 7 x_1 + x_2 = 2\sqrt{7} x 1 + x 2 = 2 7 x 1 x 2 = 7 x_1 x_2 = 7 x 1 x 2 = 7
b) Δ = 4 + 420 = 424 > 0 \Delta = 4 + 420 = 424 > 0 Δ = 4 + 420 = 424 > 0 a c < 0 ac < 0 a c < 0 x 1 + x 2 = 2 15 x_1 + x_2 = \dfrac{2}{15} x 1 + x 2 = 15 2 x 1 x 2 = − 7 15 x_1 x_2 = -\dfrac{7}{15} x 1 x 2 = − 15 7
c) Δ = 144 − 280 = − 136 < 0 \Delta = 144 - 280 = -136 < 0 Δ = 144 − 280 = − 136 < 0 vô nghiệm (không tính tổng, tích).
Thực hành 2. Cho phương trình x 2 − 12 x − 13 = 0 x^2 - 12x - 13 = 0 x 2 − 12 x − 13 = 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
a) 2 x 1 + 2 x 2 \dfrac{2}{x_1} + \dfrac{2}{x_2} x 1 2 + x 2 2 x 1 2 + x 2 2 − x 1 x 2 x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 x 1 2 + x 2 2 − x 1 x 2
Lời giải:
Δ = 144 + 52 = 196 > 0 \Delta = 144 + 52 = 196 > 0 Δ = 144 + 52 = 196 > 0 x 1 + x 2 = 12 x_1 + x_2 = 12 x 1 + x 2 = 12 x 1 x 2 = − 13 x_1 x_2 = -13 x 1 x 2 = − 13
a) 2 x 1 + 2 x 2 = 2 ⋅ x 1 + x 2 x 1 x 2 = 2 ⋅ 12 − 13 = − 24 13 \dfrac{2}{x_1} + \dfrac{2}{x_2} = 2 \cdot \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 2 \cdot \dfrac{12}{-13} = -\dfrac{24}{13} x 1 2 + x 2 2 = 2 ⋅ x 1 x 2 x 1 + x 2 = 2 ⋅ − 13 12 = − 13 24
b) x 1 2 + x 2 2 − x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 3 x 1 x 2 = 12 2 − 3 ⋅ ( − 13 ) = 144 + 39 = 183 x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2 = 12^2 - 3 \cdot (-13) = 144 + 39 = 183 x 1 2 + x 2 2 − x 1 x 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 3 x 1 x 2 = 1 2 2 − 3 ⋅ ( − 13 ) = 144 + 39 = 183
Thực hành 3. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) − 315 x 2 − 27 x + 342 = 0 -315x^2 - 27x + 342 = 0 − 315 x 2 − 27 x + 342 = 0 2 022 x 2 + 2 023 x + 1 = 0 2\,022x^2 + 2\,023x + 1 = 0 2 022 x 2 + 2 023 x + 1 = 0
Lời giải:
a) a + b + c = − 315 + ( − 27 ) + 342 = 0 a + b + c = -315 + (-27) + 342 = 0 a + b + c = − 315 + ( − 27 ) + 342 = 0 x 1 = 1 x_1 = 1 x 1 = 1 x 2 = c a = 342 − 315 = − 38 35 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{342}{-315} = -\dfrac{38}{35} x 2 = a c = − 315 342 = − 35 38
b) a − b + c = 2 022 − 2 023 + 1 = 0 a - b + c = 2\,022 - 2\,023 + 1 = 0 a − b + c = 2 022 − 2 023 + 1 = 0 x 1 = − 1 x_1 = -1 x 1 = − 1 x 2 = − c a = − 1 2 022 x_2 = -\dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{2\,022} x 2 = − a c = − 2 022 1