Hoạt động khám phá 2. Cho hai số uu và vv có tổng u+v=8u + v = 8 và tích uv=15uv = 15.

a) Biểu diễn uu theo vv rồi thay vào uv=15uv = 15.

b) Biểu diễn vv theo uu để tìm phương trình ẩn uu.

Lời giải:

a) Từ u+v=8u + v = 8, ta suy ra u=8−vu = 8 - v. Thay u=8−vu = 8 - v vào phương trình uv=15uv = 15, ta được:

(8−v)v=15⇒8v−v2=15⇒v2−8v+15=0.(8 - v)v = 15 \Rightarrow 8v - v^2 = 15 \Rightarrow v^2 - 8v + 15 = 0.

Đây là phương trình bậc hai ẩn vv.

b) Từ u+v=8u + v = 8, ta suy ra v=8−uv = 8 - u. Thay v=8−uv = 8 - u vào phương trình uv=15uv = 15, ta được:

u(8−u)=15⇒8u−u2=15⇒u2−8u+15=0.u(8 - u) = 15 \Rightarrow 8u - u^2 = 15 \Rightarrow u^2 - 8u + 15 = 0.

Đây là phương trình bậc hai ẩn uu.

Thực hành 4.

a) Tìm hai số, biết tổng bằng 1515 và tích bằng 4444.

b) Có tồn tại hai số aa và bb có tổng bằng 77 và tích bằng 1313 không?

Lời giải:

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình:

x2−15x+44=0.x^2 - 15x + 44 = 0.

Ta có Δ=(−15)2−4⋅1⋅44=225−176=49=72>0\Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 44 = 225 - 176 = 49 = 7^2 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=15+72=11;x2=15−72=4.x_1 = \frac{15 + 7}{2} = 11; \quad x_2 = \frac{15 - 7}{2} = 4.

Vậy hai số cần tìm là 1111 và 44.

b) Giả sử tồn tại hai số aa và bb thỏa mãn đề bài. Khi đó a,ba, b là nghiệm của phương trình:

x2−7x+13=0.x^2 - 7x + 13 = 0.

Ta có Δ=72−4⋅1⋅13=49−52=−3<0\Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3 < 0. Vì Δ<0\Delta < 0 nên phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại hai số aa và bb có tổng bằng 77 và tích bằng 1313.

Vận dụng. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn có nửa chu vi bằng 6060 m, diện tích 884884 m2^2.

Lời giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là uu và vv (u,v>0u, v > 0). Theo đề bài, ta có:

  • Tổng (nửa chu vi): u+v=60u + v = 60.
  • Tích (diện tích): uv=884uv = 884.

Khi đó uu và vv là nghiệm của phương trình:

x2−60x+884=0.x^2 - 60x + 884 = 0.

Ta có Δ′=(−30)2−1⋅884=900−884=16=42>0\Delta' = (-30)^2 - 1 \cdot 884 = 900 - 884 = 16 = 4^2 > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1=30+4=34;x2=30−4=26.x_1 = 30 + 4 = 34; \quad x_2 = 30 - 4 = 26.

Vậy chiều dài của khu vườn là 3434 m và chiều rộng là 2626 m.

1. Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:

a) 3x2−9x+5=03x^2 - 9x + 5 = 0;

b) 25x2−20x+4=025x^2 - 20x + 4 = 0;

c) 5x2−9x+15=05x^2 - 9x + 15 = 0;

d) 5x2−23x−3=05x^2 - 2\sqrt{3}x - 3 = 0.

Lời giải:

a) Ta có Δ=(−9)2−4⋅3⋅5=81−60=21>0\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 81 - 60 = 21 > 0. Phương trình có hai nghiệm. Theo định lí Viète: S=x1+x2=−ba=93=3S = x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{9}{3} = 3. P=x1x2=ca=53P = x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}.

b) Ta có Δ′=(−10)2−25⋅4=100−100=0\Delta' = (-10)^2 - 25 \cdot 4 = 100 - 100 = 0. Phương trình có nghiệm kép. Theo định lí Viète: S=x1+x2=2025=45S = x_1 + x_2 = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}. P=x1x2=425P = x_1x_2 = \frac{4}{25}.

c) Ta có Δ=(−9)2−4⋅5⋅15=81−300=−219<0\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 15 = 81 - 300 = -219 < 0. Phương trình vô nghiệm, nên không có tổng và tích các nghiệm.

d) Ta có a=5a = 5 và c=−3c = -3. Vì ac<0ac < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète: S=x1+x2=235S = x_1 + x_2 = \frac{2\sqrt{3}}{5}. P=x1x2=−35P = x_1x_2 = -\frac{3}{5}.

2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 24x2−19x−5=024x^2 - 19x - 5 = 0;

b) 2,5x2+7,2x+4,7=02{,}5x^2 + 7{,}2x + 4{,}7 = 0;

c) 32x2+5x+72=0\frac{3}{2}x^2 + 5x + \frac{7}{2} = 0;

d) 2x2−(2+3)x+3=02x^2 - (2 + \sqrt{3})x + \sqrt{3} = 0.

Lời giải:

a) Ta có a+b+c=24+(−19)+(−5)=0a + b + c = 24 + (-19) + (-5) = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm: x1=1x_1 = 1; x2=ca=−524x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{5}{24}.

b) Ta có a−b+c=2,5−7,2+4,7=0a - b + c = 2{,}5 - 7{,}2 + 4{,}7 = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm: x1=−1x_1 = -1; x2=−ca=−4,72,5=−4725=−1,88x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{4{,}7}{2{,}5} = -\frac{47}{25} = -1{,}88.

c) Ta có a−b+c=32−5+72=102−5=0a - b + c = \frac{3}{2} - 5 + \frac{7}{2} = \frac{10}{2} - 5 = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm: x1=−1x_1 = -1; x2=−ca=−7/23/2=−73x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{7/2}{3/2} = -\frac{7}{3}.

d) Ta có a+b+c=2+[−(2+3)]+3=2−2−3+3=0a + b + c = 2 + [-(2 + \sqrt{3})] + \sqrt{3} = 2 - 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 0. Vậy phương trình có hai nghiệm: x1=1x_1 = 1; x2=ca=32x_2 = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

3. Tìm hai số uu và vv (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:

a) u+v=29u + v = 29, uv=154uv = 154;

b) u+v=−6u + v = -6, uv=−135uv = -135;

c) u+v=5u + v = 5, uv=24uv = 24.

Lời giải:

a) u,vu, v là nghiệm của phương trình: x2−29x+154=0x^2 - 29x + 154 = 0. Δ=(−29)2−4⋅154=841−616=225=152\Delta = (-29)^2 - 4 \cdot 154 = 841 - 616 = 225 = 15^2. x1=29+152=22x_1 = \frac{29 + 15}{2} = 22; x2=29−152=7x_2 = \frac{29 - 15}{2} = 7. Vậy (u;v)(u; v) là (22;7)(22; 7) hoặc (7;22)(7; 22).

b) u,vu, v là nghiệm của phương trình: x2+6x−135=0x^2 + 6x - 135 = 0. Δ′=32−1⋅(−135)=9+135=144=122\Delta' = 3^2 - 1 \cdot (-135) = 9 + 135 = 144 = 12^2. x1=−3+12=9x_1 = -3 + 12 = 9; x2=−3−12=−15x_2 = -3 - 12 = -15. Vậy (u;v)(u; v) là (9;−15)(9; -15) hoặc (−15;9)(-15; 9).

c) u,vu, v là nghiệm của phương trình: x2−5x+24=0x^2 - 5x + 24 = 0. Δ=(−5)2−4⋅24=25−96=−71<0\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 24 = 25 - 96 = -71 < 0. Vậy không tồn tại hai số uu và vv thỏa mãn.

4. Cho phương trình x2−19x−5=0x^2 - 19x - 5 = 0. Gọi x1,x2x_1, x_2 là hai nghiệm của phương trình. Tính:

a) A=x12+x22A = x_1^2 + x_2^2;

b) B=2x1+2x2B = \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2};

c) C=3x1+2+3x2+2C = \frac{3}{x_1 + 2} + \frac{3}{x_2 + 2}.

Lời giải:

Vì ac=1⋅(−5)=−5<0ac = 1 \cdot (-5) = -5 < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète: x1+x2=19x_1 + x_2 = 19 và x1x2=−5x_1x_2 = -5.

a) A=x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=192−2(−5)=361+10=371A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 19^2 - 2(-5) = 361 + 10 = 371.

b) B=2(x1+x2)x1x2=2⋅19−5=−385=−7,6B = \frac{2(x_1 + x_2)}{x_1x_2} = \frac{2 \cdot 19}{-5} = -\frac{38}{5} = -7{,}6.

c) Quy đồng mẫu thức cho CC:

C=3(x2+2)+3(x1+2)(x1+2)(x2+2)=3(x1+x2+4)x1x2+2(x1+x2)+4C = \frac{3(x_2 + 2) + 3(x_1 + 2)}{(x_1 + 2)(x_2 + 2)} = \frac{3(x_1 + x_2 + 4)}{x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4}

Thay số vào ta được:

C=3(19+4)−5+2⋅19+4=3⋅23−5+38+4=6937.C = \frac{3(19 + 4)}{-5 + 2 \cdot 19 + 4} = \frac{3 \cdot 23}{-5 + 38 + 4} = \frac{69}{37}.

5. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116116 m, diện tích 805805 m2^2. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Nửa chu vi của mảnh vườn là: 116:2=58116 : 2 = 58 (m). Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là u,vu, v (u,v>0u, v > 0). Ta có:

  • Tổng: u+v=58u + v = 58.
  • Tích: uv=805uv = 805.

Khi đó u,vu, v là nghiệm của phương trình:

x2−58x+805=0.x^2 - 58x + 805 = 0.

Ta có Δ′=(−29)2−1⋅805=841−805=36=62>0\Delta' = (-29)^2 - 1 \cdot 805 = 841 - 805 = 36 = 6^2 > 0. Phương trình có hai nghiệm:

x1=29+6=35;x2=29−6=23.x_1 = 29 + 6 = 35; \quad x_2 = 29 - 6 = 23.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 3535 m và chiều rộng là 2323 m.