Bài 1. Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Khởi động. Một vật được thả rơi tự do từ độ cao 4545 m. Quãng đường chuyển động ss (m) của vật theo thời gian rơi tt (giây) cho bởi công thức s=5t2s = 5t^2. Sau khi thả 22 giây, quãng đường vật di chuyển được là bao nhiêu mét?

Trả lời: s=5⋅22=5⋅4=20s = 5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20 (m).

1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

HĐ1. Diện tích SS của hình tròn được tính bởi công thức S=πR2S = \pi R^2 (π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

a) Tính diện tích của hình tròn với R=10R = 10 cm.

b) Diện tích SS có phải là hàm số của biến số RR không?

Lời giải:

a) S=π⋅102=100π≈314S = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \approx 314 (cm²).

b) Với mỗi giá trị của RR xác định được duy nhất một giá trị của SS, nên SS là hàm số của biến số RR.

Ví dụ 1. a) Trong các hàm số sau, hàm số nào có dạng y=ax2y = ax^2 (a≠0a \ne 0)? y=2xy = 2x; y=3x2y = 3x^2; y=0x2y = 0x^2; y=−x24y = -\dfrac{x^2}{4}.

b) Xác định hệ số của x2x^2 trong các hàm số: y=2x2y = 2x^2; y=−0,25x2y = -0{,}25x^2; y=12x2y = \dfrac{1}{2}x^2.

Lời giải:

a) Hàm số y=3x2y = 3x^2 có dạng y=ax2y = ax^2 với a=3a = 3; hàm số y=−x24y = -\dfrac{x^2}{4} có dạng y=ax2y = ax^2 với a=−14a = -\dfrac{1}{4}.

Hàm số y=2xy = 2x (bậc nhất) và y=0x2y = 0x^2 (a=0a = 0) không có dạng y=ax2y = ax^2 (a≠0a \ne 0).

b) Hệ số của x2x^2 lần lượt là 22; −0,25-0{,}25; 12\dfrac{1}{2}.

Thực hành 1. a) Xác định hệ số của x2x^2 trong các hàm số: y=0,75x2y = 0{,}75x^2; y=−3x2y = -3x^2; y=14x2y = \dfrac{1}{4}x^2.

b) Với mỗi hàm số ở câu a, tính giá trị của yy khi x=−2x = -2; x=2x = 2.

Lời giải:

a) Hệ số của x2x^2 lần lượt là 0,750{,}75; −3-3; 14\dfrac{1}{4}.

b) Vì (−2)2=22=4(-2)^2 = 2^2 = 4 nên với mỗi hàm số, giá trị yy tại x=−2x = -2 và x=2x = 2 bằng nhau:

  • y=0,75x2y = 0{,}75x^2: y=0,75⋅4=3y = 0{,}75 \cdot 4 = 3.
  • y=−3x2y = -3x^2: y=−3⋅4=−12y = -3 \cdot 4 = -12.
  • y=14x2y = \dfrac{1}{4}x^2: y=14⋅4=1y = \dfrac{1}{4} \cdot 4 = 1.

Vận dụng 1. Gọi xx (cm) là chiều dài cạnh của một viên gạch lát nền hình vuông.

a) Viết công thức tính diện tích SS (cm²) của viên gạch đó.

b) Tính SS khi x=20x = 20; x=30x = 30; x=60x = 60.

Lời giải:

a) S=x2S = x^2 (cm²) — có dạng y=ax2y = ax^2 với a=1a = 1.

b) x=20x = 20: S=400S = 400 (cm²); x=30x = 30: S=900S = 900 (cm²); x=60x = 60: S=3 600S = 3\,600 (cm²).

2. Bảng giá trị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

HĐ2. Cho hàm số y=12x2y = \dfrac{1}{2}x^2. Hoàn thành bảng giá trị.

Lời giải:

xx −3-3 −2-2 −1-1 00 11 22 33
y=12x2y = \dfrac{1}{2}x^2 4,54{,}5 22 0,50{,}5 00 0,50{,}5 22 4,54{,}5

Ví dụ 2. Lập bảng giá trị của hàm số y=x2y = x^2 và y=−x2y = -x^2 với xx lần lượt bằng −3-3; −2-2; −1-1; 00; 11; 22; 33.

Lời giải:

Bảng giá trị y=x2y = x^2:

xx −3-3 −2-2 −1-1 00 11 22 33
y=x2y = x^2 99 44 11 00 11 44 99

Bảng giá trị y=−x2y = -x^2:

xx −3-3 −2-2 −1-1 00 11 22 33
y=−x2y = -x^2 −9-9 −4-4 −1-1 00 −1-1 −4-4 −9-9

Nhận xét: Với hàm số y=ax2y = ax^2 (a≠0a \ne 0): nếu a>0a > 0 thì y>0y > 0 với mọi x≠0x \ne 0, y=0y = 0 khi x=0x = 0; nếu a<0a < 0 thì y<0y < 0 với mọi x≠0x \ne 0, y=0y = 0 khi x=0x = 0.

Thực hành 2. Lập bảng giá trị của hàm số y=14x2y = \dfrac{1}{4}x^2 và y=−14x2y = -\dfrac{1}{4}x^2 với xx lần lượt bằng −4-4; −2-2; 00; 22; 44.

Lời giải:

xx −4-4 −2-2 00 22 44
y=14x2y = \dfrac{1}{4}x^2 44 11 00 11 44
y=−14x2y = -\dfrac{1}{4}x^2 −4-4 −1-1 00 −1-1 −4-4

Vận dụng 2. Một vật rơi tự do từ độ cao 125125 m so với mặt đất. Quãng đường chuyển động ss (m) phụ thuộc thời gian tt (giây) cho bởi s=5t2s = 5t^2.

a) Sau 22 giây, vật cách mặt đất bao nhiêu mét? Sau 33 giây vật cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau bao lâu thì vật tiếp đất?

Lời giải:

a) Sau 22 giây: quãng đường rơi s=5⋅22=20s = 5 \cdot 2^2 = 20 m, vật cách mặt đất 125−20=105125 - 20 = 105 (m).

Sau 33 giây: s=5⋅32=45s = 5 \cdot 3^2 = 45 m, vật cách mặt đất 125−45=80125 - 45 = 80 (m).

b) Vật tiếp đất khi quãng đường rơi bằng 125125 m: 5t2=125  ⟺  t2=25  ⟺  t=55t^2 = 125 \iff t^2 = 25 \iff t = 5 (giây, lấy t>0t > 0).

Vậy sau 55 giây thì vật tiếp đất.

3. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

HĐ3. Cho hàm số y=x2y = x^2 với bảng giá trị đã lập ở Ví dụ 2. Từ đồ thị (Hình 2), trả lời:

a) Đồ thị của hàm số có vị trí như thế nào so với trục hoành?

b) Có nhận xét gì về vị trí của các cặp điểm AA và A′A', BB và B′B', CC và C′C' so với trục tung?

c) Điểm nào là điểm thấp nhất của đồ thị?

Lời giải:

a) Vì a=1>0a = 1 > 0 nên y≥0y \ge 0 với mọi xx; đồ thị nằm phía trên trục hoành (trừ điểm OO nằm trên trục hoành).

b) Các cặp điểm A(−3;9)A(-3; 9) và A′(3;9)A'(3; 9); B(−2;4)B(-2; 4) và B′(2;4)B'(2; 4); C(−1;1)C(-1; 1) và C′(1;1)C'(1; 1) đối xứng với nhau qua trục tung OyOy.

c) Điểm thấp nhất của đồ thị là gốc tọa độ O(0;0)O(0; 0).

Kết luận: Đồ thị của hàm số y=ax2y = ax^2 (a≠0a \ne 0) là một đường cong gọi là parabol đỉnh OO, nhận trục OyOy làm trục đối xứng. Nếu a>0a > 0, đồ thị nằm phía trên trục hoành, OO là điểm thấp nhất; nếu a<0a < 0, đồ thị nằm phía dưới trục hoành, OO là điểm cao nhất.

HĐ4. Cho hàm số y=−32x2y = -\dfrac{3}{2}x^2.

a) Lập bảng giá trị của hàm số khi xx lần lượt nhận các giá trị −2-2; −1-1; 00; 11; 22.

b) Vẽ đồ thị của hàm số. Có nhận xét gì về đồ thị của hàm số đó?

Lời giải:

a) Bảng giá trị:

xx −2-2 −1-1 00 11 22
y=−32x2y = -\dfrac{3}{2}x^2 −6-6 −1,5-1{,}5 00 −1,5-1{,}5 −6-6

b) Lấy các điểm (−2;−6)(-2; -6), (−1;−1,5)(-1; -1{,}5), (0;0)(0; 0), (1;−1,5)(1; -1{,}5), (2;−6)(2; -6) rồi vẽ đường cong parabol đi qua chúng.

Nhận xét: Vì a=−32<0a = -\dfrac{3}{2} < 0 nên đồ thị là parabol đỉnh OO, nằm phía dưới trục hoành, nhận OyOy làm trục đối xứng và O(0;0)O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị.