Giải Toán 9 Tập 1 trang 102-105 - Kết nối tri thức

Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Luyện tập 1. Cho đường thẳng $a$ và điểm $O$ cách $a$ một khoảng bằng $4$ cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không giao với đường thẳng $a$. Tại sao?

a) $(O; 3\text{ cm})$; b) $(O; 5\text{ cm})$; c) $(O; 4\text{ cm})$.

Lời giải:

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là $d = 4$ cm. So sánh $d$ với bán kính $R$:

• a) $R = 3 < 4 = d$ → đường tròn và đường thẳng $a$ không giao nhau.
• b) $R = 5 > 4 = d$ → đường tròn cắt đường thẳng $a$ tại hai điểm.
• c) $R = 4 = d$ → đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $a$.

---

HĐ2. Cho đoạn thẳng $OH$ và đường thẳng $a$ vuông góc với $OH$ tại $H$.

a) Xác định khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$.

b) Nếu vẽ đường tròn $(O; OH)$ thì đường tròn này và đường thẳng $a$ có vị trí tương đối như thế nào?

Lời giải:

a) Vì $a \perp OH$ tại $H$ nên khoảng cách từ $O$ đến $a$ chính là độ dài đoạn $OH$.

b) Khi đó $d = OH = R$, nên đường tròn $(O; OH)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ tại $H$.

---

Luyện tập 2. Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng $6$ cm và hai đường chéo cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng đường tròn $(I; 3\text{ cm})$ tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Lời giải:

Tâm $I$ của hình vuông cách đều bốn cạnh. Khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh bằng nửa độ dài cạnh:

$$d = \frac{6}{2} = 3 \text{ (cm)} = R.$$

Vì khoảng cách từ tâm $I$ đến mỗi cạnh đúng bằng bán kính nên đường tròn $(I; 3\text{ cm})$ tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông. $\blacksquare$

---

Thực hành. Cho đường thẳng $a$ và điểm $M$ không thuộc $a$. Hãy vẽ đường tròn tâm $M$ tiếp xúc với $a$.

Lời giải:

Kẻ $MH \perp a$ tại $H$. Vẽ đường tròn $(M; MH)$. Khi đó khoảng cách từ tâm $M$ đến $a$ bằng bán kính $MH$ nên đường tròn tiếp xúc với $a$ tại $H$.

---

Vận dụng. (Trở lại bài toán đồng xu) Đồng xu "nằm trên" một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh đồng xu) và đường thẳng cắt nhau. Chứng minh rằng chỉ xảy ra trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.

Lời giải:

Tâm đồng xu (bán kính $1$ cm) luôn nằm trong dải giữa hai đường thẳng song song kề nhau. Gọi $d_1$, $d_2$ là khoảng cách từ tâm đến hai đường thẳng biên của dải, ta luôn có:

$$d_1 + d_2 = 2 \text{ (cm)}, \quad d_1, d_2 \ge 0.$$

• Nếu $d_1 < 1$ thì đồng xu cắt đường thẳng thứ nhất — trường hợp a xảy ra.
• Nếu $d_1 = d_2 = 1$ thì đồng xu chỉ tiếp xúc (không cắt) cả hai đường — trường hợp b xảy ra.
• Giả sử đồng xu cắt cả hai đường thẳng (trường hợp c). Khi đó $d_1 < 1$ và $d_2 < 1$, suy ra $d_1 + d_2 < 2$ — mâu thuẫn với $d_1 + d_2 = 2$. Vậy trường hợp c không thể xảy ra. $\blacksquare$

---

HĐ3. Cho điểm $P$ bên ngoài đường tròn tâm $O$. Vẽ đường tròn đường kính $PO$ cắt $(O)$ tại $A$ và $B$. Chứng tỏ $PA$ và $PB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$.

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $PO$ (tâm đường tròn đường kính $PO$). Vì $A$ nằm trên đường tròn đường kính $PO$ nên $MA = \dfrac{PO}{2}$, tức là trong tam giác $PAO$, trung tuyến $AM$ bằng nửa cạnh $PO$. Suy ra tam giác $PAO$ vuông tại $A$, hay $PA \perp OA$.

$PA$ đi qua điểm $A$ nằm trên $(O)$ và vuông góc với bán kính $OA$, nên theo Định lí 1, $PA$ là tiếp tuyến của $(O)$. Chứng minh tương tự, $PB$ là tiếp tuyến của $(O)$. $\blacksquare$

---

HĐ4. Bằng cách xét hai tam giác $OPA$ và $OPB$, chứng minh rằng: a) $PA = PB$; b) $PO$ là tia phân giác của góc $APB$; c) $OP$ là tia phân giác của góc $AOB$.

Lời giải:

Hai tam giác $OAP$ và $OBP$ vuông lần lượt tại $A$ và $B$ (tính chất tiếp tuyến) có:

• $OA = OB = R$;
• $OP$ là cạnh chung (cạnh huyền).

Do đó $\triangle OAP = \triangle OBP$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra:

a) $PA = PB$ (hai cạnh tương ứng);

b) $\widehat{APO} = \widehat{BPO}$ → $PO$ là tia phân giác của góc $APB$;

c) $\widehat{AOP} = \widehat{BOP}$ → $OP$ là tia phân giác của góc $AOB$. $\blacksquare$

---

Bài tập

Bài 5.20. Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt $4$ cm, $6$ cm, $7$ cm và $8$ cm. Hai đường thẳng $a$, $b$ song song, cách nhau $6$ cm. Nếu dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng $b$ thì hình nào không đè lên đường thẳng $a$?

Lời giải:

Khoảng cách từ tâm mỗi hình tròn (nằm trên $b$) đến đường thẳng $a$ là $d = 6$ cm. Hình tròn đè lên $a$ (cắt $a$) khi $R > 6$ cm:

• $R = 4 < 6$: không giao với $a$ → không đè lên $a$.
• $R = 6 = d$: chỉ tiếp xúc với $a$ (chạm tại đúng một điểm, không cắt) → không đè lên $a$.
• $R = 7 > 6$ và $R = 8 > 6$: cắt $a$ → đè lên $a$.

Kết quả: hình tròn bán kính $4$ cm và $6$ cm không đè lên đường thẳng $a$.

---

Bài 5.21. Cho đường tròn $(O)$ đi qua ba đỉnh $A$, $B$, $C$ của một tam giác cân tại $A$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ là một tiếp tuyến của $(O)$.

Lời giải:

• Vì tam giác cân tại $A$ nên $AB = AC$, tức $A$ cách đều $B$ và $C$ → $A$ nằm trên đường trung trực của $BC$.
• Vì $OB = OC = R$ nên $O$ cũng nằm trên đường trung trực của $BC$.

Suy ra $OA$ nằm trên đường trung trực của $BC$, do đó $OA \perp BC$.

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ song song với $BC$. Vì $OA \perp BC$ và $d \parallel BC$ nên $OA \perp d$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A \in (O)$ và vuông góc với bán kính $OA$ nên theo Định lí 1, $d$ là tiếp tuyến của $(O)$. $\blacksquare$

---

Bài 5.22. Cho góc $xOy$ với đường phân giác $Ot$; điểm $A$ trên $Ox$, điểm $B$ trên $Oy$ sao cho $OA = OB$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $Ox$ cắt $Ot$ tại $P$. Chứng minh rằng $OA$ và $OB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(P; PA)$.

Lời giải:

Xét hai tam giác $OAP$ và $OBP$ có:

• $OA = OB$ (giả thiết);
• $\widehat{AOP} = \widehat{BOP}$ ($Ot$ là phân giác góc $xOy$);
• $OP$ là cạnh chung.

Suy ra $\triangle OAP = \triangle OBP$ (c.g.c). Do đó:

• $PB = PA$, tức $B$ nằm trên đường tròn $(P; PA)$;
• $\widehat{OBP} = \widehat{OAP} = 90^\circ$.

Vậy đường thẳng $OA$ vuông góc với bán kính $PA$ tại $A \in (P)$ và đường thẳng $OB$ vuông góc với bán kính $PB$ tại $B \in (P)$ — theo Định lí 1, cả hai đều là tiếp tuyến của $(P; PA)$, và chúng cắt nhau tại $O$. $\blacksquare$

---

Bài 5.23. Cho $SA$ và $SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$ ($A$, $B$ là tiếp điểm). Gọi $M$ là một điểm tùy ý trên cung nhỏ $AB$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ cắt $SA$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$.

a) Chứng minh rằng chu vi tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$.

b) Giả sử $M$ là giao điểm của đoạn $SO$ với $(O)$. Chứng minh rằng $SE = SF$.

Lời giải:

a) $EA$ và $EM$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $E$ nên $EA = EM$. Tương tự, $FB = FM$.

Chu vi tam giác $SEF$:

$$SE + EF + FS = SE + (EM + MF) + FS = (SE + EA) + (FB + FS) = SA + SB. \qquad \blacksquare$$

b) Vì $SA$, $SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau nên $SO$ là tia phân giác của góc $ASB$ (Định lí 2), tức $SM$ là phân giác của góc $ESF$.

Tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với bán kính $OM$; mà $O$, $M$, $S$ thẳng hàng nên $EF \perp SM$.

Trong tam giác $SEF$, đoạn $SM$ vừa là đường phân giác vừa là đường cao, nên tam giác $SEF$ cân tại $S$, suy ra $SE = SF$. $\blacksquare$