Bài 17. Vị trí tương đối của hai đường tròn

HĐ1. Cho hình 5.31, trong đó O′A<OAO'A < OA và OA−O′A<OO′<OA+O′AOA - O'A < OO' < OA + O'A. Vẽ hai đường tròn (O;OA)(O; OA) và (O′;O′A)(O'; O'A) — hai đường tròn đó có mấy điểm chung?

Trả lời:

Khi vẽ, hai đường tròn có đúng hai điểm chung — chúng cắt nhau tại hai giao điểm.

Từ đó ta có nhận xét: hai đường tròn (O;R)(O; R) và (O′;R′)(O'; R') cắt nhau khi R−R′<OO′<R+R′R - R' < OO' < R + R' (với R>R′R > R').

Ví dụ 1. Cho OO′=5OO' = 5 cm. Giải thích tại sao hai đường tròn (O;4 cm)(O; 4\text{ cm}) và (O′;3 cm)(O'; 3\text{ cm}) cắt nhau.

Lời giải:

Với R=4R = 4, R′=3R' = 3:

R−R′=1<OO′=5<7=R+R′.R - R' = 1 < OO' = 5 < 7 = R + R'.

Thỏa mãn điều kiện cắt nhau, vậy hai đường tròn cắt nhau (có hai điểm chung).

Luyện tập 1. Cho đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) và điểm II cách OO một khoảng 22 cm. Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn (I;r)(I; r):

a) r=4r = 4 cm; b) r=6r = 6 cm.

Lời giải:

Ta có OI=2OI = 2 cm, R=5R = 5 cm.

a) r=4r = 4: ∣R−r∣=1<OI=2<9=R+r|R - r| = 1 < OI = 2 < 9 = R + r → hai đường tròn cắt nhau.

b) r=6r = 6: ∣R−r∣=1<OI=2<11=R+r|R - r| = 1 < OI = 2 < 11 = R + r → hai đường tròn cắt nhau.

HĐ2. Trên Hình 5.33a: OO′=OA+O′AOO' = OA + O'A; trên Hình 5.33b: OO′=OA−O′AOO' = OA - O'A. Trong mỗi trường hợp, hai đường tròn (O;OA)(O; OA) và (O′;O′A)(O'; O'A) có mấy điểm chung?

Trả lời:

Cả hai trường hợp, hai đường tròn có đúng một điểm chung (AA):

  • OO′=OA+O′AOO' = OA + O'A: hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại AA.
  • OO′=OA−O′AOO' = OA - O'A: hai đường tròn tiếp xúc trong tại AA.

Ví dụ 2. Cho OO′=5OO' = 5 cm. Giải thích tại sao hai đường tròn (O;3 cm)(O; 3\text{ cm}) và (O′;2 cm)(O'; 2\text{ cm}) tiếp xúc với nhau. Tiếp xúc trong hay ngoài?

Lời giải:

R+R′=3+2=5=OO′R + R' = 3 + 2 = 5 = OO', vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau (tiếp điểm nằm giữa hai tâm, trên đoạn OO′OO').

Luyện tập 2. Cho OO′=3OO' = 3 cm. Giải thích tại sao hai đường tròn (O;8 cm)(O; 8\text{ cm}) và (O′;5 cm)(O'; 5\text{ cm}) tiếp xúc với nhau. Tiếp xúc trong hay ngoài?

Lời giải:

R−R′=8−5=3=OO′R - R' = 8 - 5 = 3 = OO', vậy hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau (đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn, chạm nhau tại một điểm).

HĐ3. Trên Hình 5.35a: OO′>OA+O′BOO' > OA + O'B; trên Hình 5.35b: OO′<OA−O′BOO' < OA - O'B. Hai đường tròn (O;OA)(O; OA) và (O′;O′B)(O'; O'B) có điểm chung không?

Trả lời:

Cả hai trường hợp, hai đường tròn không có điểm chung nào:

  • OO′>OA+O′BOO' > OA + O'B: hai đường tròn ở ngoài nhau.
  • OO′<OA−O′BOO' < OA - O'B: đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ.

Ví dụ 3. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O;3 cm)(O; 3\text{ cm}) và (O′;5 cm)(O'; 5\text{ cm}), biết rằng OO′>8OO' > 8 cm.

Lời giải:

R+R′=3+5=8R + R' = 3 + 5 = 8 cm. Vì OO′>8=R+R′OO' > 8 = R + R' nên hai đường tròn ở ngoài nhau.

Luyện tập 3. Cho OO′=2OO' = 2 cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) và (O′;r)(O'; r), biết rằng r<3r < 3 cm.

Lời giải:

Vì r<3r < 3 nên R−r=5−r>5−3=2=OO′R - r = 5 - r > 5 - 3 = 2 = OO', tức là OO′<R−rOO' < R - r.

Vậy đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) đựng đường tròn (O′;r)(O'; r).

Thực hành. Mô phỏng nguyệt thực bằng hai hình tròn giấy:

a) Nguyệt thực một phần — hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

b) Nguyệt thực toàn phần — hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

Trả lời:

a) Nguyệt thực một phần: Mặt Trăng chỉ bị che khuất một phần, hình ảnh hai đường tròn cắt nhau.

b) Nguyệt thực toàn phần: Mặt Trăng nằm hoàn toàn trong bóng Trái Đất, hình ảnh là đường tròn bóng Trái Đất đựng đường tròn Mặt Trăng.

Tranh luận. Tròn cho rằng: nói "hai đường tròn không cắt nhau" cũng có nghĩa là "hai đường tròn không giao nhau". Theo em, Tròn đúng hay sai?

Trả lời:

Tròn sai. "Không giao nhau" nghĩa là không có điểm chung nào. Còn "không cắt nhau" chỉ có nghĩa là không có hai điểm chung — trường hợp này vẫn bao gồm khả năng hai đường tròn tiếp xúc nhau (có đúng một điểm chung). Hai đường tròn tiếp xúc thì không cắt nhau nhưng vẫn giao nhau (có điểm chung).

Bài tập

Bài 5.24. Hình 5.37 cho thấy hình ảnh những đường tròn qua cách trình bày sản phẩm mây tre đan. Hãy chỉ ra vài cặp đường tròn cắt nhau và vài cặp không giao nhau.

Lời giải:

Đánh số các đường tròn trên hình rồi nhận biết theo đặc điểm:

  • Cặp cắt nhau: hai đường tròn đan xen, chồng lên nhau tại hai điểm (các vòng tròn của những chiếc rổ/rá đặt chồng mép lên nhau).
  • Cặp không giao nhau: hai đường tròn tách rời hẳn nhau (ngoài nhau — ví dụ vành của hai sản phẩm đặt cạnh nhau), hoặc đường tròn nhỏ nằm hoàn toàn bên trong đường tròn lớn (đựng nhau — ví dụ vành trong và vành ngoài của cùng một chiếc mẹt).

(Tuỳ cách đánh số trên hình, em liệt kê các cặp cụ thể tương ứng.)

Bài 5.25. Cho hai điểm OO và O′O' cách nhau 55 cm. Mỗi đường tròn sau có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn (O;3 cm)(O; 3\text{ cm})?

a) (O′;3 cm)(O'; 3\text{ cm}); b) (O′;1 cm)(O'; 1\text{ cm}); c) (O′;8 cm)(O'; 8\text{ cm}).

Lời giải:

Với R=3R = 3, OO′=5OO' = 5:

a) r=3r = 3: ∣R−r∣=0<5<6=R+r|R - r| = 0 < 5 < 6 = R + r → hai đường tròn cắt nhau.

b) r=1r = 1: R+r=4<5=OO′R + r = 4 < 5 = OO' → hai đường tròn ở ngoài nhau.

c) r=8r = 8: ∣r−R∣=5=OO′|r - R| = 5 = OO' → hai đường tròn tiếp xúc trong (đường tròn (O′;8)(O'; 8) chứa (O;3)(O; 3), chạm tại một điểm).

Bài 5.26. Cho ba điểm thẳng hàng OO, AA và O′O'. Với mỗi trường hợp, viết hệ thức giữa OO′OO', OAOA, O′AO'A và xét xem hai đường tròn (O;OA)(O; OA) và (O′;O′A)(O'; O'A) tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài:

a) AA nằm giữa OO và O′O';

b) OO nằm giữa AA và O′O';

c) O′O' nằm giữa AA và OO.

Lời giải:

Chú ý hai đường tròn đều đi qua AA và ba điểm OO, AA, O′O' thẳng hàng.

a) AA nằm giữa: OO′=OA+AO′OO' = OA + AO', tức OO′=R+R′OO' = R + R' → hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại AA.

b) OO nằm giữa AA và O′O': O′A=O′O+OAO'A = O'O + OA, suy ra OO′=O′A−OA=R′−ROO' = O'A - OA = R' - R → hai đường tròn tiếp xúc trong tại AA (đường tròn (O′;O′A)(O'; O'A) lớn hơn chứa đường tròn (O;OA)(O; OA)).

c) O′O' nằm giữa AA và OO: OA=OO′+O′AOA = OO' + O'A, suy ra OO′=OA−O′A=R−R′OO' = OA - O'A = R - R' → hai đường tròn tiếp xúc trong tại AA (đường tròn (O;OA)(O; OA) lớn hơn chứa đường tròn (O′;O′A)(O'; O'A)).

Bài 5.27. Cho hai đường tròn (O)(O) và (O′)(O') tiếp xúc ngoài với nhau tại AA. Một đường thẳng qua AA cắt (O)(O) tại BB và cắt (O′)(O') tại CC. Chứng minh rằng OB∥O′COB \parallel O'C.

Lời giải:

Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại AA nên tiếp điểm AA nằm trên đoạn nối tâm, tức ba điểm OO, AA, O′O' thẳng hàng và AA nằm giữa OO và O′O'.

  • Tam giác OABOAB cân tại OO (OA=OB=ROA = OB = R) nên OBA^=OAB^\widehat{OBA} = \widehat{OAB}.
  • Tam giác O′ACO'AC cân tại O′O' (O′A=O′C=R′O'A = O'C = R') nên O′CA^=O′AC^\widehat{O'CA} = \widehat{O'AC}.

Vì BB, AA, CC thẳng hàng và OO, AA, O′O' thẳng hàng nên OAB^\widehat{OAB} và O′AC^\widehat{O'AC} là hai góc đối đỉnh, suy ra OAB^=O′AC^\widehat{OAB} = \widehat{O'AC}.

Do đó OBA^=O′CA^\widehat{OBA} = \widehat{O'CA}. Hai góc này ở vị trí so le trong đối với hai đường thẳng OBOB, O′CO'C và cát tuyến BCBC, nên:

OB∥O′C.■OB \parallel O'C. \qquad \blacksquare