Giải Toán 9 Tập 1 trang 110-113 - Kết nối tri thức

Luyện tập chung

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Gọi $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$ , $N$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O'$ .

a) Chứng minh rằng $M \in (O)$ , $N \in (O')$ và ba điểm $M$ , $B$ , $N$ thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ .

Lời giải:

a) Vì $M$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $OM = OA = R$ , do đó $M \in (O)$ ; tương tự $O'N = O'A = R'$ nên $N \in (O')$ .

$AM$ là đường kính của $(O)$ và $B \in (O)$ nên trung tuyến $BO$ của tam giác $ABM$ bằng $\dfrac{AM}{2}$ , suy ra tam giác $ABM$ vuông tại $B$ , tức $MB \perp AB$ .

Tương tự, $AN$ là đường kính của $(O')$ nên $NB \perp AB$ .

Qua điểm $B$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với $AB$ , vậy $M$ , $B$ , $N$ thẳng hàng. $\blacksquare$

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ — tâm của đường tròn đường kính $AB$ , bán kính $IB = \dfrac{AB}{2}$ .

Đường thẳng $MN$ đi qua $B$ (theo câu a) và $MN \perp AB$ tại $B$ , tức $MN$ vuông góc với bán kính $IB$ tại điểm $B$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ .

Theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, $MN$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ tại $B$ . $\blacksquare$

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn ngoài nhau $(O; R)$ và $(O'; R')$ với $R > R'$ . Đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$ và tiếp xúc với $(O')$ tại $B$ , $O$ và $O'$ nằm cùng phía đối với $d$ ; $d$ cắt đường thẳng $OO'$ tại $P$ .

a) Chứng minh rằng $\dfrac{PO}{R} = \dfrac{PO'}{R'}$ .

b) Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $OO'$ . Chứng minh rằng đường thẳng $PA'$ tiếp xúc với $(O)$ và với $(O')$ .

Lời giải:

a) Theo tính chất tiếp tuyến: $OA \perp d$ và $O'B \perp d$ , suy ra $OA \parallel O'B$ .

Trong tam giác $PAO$ , vì $O'B \parallel OA$ nên theo định lí Thalès:

\frac{PO'}{PO} = \frac{O'B}{OA} = \frac{R'}{R} \implies \frac{PO}{R} = \frac{PO'}{R'}. \qquad \blacksquare

b) Xét phép đối xứng qua trục $OO'$ : phép đối xứng này giữ nguyên các điểm $O$ , $O'$ , $P$ (đều nằm trên trục) và biến $A$ thành $A'$ , do đó biến đường thẳng $PA$ (chính là $d$ ) thành đường thẳng $PA'$ .

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách, nên:

Khoảng cách từ $O$ đến $PA'$ bằng khoảng cách từ $O$ đến $d$ , bằng $R$ → $PA'$ tiếp xúc với $(O)$ ;
Khoảng cách từ $O'$ đến $PA'$ bằng khoảng cách từ $O'$ đến $d$ , bằng $R'$ → $PA'$ tiếp xúc với $(O')$ . $\blacksquare$

Bài tập

Bài 5.28. Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song, điểm $O$ nằm giữa hai đường thẳng, cách $a$ một khoảng $2$ cm và cách $b$ một khoảng $3$ cm.

a) Bán kính $R$ của đường tròn $(O; R)$ phải thoả mãn điều kiện gì để $(O; R)$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$ ?

b) Biết đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ . Xác định vị trí tương đối của $(O; R)$ và đường thẳng $b$ .

Lời giải:

a) Đường tròn cắt một đường thẳng khi bán kính lớn hơn khoảng cách từ tâm đến đường thẳng đó. Để cắt cả $a$ (cách $2$ cm) và $b$ (cách $3$ cm), cần:

R > 2 \text{ và } R > 3 \iff R > 3 \text{ (cm)}.

b) $(O; R)$ tiếp xúc với $a$ nên $R = 2$ cm. Khi đó $R = 2 < 3$ = khoảng cách từ $O$ đến $b$ , vậy đường tròn $(O; 2\text{ cm})$ không giao với đường thẳng $b$ .

Bài 5.29. Đầu kim dài của đồng hồ vạch nên đường tròn $(T_1)$ bán kính $R_1$ , đầu kim ngắn vạch nên $(T_2)$ bán kính $R_2$ ( $R_1 > R_2$ ).

a) Hai đường tròn $(T_1)$ và $(T_2)$ có vị trí tương đối như thế nào?

b) Vẽ họa tiết hình tròn $(T_3)$ có tâm cách trục kim một khoảng $\dfrac{1}{2}R_1$ và bán kính $\dfrac{1}{2}R_2$ . Cho biết vị trí tương đối của $(T_3)$ đối với $(T_1)$ và $(T_2)$ , với $R_1 = 3$ cm, $R_2 = 2$ cm.

Lời giải:

a) Hai kim quay quanh cùng một trục nên $(T_1)$ và $(T_2)$ là hai đường tròn đồng tâm; vì $R_1 > R_2$ nên $(T_1)$ đựng $(T_2)$ .

b) Với $R_1 = 3$ , $R_2 = 2$ : đường tròn $(T_3)$ có tâm cách tâm chung một khoảng $d = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ cm và bán kính $r = 1$ cm.

$(T_3)$ với $(T_1)$ : $R_1 - r = 3 - 1 = 2 > 1{,}5 = d$ → $(T_1)$ đựng $(T_3)$ .
$(T_3)$ với $(T_2)$ : $|R_2 - r| = 1 < 1{,}5 < 3 = R_2 + r$ → $(T_3)$ và $(T_2)$ cắt nhau.

Bài 5.30. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ , tiếp tuyến $xx'$ tại $A$ và tiếp tuyến $yy'$ tại $B$ . Tiếp tuyến thứ ba tại điểm $P$ ( $P$ khác $A$ , $B$ ) cắt $xx'$ tại $M$ và cắt $yy'$ tại $N$ .

a) Chứng minh rằng $MN = MA + NB$ .

b) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt $MN$ tại $Q$ . Chứng minh $Q$ là trung điểm của $MN$ .

c) Chứng minh rằng $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$ .

Lời giải:

a) $MA$ và $MP$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ nên $MA = MP$ ; tương tự $NB = NP$ . Do đó:

MN = MP + PN = MA + NB. \qquad \blacksquare

b) Ta có $xx' \perp AB$ , $yy' \perp AB$ và $OQ \perp AB$ , nên $AM \parallel OQ \parallel BN$ , tức $AMNB$ là hình thang với hai đáy $AM$ , $BN$ .

Đường thẳng $OQ$ đi qua trung điểm $O$ của cạnh bên $AB$ và song song với hai đáy, nên nó cắt cạnh bên còn lại $MN$ tại trung điểm — vậy $Q$ là trung điểm của $MN$ . $\blacksquare$

c) $OQ$ là đường trung bình của hình thang $AMNB$ :

OQ = \frac{AM + BN}{2} = \frac{MP + PN}{2} = \frac{MN}{2}.

Đường tròn đường kính $MN$ có tâm $Q$ và bán kính $\dfrac{MN}{2}$ . Khoảng cách từ $Q$ đến $AB$ chính là $QO$ (vì $QO \perp AB$ ), bằng $\dfrac{MN}{2}$ = bán kính.

Vậy $AB$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $MN$ (tại điểm $O$ ). $\blacksquare$

Bài 5.31. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$ và cùng tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $B$ và $C$ (khác $A$ ), trong đó $B \in (O)$ , $C \in (O')$ . Tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ cắt $BC$ tại $M$ . Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $MA$ tiếp xúc với $(O')$ ;

b) Điểm $M$ là trung điểm của đoạn $BC$ , từ đó suy ra $ABC$ là tam giác vuông.

Lời giải:

a) Vì hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$ nên $O$ , $A$ , $O'$ thẳng hàng.

$MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ nên $MA \perp OA$ , suy ra $MA \perp O'A$ (vì $O'A$ nằm trên đường thẳng $OA$ ).

$MA$ đi qua điểm $A \in (O')$ và vuông góc với bán kính $O'A$ , vậy $MA$ là tiếp tuyến của $(O')$ . $\blacksquare$

b) $MB$ và $MA$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ cắt nhau tại $M$ → $MB = MA$ .

$MC$ và $MA$ là hai tiếp tuyến của $(O')$ cắt nhau tại $M$ → $MC = MA$ .

Suy ra $MB = MC$ , tức $M$ là trung điểm của $BC$ .

Trong tam giác $ABC$ , trung tuyến $AM = MB = \dfrac{BC}{2}$ (bằng nửa cạnh $BC$ ), nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . $\blacksquare$

Em có biết? — Vẽ chắp nối trơn

Hai kết luận cơ bản của chắp nối trơn:

Đoạn thẳng chắp nối trơn với cung tròn khi đoạn thẳng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tại điểm chắp nối.
Hai cung tròn chắp nối trơn với nhau khi hai đường tròn chứa chúng tiếp xúc nhau tại điểm chắp nối.

Trong hình "trái xoan": tâm của hai cung liên tiếp luôn thẳng hàng với điểm chắp nối (ví dụ $K$ , $B$ , $F$ thẳng hàng), nên hai đường tròn chứa hai cung tiếp xúc nhau tại điểm chắp nối — vì vậy các cung được chắp nối trơn, đường viền không bị "gãy". Điều tương tự đúng cho cả bốn điểm chắp nối $A$ , $B$ , $C$ , $D$ của hình.