Trang 13 — Giải Hệ Hai Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Bài tập

HĐ1

Cho hệ phương trình

{x+y=32x−3y=1\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}

Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:

  1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn yy theo xx rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình với một ẩn xx. Giải phương trình một ẩn đó để tìm giá trị của xx.
  2. Sử dụng giá trị tìm được của xx để tìm giá trị của yy rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lời giải:

  1. Biểu diễn yy theo xx từ phương trình thứ nhất:
y=3−xy = 3 - x

Thế y=3−xy = 3 - x vào phương trình thứ hai:

2x−3(3−x)=12x - 3(3 - x) = 1

Giải phương trình:

2x−9+3x=15x−9=15x=10x=2\begin{aligned} 2x - 9 + 3x &= 1 \\ 5x - 9 &= 1 \\ 5x &= 10 \\ x &= 2 \end{aligned}
  1. Tìm giá trị của yy:
y=3−2=1y = 3 - 2 = 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;1)(2; 1).

Kết quả: (2;1)(2; 1)

Ví dụ 1

Giải hệ phương trình

{2x−y=3x+2y=4\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases}

bằng phương pháp thế.

Lời giải: Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:

y=2x−3y = 2x - 3

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

x+2(2x−3)=4x + 2(2x - 3) = 4

hay

x+4x−6=45x−6=45x=10x=2\begin{aligned} x + 4x - 6 &= 4 \\ 5x - 6 &= 4 \\ 5x &= 10 \\ x &= 2 \end{aligned}

Từ đó y=2⋅2−3=1y = 2 \cdot 2 - 3 = 1. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;1)(2; 1).

Kết quả: (2;1)(2; 1)

Trang 14 — Giải hệ phương trình

Luyện tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) {x−3y=2−2x+5y=1;\begin{cases} x-3y=2 \\ -2x+5y=1; \end{cases}

Lời giải:

  • Từ phương trình thứ nhất ta có x=3y+2.x = 3y + 2.
  • Thế vào phương trình thứ hai, ta được: −2(3y+2)+5y=1-2(3y + 2) + 5y = 1   ⟺  −6y−4+5y=1\iff -6y - 4 + 5y = 1   ⟺  −y=5  ⟺  y=−5.\iff -y = 5 \iff y = -5.
  • Với y=−5,y = -5, ta có x=3(−5)+2=−15+2=−13.x = 3(-5) + 2 = -15 + 2 = -13.

Kết quả: (x;y)=(−13;−5)(x;y)=(-13;-5)

b) {4x+y=−17x+2y=−3.\begin{cases} 4x+y=-1 \\ 7x+2y=-3. \end{cases}

Lời giải:

  • Từ phương trình thứ nhất ta có y=−4x−1.y = -4x - 1.
  • Thế vào phương trình thứ hai, ta được: 7x+2(−4x−1)=−37x + 2(-4x - 1) = -3   ⟺  7x−8x−2=−3\iff 7x - 8x - 2 = -3   ⟺  −x=−1  ⟺  x=1.\iff -x = -1 \iff x = 1.
  • Với x=1,x = 1, ta có y=−4(1)−1=−5.y = -4(1) - 1 = -5.

Kết quả: (x;y)=(1;−5)(x;y)=(1;-5)

Ví dụ 2

Giải hệ phương trình {x−y=−22x−2y=8\begin{cases} x-y=-2 \\ 2x-2y=8 \end{cases} bằng phương pháp thế.

Lời giải:

  • Từ phương trình thứ nhất ta có x=y−2.x = y - 2.
  • Thế vào phương trình thứ hai, ta được: 2(y−2)−2y=82(y - 2) - 2y = 8   ⟺  2y−4−2y=8\iff 2y - 4 - 2y = 8   ⟺  0y−4=8  ⟺  0y=12.\iff 0y - 4 = 8 \iff 0y = 12.
  • Do không có giá trị nào của yy thỏa mãn hệ thức trên nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm.

Luyện tập 2

Giải hệ phương trình {−2x+y=34x−2y=−4\begin{cases} -2x+y=3 \\ 4x-2y=-4 \end{cases} bằng phương pháp thế.

Lời giải:

  • Từ phương trình thứ nhất ta có y=2x+3.y = 2x + 3.
  • Thế vào phương trình thứ hai, ta được: 4x−2(2x+3)=−44x - 2(2x + 3) = -4   ⟺  4x−4x−6=−4\iff 4x - 4x - 6 = -4   ⟺  0x−6=−4  ⟺  0x=2.\iff 0x - 6 = -4 \iff 0x = 2.
  • Do không có giá trị nào của xx thỏa mãn hệ thức trên nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm.

Ví dụ 3

Giải hệ phương trình {−x+y=−23x−3y=6\begin{cases} -x+y=-2 \\ 3x-3y=6 \end{cases} bằng phương pháp thế.

Lời giải:

  • Từ phương trình thứ nhất ta có y=x−2.y = x - 2.

  • Thế vào phương trình thứ hai, ta được: 3x−3(x−2)=63x - 3(x - 2) = 6   ⟺  3x−3x+6=6\iff 3x - 3x + 6 = 6   ⟺  0x+6=6  ⟺  0x=0.\iff 0x + 6 = 6 \iff 0x = 0.

  • Ta thấy mọi giá trị của xx đều thỏa mãn.

  • Với giá trị tùy ý của x,x, giá trị tương ứng của yy được tính bởi y=x−2.y = x - 2.

  • Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x;x−2)(x; x - 2) với x∈Rx \in \mathbb{R} tùy ý.

Kết quả: Vô số nghiệm (x;x−2)(x; x - 2) với x∈Rx \in \mathbb{R}.

Luyện tập 3

Giải hệ phương trình {x+3y=−13x+9y=−3\begin{cases} x+3y=-1 \\ 3x+9y=-3 \end{cases} bằng phương pháp thế.

Lời giải:

  • Từ phương trình thứ nhất ta có x=−3y−1.x = -3y - 1.

  • Thế vào phương trình thứ hai, ta được: 3(−3y−1)+9y=−33(-3y - 1) + 9y = -3   ⟺  −9y−3+9y=−3\iff -9y - 3 + 9y = -3   ⟺  0y−3=−3  ⟺  0y=0.\iff 0y - 3 = -3 \iff 0y = 0.

  • Ta thấy mọi giá trị của yy đều thỏa mãn.

  • Với giá trị tùy ý của y,y, giá trị tương ứng của xx được tính bởi x=−3y−1.x = -3y - 1.

  • Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (−3y−1;y)(-3y - 1; y) với y∈Ry \in \mathbb{R} tùy ý.

Kết quả: Vô số nghiệm (−3y−1;y)(-3y - 1; y) với y∈Ry \in \mathbb{R}.

Vận dụng 1

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi xx là số luống trong vườn, yy là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x,y∈N∗).(x,y \in \mathbb{N}^*).

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn x,y.x,y.

Lời giải:

  • Số cây cải bắp trong vườn là xy.xy.
  • Nếu tăng thêm 22 luống, tức là có x+2x + 2 luống, và mỗi luống giảm 22 cây, tức là mỗi luống có y−2y - 2 cây.
    • Số cây cải bắp trong vườn là (x+2)(y−2)(x + 2)(y - 2) và khi đó số cây cải bắp giảm đi 3232 cây, nên ta có: (x+2)(y−2)=xy−32.(x + 2)(y - 2) = xy - 32.   ⟺  xy−2x+2y−4=xy−32\iff xy - 2x + 2y - 4 = xy - 32   ⟺  −2x+2y=−28\iff -2x + 2y = -28   ⟺  −x+y=−14.\iff -x + y = -14.
  • Nếu giảm đi 11 luống, tức là có x−1x - 1 luống, và mỗi luống tăng 11 cây, tức là mỗi luống có y+1y + 1 cây.
    • Số cây cải bắp trong vườn là (x−1)(y+1)(x - 1)(y + 1) và khi đó số cây cải bắp tăng thêm 2929 cây, nên ta có: (x−1)(y+1)=xy+29.(x - 1)(y + 1) = xy + 29.   ⟺  xy+x−y−1=xy+29\iff xy + x - y - 1 = xy + 29   ⟺  x−y=30.\iff x - y = 30.
  • Từ đó, ta có hệ phương trình: {−x+y=−14x−y=30.\begin{cases} -x+y=-14 \\ x-y=30 \end{cases}.

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.

Lời giải:

  • Từ phương trình thứ nhất ta có y=x−14.y = x - 14.
  • Thế vào phương trình thứ hai, ta được: x−(x−14)=30x - (x - 14) = 30   ⟺  14=30.\iff 14 = 30. (Vô lý)

Do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm.