Vận dụng 2 (trang 16)

Pha chế 22 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%10\% từ dung dịch nồng độ 20%20\% (thể tích xx ml) và dung dịch nồng độ 5%5\% (thể tích yy ml).

Lời giải:

a) Đổi 22 lít =2 000= 2\,000 ml.

  • Thể tích dung dịch 10%10\% thu được: x+y=2 000x + y = 2\,000 (ml).
  • Tổng lượng acid HCl nguyên chất: 0,2x+0,05y=0,1⋅2 000=2000{,}2x + 0{,}05y = 0{,}1 \cdot 2\,000 = 200 (ml).

b) Ta có hệ phương trình:

{x+y=2 0000,2x+0,05y=200\begin{cases} x + y = 2\,000 \\ 0{,}2x + 0{,}05y = 200 \end{cases}

Từ phương trình thứ nhất y=2 000−xy = 2\,000 - x, thế vào phương trình thứ hai:

0,2x+0,05(2 000−x)=200  ⟺  0,15x+100=200  ⟺  x=2 0003≈666,7.0{,}2x + 0{,}05(2\,000 - x) = 200 \iff 0{,}15x + 100 = 200 \iff x = \frac{2\,000}{3} \approx 666{,}7.

Suy ra y=2 000−2 0003=4 0003≈1 333,3y = 2\,000 - \dfrac{2\,000}{3} = \dfrac{4\,000}{3} \approx 1\,333{,}3.

Vậy cần khoảng 666,7666{,}7 ml dung dịch 20%20\% và 1 333,31\,333{,}3 ml dung dịch 5%5\%.

Bài tập

Bài 1.6. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) {x−y=33x−4y=2\begin{cases} x - y = 3 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases}; b) {7x−3y=134x+y=2\begin{cases} 7x - 3y = 13 \\ 4x + y = 2 \end{cases}; c) {0,5x−1,5y=1−x+3y=2\begin{cases} 0{,}5x - 1{,}5y = 1 \\ -x + 3y = 2 \end{cases}.

Lời giải:

a) Từ phương trình đầu x=y+3x = y + 3; thế vào phương trình sau: 3(y+3)−4y=2  ⟺  −y+9=2  ⟺  y=73(y + 3) - 4y = 2 \iff -y + 9 = 2 \iff y = 7, suy ra x=10x = 10. Nghiệm (10;7)(10; 7).

b) Từ phương trình sau y=2−4xy = 2 - 4x; thế vào phương trình đầu: 7x−3(2−4x)=13  ⟺  19x−6=13  ⟺  x=17x - 3(2 - 4x) = 13 \iff 19x - 6 = 13 \iff x = 1, suy ra y=−2y = -2. Nghiệm (1;−2)(1; -2).

c) Từ phương trình sau x=3y−2x = 3y - 2; thế vào phương trình đầu: 0,5(3y−2)−1,5y=1  ⟺  1,5y−1−1,5y=1  ⟺  −1=10{,}5(3y - 2) - 1{,}5y = 1 \iff 1{,}5y - 1 - 1{,}5y = 1 \iff -1 = 1 (vô lí). Hệ vô nghiệm.

Bài 1.7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) {3x+2y=62x−2y=14\begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ 2x - 2y = 14 \end{cases}; b) {0,3x+0,5y=31,5x−2y=1,5\begin{cases} 0{,}3x + 0{,}5y = 3 \\ 1{,}5x - 2y = 1{,}5 \end{cases}; c) {−2x+6y=83x−9y=−12\begin{cases} -2x + 6y = 8 \\ 3x - 9y = -12 \end{cases}.

Lời giải:

a) Cộng từng vế hai phương trình: 5x=20  ⟺  x=45x = 20 \iff x = 4; thay vào 2x−2y=142x - 2y = 14: 8−2y=14  ⟺  y=−38 - 2y = 14 \iff y = -3. Nghiệm (4;−3)(4; -3).

b) Nhân phương trình đầu với 44: 1,2x+2y=121{,}2x + 2y = 12; cộng với phương trình sau: 2,7x=13,5  ⟺  x=52{,}7x = 13{,}5 \iff x = 5; thay vào 0,3x+0,5y=30{,}3x + 0{,}5y = 3: 1,5+0,5y=3  ⟺  y=31{,}5 + 0{,}5y = 3 \iff y = 3. Nghiệm (5;3)(5; 3).

c) Chia phương trình đầu cho 22: −x+3y=4-x + 3y = 4; chia phương trình sau cho 33: x−3y=−4x - 3y = -4. Cộng từng vế: 0=00 = 0 (luôn đúng). Hệ có vô số nghiệm: {x∈Ry=x+43\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \dfrac{x + 4}{3} \end{cases}.

Bài 1.8. Cho hệ phương trình {2x−y=−3−2m2x+9y=3(m+3)\begin{cases} 2x - y = -3 \\ -2m^2 x + 9y = 3(m + 3) \end{cases} (mm là số đã cho). Giải hệ trong mỗi trường hợp:

a) m=−2m = -2; b) m=−3m = -3; c) m=3m = 3.

Lời giải:

a) m=−2m = -2: −2m2=−8-2m^2 = -8; 3(m+3)=33(m + 3) = 3. Hệ: {2x−y=−3−8x+9y=3\begin{cases} 2x - y = -3 \\ -8x + 9y = 3 \end{cases}. Từ phương trình đầu y=2x+3y = 2x + 3; thế vào: −8x+9(2x+3)=3  ⟺  10x+27=3  ⟺  x=−2,4-8x + 9(2x + 3) = 3 \iff 10x + 27 = 3 \iff x = -2{,}4, suy ra y=−1,8y = -1{,}8. Nghiệm (−2,4;−1,8)(-2{,}4; -1{,}8).

b) m=−3m = -3: −2m2=−18-2m^2 = -18; 3(m+3)=03(m + 3) = 0. Phương trình sau: −18x+9y=0  ⟺  −2x+y=0-18x + 9y = 0 \iff -2x + y = 0. Kết hợp 2x−y=−32x - y = -3 (tức −2x+y=3-2x + y = 3): 0=30 = 3 (vô lí). Hệ vô nghiệm.

c) m=3m = 3: −2m2=−18-2m^2 = -18; 3(m+3)=183(m + 3) = 18. Phương trình sau: −18x+9y=18  ⟺  −2x+y=2-18x + 9y = 18 \iff -2x + y = 2. Kết hợp −2x+y=3-2x + y = 3: 2=32 = 3 (vô lí). Hệ vô nghiệm.

Bài 1.9. Dùng máy tính cầm tay thích hợp để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) {12x−5y+24=0−5x−3y−10=0\begin{cases} 12x - 5y + 24 = 0 \\ -5x - 3y - 10 = 0 \end{cases}; b) {13x−y=23x−3y=2\begin{cases} \dfrac{1}{3}x - y = \dfrac{2}{3} \\ x - 3y = 2 \end{cases}; c) {3x−2y=1−x+23y=0\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ -x + \dfrac{2}{3}y = 0 \end{cases}; d) {49x−35y=1129x+15y=−2\begin{cases} \dfrac{4}{9}x - \dfrac{3}{5}y = 11 \\ \dfrac{2}{9}x + \dfrac{1}{5}y = -2 \end{cases}.

Lời giải:

a) Viết lại {12x−5y=−24−5x−3y=10\begin{cases} 12x - 5y = -24 \\ -5x - 3y = 10 \end{cases}; máy cho x=−2x = -2, y=0y = 0. Nghiệm (−2;0)(-2; 0).

b) Nhân phương trình đầu với 33: x−3y=2x - 3y = 2 — trùng phương trình sau. Hệ có vô số nghiệm: {x∈Ry=x−23\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \dfrac{x - 2}{3} \end{cases}.

c) Từ phương trình sau x=23yx = \dfrac{2}{3}y; thế vào phương trình đầu: 3⋅23y−2y=1  ⟺  0=13 \cdot \dfrac{2}{3}y - 2y = 1 \iff 0 = 1 (vô lí). Hệ vô nghiệm.

d) Nhân hai phương trình với 4545: {20x−27y=49510x+9y=−90\begin{cases} 20x - 27y = 495 \\ 10x + 9y = -90 \end{cases}; máy cho x=4,5x = 4{,}5, y=−15y = -15. Nghiệm (4,5;−15)(4{,}5; -15).

Em có biết — Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp hình học (đọc thêm)

Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=cax + by = c tạo thành một đường thẳng Δ ⁣:ax+by=c\Delta\colon ax + by = c. Nghiệm của hệ {ax+by=ca′x+b′y=c′\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} ứng với giao điểm của hai đường thẳng Δ\Delta và Δ′\Delta'. Có ba trường hợp: hai đường cắt nhau (một nghiệm duy nhất); song song (vô nghiệm); trùng nhau (vô số nghiệm).

Ví dụ 1. Giải hệ {2x−y=3x+2y=4\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases} bằng phương pháp hình học.

Lời giải: Vẽ đường thẳng 2x−y=32x - y = 3 qua A(0;−3)A(0; -3) và B(1;−1)B(1; -1); vẽ đường thẳng x+2y=4x + 2y = 4 qua C(0;2)C(0; 2) và D(4;0)D(4; 0). Hai đường thẳng cắt nhau tại M(2;1)M(2; 1), nên hệ có nghiệm duy nhất (2;1)(2; 1).

Ví dụ 2. Xét hệ {−x+y=2−2x+2y=8\begin{cases} -x + y = 2 \\ -2x + 2y = 8 \end{cases}.

Lời giải: Đường thẳng −x+y=2-x + y = 2 là đồ thị hàm số y=x+2y = x + 2; đường thẳng −2x+2y=8-2x + 2y = 8 là đồ thị hàm số y=x+4y = x + 4. Hai đường thẳng phân biệt, cùng hệ số góc 11 nên song song. Hệ vô nghiệm.

Ví dụ 3. Xét hệ {−x+y=2−2x+2y=4\begin{cases} -x + y = 2 \\ -2x + 2y = 4 \end{cases}.

Lời giải: Cả hai đường thẳng đều là đồ thị hàm số y=x+2y = x + 2 nên trùng nhau. Hệ có vô số nghiệm.

Luyện tập chung (trang 19)

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình {0,5x+0,6y=0,40,4x−0,9y=1,7\begin{cases} 0{,}5x + 0{,}6y = 0{,}4 \\ 0{,}4x - 0{,}9y = 1{,}7 \end{cases}.

Lời giải: Nhân hai vế mỗi phương trình với 1010: {5x+6y=44x−9y=17\begin{cases} 5x + 6y = 4 \\ 4x - 9y = 17 \end{cases}. Nhân phương trình đầu với 33, phương trình sau với 22: {15x+18y=128x−18y=34\begin{cases} 15x + 18y = 12 \\ 8x - 18y = 34 \end{cases}. Cộng từng vế: 23x=46  ⟺  x=223x = 46 \iff x = 2; thay vào 5x+6y=45x + 6y = 4: 10+6y=4  ⟺  y=−110 + 6y = 4 \iff y = -1. Nghiệm (2;−1)(2; -1).

Ví dụ 2. Tìm các hệ số xx, yy trong phản ứng hóa học đã cân bằng: 3Fe+xO2→yFe3O43\text{Fe} + x\text{O}_2 \to y\text{Fe}_3\text{O}_4.

Lời giải: Cân bằng số nguyên tử Fe và O ở hai vế: {3=3y2x=4y\begin{cases} 3 = 3y \\ 2x = 4y \end{cases}, suy ra y=1y = 1 và x=2y=2x = 2y = 2. Vậy phản ứng là 3Fe+2O2→Fe3O43\text{Fe} + 2\text{O}_2 \to \text{Fe}_3\text{O}_4.

Ví dụ 3. Tìm hai số aa và bb để đường thẳng y=ax+by = ax + b đi qua hai điểm A(−2;−1)A(-2; -1) và B(2;3)B(2; 3).

Lời giải: Đường thẳng đi qua A(−2;−1)A(-2; -1): −2a+b=−1-2a + b = -1; đi qua B(2;3)B(2; 3): 2a+b=32a + b = 3. Cộng từng vế: 2b=2  ⟺  b=12b = 2 \iff b = 1; thay vào 2a+b=32a + b = 3: 2a+1=3  ⟺  a=12a + 1 = 3 \iff a = 1. Vậy a=1a = 1, b=1b = 1 (đường thẳng y=x+1y = x + 1).