Trang này không có bài tập, chỉ có ví dụ.

Trang này có 3 ví dụ (Vıˊ dụ 1\text{Ví dụ 1}, Vıˊ dụ 2\text{Ví dụ 2}, Vıˊ dụ 3\text{Ví dụ 3}) giúp minh họa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cách giải bằng phương pháp đồ thị.

Dưới đây là nội dung các ví dụ:

Ví dụ 1

Đề bài: Để giải hệ phương trình {2x−y=3x+2y=4\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \end{cases}, ta làm như sau (H.1.4):

  • Vẽ đường thẳng 2x−y=32x - y = 3 qua hai điểm A(0;−3)A(0; -3) và B(1;−1)B(1; -1).
  • Vẽ đường thẳng x+2y=4x + 2y = 4 qua hai điểm C(0;2)C(0; 2) và D(4;0)D(4; 0).

Hai đường thẳng cắt nhau tại M(2;1)M(2; 1) nên (2;1)(2; 1) là nghiệm duy nhất của hệ đã cho.

Lời giải:

  • Vẽ đồ thị:

    • Đường thẳng 2x−y=32x - y = 3 đi qua A(0;−3)A(0; -3) và B(1;−1)B(1; -1).
    • Đường thẳng x+2y=4x + 2y = 4 đi qua C(0;2)C(0; 2) và D(4;0)D(4; 0).

  • Hai đường thẳng cắt nhau tại M(2;1)M(2; 1).

  • Kiểm tra:

    • Thay x=2,y=1x = 2, y = 1 vào hệ phương trình:
{2(2)−1=32+2(1)=4⇔{4−1=32+2=4⇔{3=34=4\begin{cases} 2(2) - 1 = 3 \\ 2 + 2(1) = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4 - 1 = 3 \\ 2 + 2 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 = 3 \\ 4 = 4 \end{cases}

Kết quả: (2;1)(2; 1)

Ví dụ 2

Đề bài: Xét hệ phương trình {−x+y=2−2x+2y=8\begin{cases} -x + y = 2 \\ -2x + 2y = 8 \end{cases}, ta thấy đường thẳng d1:−x+y=2d_1: -x + y = 2 là đồ thị của hàm số y=x+2y = x + 2; đường thẳng d2:−2x+2y=8d_2: -2x + 2y = 8 là đồ thị của hàm số y=x+4y = x + 4 (H.1.5).

Hai đường thẳng d1d_1 và d2d_2 phân biệt và có cùng hệ số góc là 11 nên chúng song song với nhau. Do đó, hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải:

  • Đường thẳng d1:−x+y=2⇒y=x+2d_1: -x + y = 2 \Rightarrow y = x + 2 có hệ số góc a1=1a_1 = 1 và b1=2b_1 = 2.

  • Đường thẳng d2:−2x+2y=8⇒y=x+4d_2: -2x + 2y = 8 \Rightarrow y = x + 4 có hệ số góc a2=1a_2 = 1 và b2=4b_2 = 4.

  • Vì a1=a2=1a_1 = a_2 = 1 và b1≠b2b_1 \ne b_2 nên d1d_1 song song với d2d_2.

  • Kết luận: Hệ phương trình vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm

Ví dụ 3

Đề bài: Xét hệ phương trình {−x+y=2−2x+2y=4\begin{cases} -x + y = 2 \\ -2x + 2y = 4 \end{cases}, ta thấy hai đường thẳng −x+y=2-x + y = 2 và −2x+2y=4-2x + 2y = 4 cùng là đồ thị của hàm số y=x+2y = x + 2 nên chúng trùng nhau. Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Lời giải:

  • Đường thẳng d1:−x+y=2⇒y=x+2d_1: -x + y = 2 \Rightarrow y = x + 2.

  • Đường thẳng d2:−2x+2y=4⇒y=x+2d_2: -2x + 2y = 4 \Rightarrow y = x + 2.

  • Ta thấy d1d_1 và d2d_2 có phương trình giống nhau.

  • Kết luận: Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Kết quả: Vô số nghiệm

Kết luận: Trang này không có bài tập, chỉ có các ví dụ minh họa.

Trang 19 — Luyện tập chung

Ví dụ 1

Giải hệ phương trình

{0.5x+0.6y=0.40.4x−0.9y=1.7\begin{cases} 0.5x + 0.6y = 0.4 \\ 0.4x - 0.9y = 1.7 \end{cases}

Lời giải:

Nhân hai vế của mỗi phương trình với 10, ta được:

{5x+6y=4(1)4x−9y=17(2)\begin{cases} 5x + 6y = 4 \quad (1) \\ 4x - 9y = 17 \quad (2) \end{cases}

Ta giải hệ (1)(1). Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 33 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 22, ta được hệ:

{15x+18y=12(3)8x−18y=34(4)\begin{cases} 15x + 18y = 12 \quad (3) \\ 8x - 18y = 34 \quad (4) \end{cases}

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ (2)(2) ta được 23x=4623x = 46, suy ra x=2x = 2.

Thế x=2x=2 vào phương trình thứ nhất của (1)(1), ta được 5⋅2+6y=45 \cdot 2 + 6y = 4 hay 6y=−66y = -6, suy ra y=−1y=-1.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;−1)(2; -1).

Kết quả: (2;−1)(2; -1)

Ví dụ 2

Tìm các hệ số x,yx, y trong phản ứng hoá học đã được cân bằng sau: 3Fe+xO2→yFe3O43Fe + xO_2 \to yFe_3O_4.

Lời giải:

Vì số nguyên tử của FeFe và OO ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình

{3=3y2x=4yhay{y=1x=2y\begin{cases} 3 = 3y \\ 2x = 4y \end{cases} \quad \text{hay} \quad \begin{cases} y = 1 \\ x = 2y \end{cases}

Giải hệ này ta được x=2,y=1x = 2, y = 1.

Ví dụ 3

Tìm hai số aa và bb để đường thẳng y=ax+by = ax + b đi qua hai điểm A(−2;−1)A(-2; -1) và B(2;3)B(2; 3).

Lời giải:

Đường thẳng y=ax+by = ax + b đi qua điểm A(−2;−1)A(-2; -1) nên a(−2)+b=−1a(-2) + b = -1 hay −2a+b=−1-2a + b = -1.

Tương tự, đường thẳng y=ax+by = ax + b đi qua điểm B(2;3)B(2; 3) nên a⋅2+b=3a \cdot 2 + b = 3 hay 2a+b=32a + b = 3.

Ta có hệ phương trình

{−2a+b=−12a+b=3\begin{cases} -2a + b = -1 \\ 2a + b = 3 \end{cases}

Cộng hai phương trình của hệ ta có 2b=22b = 2, suy ra b=1b = 1.

Thế b=1b=1 vào phương trình thứ hai của hệ, ta có 2a+1=32a+1=3, suy ra 2a=22a=2 hay a=1a=1.

Vậy a=1a=1 và b=1b=1.

Trang 22 — Chương I: Phương trình và hệ phương trình

Bài 1.10. Cho hai phương trình:

−2x+5y=7;(1)-2x + 5y = 7; \quad (1) 4x−3y=7.(2)4x - 3y = 7. \quad (2)

Trong các cặp số (2;0),(1;−1),(−1;1),(−1;6),(4;3)(2; 0), (1; -1), (-1; 1), (-1; 6), (4; 3) và (−2;−5)(-2; -5), cặp số nào là:

a) Nghiệm của phương trình (1)(1)?

b) Nghiệm của phương trình (2)(2)?

c) Nghiệm của hệ gồm phương trình (1)(1) và phương trình (2)(2)?

Lời giải:

a) Nghiệm của phương trình (1)(1)

Thay các cặp số vào phương trình (1)(1):

  • Với (2;0)(2; 0): −2(2)+5(0)=−4≠7-2(2) + 5(0) = -4 \neq 7 (không thỏa mãn).
  • Với (1;−1)(1; -1): −2(1)+5(−1)=−7≠7-2(1) + 5(-1) = -7 \neq 7 (không thỏa mãn).
  • Với (−1;1)(-1; 1): −2(−1)+5(1)=7-2(-1) + 5(1) = 7 (thỏa mãn).
  • Với (−1;6)(-1; 6): −2(−1)+5(6)=32≠7-2(-1) + 5(6) = 32 \neq 7 (không thỏa mãn).
  • Với (4;3)(4; 3): −2(4)+5(3)=7-2(4) + 5(3) = 7 (thỏa mãn).
  • Với (−2;−5)(-2; -5): −2(−2)+5(−5)=−21≠7-2(-2) + 5(-5) = -21 \neq 7 (không thỏa mãn).

Vậy các cặp số (−1;1)(-1; 1) và (4;3)(4; 3) là nghiệm của phương trình (1)(1).

b) Nghiệm của phương trình (2)(2)

Thay các cặp số vào phương trình (2)(2):

  • Với (2;0)(2; 0): 4(2)−3(0)=8≠74(2) - 3(0) = 8 \neq 7 (không thỏa mãn).
  • Với (1;−1)(1; -1): 4(1)−3(−1)=74(1) - 3(-1) = 7 (thỏa mãn).
  • Với (−1;1)(-1; 1): 4(−1)−3(1)=−7≠74(-1) - 3(1) = -7 \neq 7 (không thỏa mãn).
  • Với (−1;6)(-1; 6): 4(−1)−3(6)=−22≠74(-1) - 3(6) = -22 \neq 7 (không thỏa mãn).
  • Với (4;3)(4; 3): 4(4)−3(3)=74(4) - 3(3) = 7 (thỏa mãn).
  • Với (−2;−5)(-2; -5): 4(−2)−3(−5)=74(-2) - 3(-5) = 7 (thỏa mãn).

Vậy các cặp số (1;−1),(4;3)(1; -1), (4; 3) và (−2;−5)(-2; -5) là nghiệm của phương trình (2)(2).

c) Nghiệm của hệ gồm phương trình (1)(1) và (2)(2)

Dựa vào kết quả trên:

  • Chỉ có cặp số (4;3)(4; 3) thỏa mãn cả hai phương trình.

Kết quả:

  • a) (−1;1),(4;3)(-1; 1), (4; 3)
  • b) (1;−1),(4;3),(−2;−5)(1; -1), (4; 3), (-2; -5)
  • c) (4;3)(4; 3)

Bài 1.11. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a){2x−y=1x−2y=−1;\text{a)} \quad \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x - 2y = -1; \end{cases} b){0,5x−0,5y=0,51,2x−1,2y=1,2;\text{b)} \quad \begin{cases} 0,5x - 0,5y = 0,5 \\ 1,2x - 1,2y = 1,2; \end{cases} c){x+3y=−25x−4y=28.\text{c)} \quad \begin{cases} x + 3y = -2 \\ 5x - 4y = 28. \end{cases}

Lời giải:

a)

{2x−y=1x−2y=−1;\begin{cases} 2x - y = 1 \\ x - 2y = -1; \end{cases}

Từ phương trình thứ nhất: y=2x−1y = 2x - 1.

Thay vào phương trình thứ hai:

x−2(2x−1)=−1x - 2(2x - 1) = -1 x−4x+2=−1x - 4x + 2 = -1 −3x=−3-3x = -3 x=1x = 1 y=2(1)−1=1y = 2(1) - 1 = 1

Vậy nghiệm của hệ là (1;1)(1; 1).

b)

{0,5x−0,5y=0,51,2x−1,2y=1,2;\begin{cases} 0,5x - 0,5y = 0,5 \\ 1,2x - 1,2y = 1,2; \end{cases}

Chia phương trình thứ nhất cho 0.50.5, phương trình thứ hai cho 1.21.2:

{x−y=1x−y=1;\begin{cases} x - y = 1 \\ x - y = 1; \end{cases}

Hai phương trình tương đương, nên hệ có vô số nghiệm.

c)

{x+3y=−25x−4y=28.\begin{cases} x + 3y = -2 \\ 5x - 4y = 28. \end{cases}

Từ phương trình thứ nhất: x=−2−3yx = -2 - 3y.

Thay vào phương trình thứ hai:

5(−2−3y)−4y=285(-2 - 3y) - 4y = 28 −10−15y−4y=28-10 - 15y - 4y = 28 −19y=38-19y = 38 y=−2y = -2 x=−2−3(−2)=4x = -2 - 3(-2) = 4

Vậy nghiệm của hệ là (4;−2)(4; -2).

Kết quả:

  • a) (1;1)(1; 1)
  • b) Vô số nghiệm
  • c) (4;−2)(4; -2)

Bài 1.12. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a){5x+7y=−13x+2y=−5;\text{a)} \quad \begin{cases} 5x + 7y = -1 \\ 3x + 2y = -5; \end{cases} b){2x−3y=11−0,8x+1,2y=1;\text{b)} \quad \begin{cases} 2x - 3y = 11 \\ -0,8x + 1,2y = 1; \end{cases} c){4x−3y=60,4x+0,2y=0,8.\text{c)} \quad \begin{cases} 4x - 3y = 6 \\ 0,4x + 0,2y = 0,8. \end{cases}

Lời giải:

a)

{5x+7y=−13x+2y=−5;\begin{cases} 5x + 7y = -1 \\ 3x + 2y = -5; \end{cases}

Nhân phương trình thứ nhất với 22, phương trình thứ hai với −7-7:

{10x+14y=−2−21x−14y=35;\begin{cases} 10x + 14y = -2 \\ -21x - 14y = 35; \end{cases}

Cộng hai phương trình:

−11x=33-11x = 33 x=−3x = -3 5(−3)+7y=−15(-3) + 7y = -1 −15+7y=−1-15 + 7y = -1 7y=147y = 14 y=2y = 2

Vậy nghiệm của hệ là (−3;2)(-3; 2).

b)

{2x−3y=11−0,8x+1,2y=1;\begin{cases} 2x - 3y = 11 \\ -0,8x + 1,2y = 1; \end{cases}

Nhân phương trình thứ nhất với 0.40.4, phương trình thứ hai với 22:

{0,8x−1,2y=4,4−1,6x+2,4y=2;\begin{cases} 0,8x - 1,2y = 4,4 \\ -1,6x + 2,4y = 2; \end{cases}

Cộng hai phương trình:

0=6.40 = 6.4

Hệ vô nghiệm.

c)

{4x−3y=60,4x+0,2y=0,8.\begin{cases} 4x - 3y = 6 \\ 0,4x + 0,2y = 0,8. \end{cases}

Nhân phương trình thứ hai với 1010:

{4x−3y=64x+2y=8.\begin{cases} 4x - 3y = 6 \\ 4x + 2y = 8. \end{cases}

Trừ hai phương trình:

−5y=−2-5y = -2 y=25y = \frac{2}{5} 4x−3(25)=64x - 3(\frac{2}{5}) = 6 4x−65=64x - \frac{6}{5} = 6 4x=6+654x = 6 + \frac{6}{5} 4x=3654x = \frac{36}{5} x=95x = \frac{9}{5}

Vậy nghiệm của hệ là (95;25)(\frac{9}{5}; \frac{2}{5}).

Kết quả:

  • a) (−3;2)(-3; 2)
  • b) Vô nghiệm
  • c) (95;25)(\frac{9}{5}; \frac{2}{5})

Bài 1.13. Tìm các hệ số x,yx, y trong phản ứng hóa học đã được cân bằng sau:

4Al+xO2→yAl2O3.4 \text{Al} + x \text{O}_2 \rightarrow y \text{Al}_2 \text{O}_3.

Lời giải:

Cân bằng phản ứng hóa học:

4Al+3O2→2Al2O3.4 \text{Al} + 3 \text{O}_2 \rightarrow 2 \text{Al}_2 \text{O}_3.

So sánh hệ số:

x=3,y=2.x = 3, \quad y = 2.

Kết quả: x=3,y=2x = 3, y = 2

Bài 1.14. Tìm aa và bb sao cho hệ phương trình

{ax+by=1ax+(b−2)y=3\begin{cases} ax + by = 1 \\ ax + (b - 2)y = 3 \end{cases}

có nghiệm là (1;−2)(1; -2).

Lời giải:

Thay x=1x = 1, y=−2y = -2 vào hệ phương trình:

{a(1)+b(−2)=1a(1)+(b−2)(−2)=3\begin{cases} a(1) + b(-2) = 1 \\ a(1) + (b - 2)(-2) = 3 \end{cases} {a−2b=1a−2b+4=3\begin{cases} a - 2b = 1 \\ a - 2b + 4 = 3 \end{cases} {a−2b=1a−2b=−1\begin{cases} a - 2b = 1 \\ a - 2b = -1 \end{cases}

Hệ phương trình vô nghiệm.

Kết quả: Vô nghiệm

Kiến thức, kĩ năng

Giải một số bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài toán

Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm315 \text{ cm}^3 là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng 1 cm31 \text{ cm}^3 đồng nặng 8,9 g8,9 \text{ g} và 1 cm31 \text{ cm}^3 kẽm nặng 7 g7 \text{ g}.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Xét bài toán ở Tình huống mở đầu.

Gọi xx là số gam đồng, yy là số gam kẽm cần tính.

HĐ1

Biểu thị khối lượng của vật qua xx và yy.

HĐ2

Biểu thị thể tích của vật qua xx và yy.

HĐ3

Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn xx, yy nhận được ở HĐ1 và HĐ2. Từ đó trả lời câu hỏi ở Tình huống mở đầu.

Nhận xét

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

  • Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
  • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
  • Lập hệ phương trình biểu thị mới quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

Ví dụ 1

Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 10061 006, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 22 và số dư là 124124.

Giải

  • Gọi hai số cần tìm là xx và yy, trong đó x<yx < y. Số dư trong phép chia yy cho xx là 124124 nên x>124x > 124.

  • Vậy điều kiện của hai ẩn là x,y∈Nx, y \in \mathbb{N} và 124<x<y124 < x < y.

  • Tổng hai số bằng 10061 006 nên ta có phương trình x+y=1006x + y = 1 006.

  • Khi chia yy cho xx ta được thương là 22, dư 124124 nên ta có phương trình y=2x+124y = 2x + 124.

Do đó, ta có hệ phương trình

x+y=1006(1)y=2x+124(2).\begin{aligned} x + y &= 1006 \quad (1) \\ y &= 2x + 124 \quad (2). \end{aligned}

Kết quả: 342\boxed{342} và 664\boxed{664}.