Giải Toán 9 Tập 1 trang 24-27 - Kết nối tri thức

Luyện tập 1

Luyện tập 1. Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài $170\,\text{km}$. Sau khi xe khách xuất phát $1$ giờ $40$ phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh và gặp xe khách sau đó $40$ phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải $15\,\text{km}$.

Lời giải:

Gọi $x\,\text{km/h}$ là vận tốc của xe tải và $y\,\text{km/h}$ là vận tốc xe khách ($x,\,y>0$).

Chú ý rằng hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau khi tổng quãng đường hai xe đã đi bằng $170\,\text{km}$.

Đổi $1$ giờ $40$ phút $= \frac{5}{3}$ giờ và $40$ phút $= \frac{2}{3}$ giờ.

Đến lúc hai xe gặp nhau:

• Xe tải đã đi $\frac{2}{3}$ giờ, quãng đường là $\frac{2}{3}x\,\text{km}$.
• Xe khách đã đi $\frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$ giờ (vì xuất phát trước $1$ giờ $40$ phút), quãng đường là $\frac{7}{3}y\,\text{km}$.

Do đó ta có $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$ hay $2x + 7y = 510$ (1).

Vì mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải $15\,\text{km}$ nên $y - x = 15$ (2).

Từ (2) suy ra $y = x + 15$. Thay vào phương trình (1), ta có:

$$2x + 7(x + 15) = 510$$ $$9x + 105 = 510 \iff 9x = 405 \iff x = 45.$$

Suy ra $y = 45 + 15 = 60$.

Vậy vận tốc của xe tải là $45\,\text{km/h}$ và vận tốc của xe khách là $60\,\text{km/h}$.

Kết quả: xe tải $45\,\text{km/h}$, xe khách $60\,\text{km/h}$.

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong $24$ ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất của mỗi đội là không đổi).

Lời giải:

Gọi $x$ là số ngày để đội I hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình; $y$ là số ngày để đội II hoàn thành công việc nếu làm riêng một mình. Điều kiện: $x > 0$ và $y > 0$.

Mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và đội II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình $\frac{1}{x} = 1,5 \cdot \frac{1}{y}$ hay $\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}$ (1).

Hai đội làm chung trong $24$ ngày thì xong công việc nên mỗi ngày, hai đội làm chung thì được $\frac{1}{24}$ (công việc). Ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24}$ (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{x} &= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= \frac{1}{24}. \end{aligned} \right.$$

Nếu đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$ thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là $u$ và $v$:

$$\left\{ \begin{aligned} u &= \frac{3}{2} v, \\ u + v &= \frac{1}{24}. \end{aligned} \right.$$

Thay $u = \frac{3}{2} v$ vào phương trình thứ hai, ta có $\frac{3}{2}v + v = \frac{1}{24}$ hay $\frac{5}{2}v = \frac{1}{24}$.

Do đó $v = \frac{1}{60}$.

Thay $v = \frac{1}{60}$ vào phương trình đầu, ta có $u = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{40}$.

Suy ra $x = 40$ và $y = 60$.

Vậy đội I làm một mình trong $40$ ngày thì xong đoạn đường, đội II làm một mình trong $60$ ngày thì xong đoạn đường.

Kết quả: $40$ ngày và $60$ ngày.

---

Luyện tập 2

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong $1$ giờ $20$ phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong $10$ phút và vòi thứ hai trong $12$ phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

Lời giải:

Gọi $x$ (phút) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể, $y$ (phút) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể $\left( x>0,y>0 \right)$.

Trong $1$ phút, vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể.

Trong $1$ giờ $20$ phút $=80$ phút, cả hai vòi chảy được $\frac{1}{80}$ bể, nên ta có phương trình:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80} \quad \text{(1)}$$

Mở riêng vòi thứ nhất trong $10$ phút và vòi thứ hai trong $12$ phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước, nên ta có phương trình:

$$\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \quad \text{(2)}$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{80} \\ \dfrac{10}{x} + \dfrac{12}{y} = \dfrac{2}{15} \end{cases}$$

Nhân hai vế của phương trình $(1)$ với $10$, ta được $\dfrac{10}{x} + \dfrac{10}{y} = \dfrac{1}{8}$.

Trừ từng vế phương trình $(2)$ cho phương trình vừa nhận được:

$$\frac{2}{y} = \frac{2}{15} - \frac{1}{8} = \frac{16}{120} - \frac{15}{120} = \frac{1}{120}$$

Suy ra $y = 240$.

Thay vào phương trình $(1)$: $\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{80} - \dfrac{1}{240} = \dfrac{3}{240} - \dfrac{1}{240} = \dfrac{2}{240} = \dfrac{1}{120}$, suy ra $x = 120$.

Thử lại: $\dfrac{10}{120} + \dfrac{12}{240} = \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{5}{60} + \dfrac{3}{60} = \dfrac{8}{60} = \dfrac{2}{15}$ ✓

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong $120$ phút, vòi thứ hai trong $240$ phút.

Kết quả: vòi thứ nhất $120$ phút, vòi thứ hai $240$ phút.

BÀI TẬP

Bài 1.15. Tìm số tự nhiên $\mathrm{N}$ có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng $12$, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn $\mathrm{N}$ là $36$ đơn vị.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là $\overline{ab} \left( a \in \mathbb{N}^*, b \in \mathbb{N}, 0 \le b \le 9 \right)$

Tổng của hai chữ số đó bằng $12$, nên ta có: $a+b=12$ hay $b=12-a$.

Nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn $\mathrm{N}$ là $36$ đơn vị, nên ta có:

$$\begin{aligned} &10b+a-\left( 10a+b \right) =36 \\ &\iff 9b-9a=36 \\ &\iff b-a=4 \\ &\iff 12-a-a=4 \\ &\iff 12-2a=4 \\ &\iff 2a=8 \\ &\iff a=4 \quad \Rightarrow \quad b=8 \end{aligned}$$

Vậy $\mathrm{N}=48$.

Kết quả: $48$.

Bài 1.16. Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau $100$ lần bắn là $8,69$ điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu $?$):

Điểm số của mỗi lần bắn	$10$	$9$	$8$	$7$	$6$
Số lần bắn	$25$	$42$	$?$	$15$	$?$

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai ô đó.

Lời giải:

Gọi $a$ là số lần bắn được $8$ điểm và $b$ là số lần bắn được $6$ điểm ($a, b \in \mathbb{N}$).

Tổng số lần bắn là $100$, nên ta có:

$$25+42+a+15+b=100 \quad \iff \quad a+b=18 \quad \text{(1)}$$

Điểm trung bình là $8{,}69$ nên tổng số điểm là $100 \times 8{,}69 = 869$. Ta có:

$$10 \times 25 + 9 \times 42 + 8a + 7 \times 15 + 6b = 869 \quad \iff \quad 8a + 6b = 136 \quad \text{(2)}$$

Từ $(1)$ suy ra $b = 18 - a$. Thay vào $(2)$:

$$8a + 6(18 - a) = 136 \iff 2a + 108 = 136 \iff 2a = 28 \iff a = 14$$

Suy ra $b = 18 - 14 = 4$.

Thử lại: $8 \times 14 + 6 \times 4 = 112 + 24 = 136$ ✓

Vậy ô bị mờ ở cột $8$ điểm là $14$ lần bắn, ô bị mờ ở cột $6$ điểm là $4$ lần bắn.

Kết quả: $14$ và $4$.

Bài 1.17. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được $3\,600$ tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch được $4\,095$ tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức $15\%$ và đơn vị thứ hai làm vượt mức $12\%$ so với năm ngoái?

Lời giải:

Gọi $x$ và $y$ $\left( x,y > 0 \right)$ lần lượt là số tấn thóc mà đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái.

Năm ngoái hai đơn vị thu hoạch được $3\,600$ tấn thóc: $x + y = 3600$ (1).

Năm nay đơn vị thứ nhất vượt mức $15\%$ (đạt $1{,}15x$), đơn vị thứ hai vượt mức $12\%$ (đạt $1{,}12y$), tổng $4\,095$ tấn: $1{,}15x + 1{,}12y = 4095$ (2).

Từ $(1)$ suy ra $y = 3600 - x$. Thay vào $(2)$:

$$1{,}15x + 1{,}12(3600 - x) = 4095$$ $$1{,}15x + 4032 - 1{,}12x = 4095 \iff 0{,}03x = 63 \iff x = 2100$$

Suy ra $y = 3600 - 2100 = 1500$.

Năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được:

• Đơn vị thứ nhất: $1{,}15 \times 2100 = 2415$ (tấn thóc)

• Đơn vị thứ hai: $1{,}12 \times 1500 = 1680$ (tấn thóc)

Thử lại: $2415 + 1680 = 4095$ ✓

Kết quả: $2415$ tấn và $1680$ tấn.

Bài 1.18. Hai người thợ cùng làm một công việc trong $16$ giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong $3$ giờ và người thứ hai làm trong $6$ giờ thì chỉ hoàn thành được $25\%$ công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Lời giải:

Gọi $x$ (giờ) và $y$ (giờ) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc $\left( x>0,y>0 \right)$.

Trong $1$ giờ, người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Cả hai người làm trong $16$ giờ thì hoàn thành công việc, nên ta có:

$$16 \times \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \quad \text{(1)}$$

Người thứ nhất làm trong $3$ giờ và người thứ hai làm trong $6$ giờ thì chỉ hoàn thành được $25\%$ công việc, nên ta có:

$$\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \quad \text{(2)}$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

$$\begin{aligned} &\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{16} \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{16} \\ \frac{3}{y} = \frac{1}{4} - \frac{3}{16}= \frac{4}{16} - \frac{3}{16} = \frac{1}{16} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} y = 48 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{48} = \frac{3}{16} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} y = 48 \\ \frac{3}{x} = \frac{3}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} y = 48 \\ x = 24 \end{cases} \end{aligned}$$

Thử lại: $\dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{48} = \dfrac{3}{48} = \dfrac{1}{16}$ ✓ và $\dfrac{3}{24} + \dfrac{6}{48} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4}$ ✓

Vậy người thứ nhất làm riêng xong trong $24$ giờ, người thứ hai trong $48$ giờ.

Kết quả: $24$ giờ và $48$ giờ.

---

Trang 24 — Bài tập cuối chương I

A. TRẮC NGHIỆM

1.19.

Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases} 5x + 7y = -1 \\ 3x + 2y = -5 \end{cases}$?

A. $(-1; 1)$.
B. $(-3; 2)$.
C. $(2; -3)$.
D. $(5; 5)$.

Lời giải:

Thay các cặp số vào hệ phương trình để kiểm tra:

• A. $(-1; 1)$: $\begin{cases} 5(-1) + 7(1) = -5 + 7 = 2 \ne -1 \\ 3(-1) + 2(1) = -3 + 2 = -1 \ne -5 \end{cases}$
  Không thỏa mãn.

• B. $(-3; 2)$: $\begin{cases} 5(-3) + 7(2) = -15 + 14 = -1 \\ 3(-3) + 2(2) = -9 + 4 = -5 \end{cases}$
  Thỏa mãn.

• C. $(2; -3)$: $\begin{cases} 5(2) + 7(-3) = 10 - 21 = -11 \ne -1 \\ 3(2) + 2(-3) = 6 - 6 = 0 \ne -5 \end{cases}$
  Không thỏa mãn.

• D. $(5; 5)$: $\begin{cases} 5(5) + 7(5) = 25 + 35 = 60 \ne -1 \\ 3(5) + 2(5) = 15 + 10 = 25 \ne -5 \end{cases}$
  Không thỏa mãn.

Kết quả: B. $(-3; 2)$.

1.20.

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1; 2), B(5; 6), C(2; 3), D(-1; -1)$. Đường thẳng $4x - 3y = -1$ đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho?

A. $A$ và $B$;
B. $B$ và $C$;
C. $C$ và $D$;
D. $D$ và $A$.

Lời giải:

Thay tọa độ các điểm vào đường thẳng $4x - 3y = -1$:

• A. $(1; 2)$:
  $4(1) - 3(2) = 4 - 6 = -2 \ne -1$
  Không thỏa mãn.

• B. $(5; 6)$:
  $4(5) - 3(6) = 20 - 18 = 2 \ne -1$
  Không thỏa mãn.

• C. $(2; 3)$:
  $4(2) - 3(3) = 8 - 9 = -1$
  Thỏa mãn.

• D. $(-1; -1)$:
  $4(-1) - 3(-1) = -4 + 3 = -1$
  Thỏa mãn.

Kết quả: C. $C$ và $D$.

1.21.

Hệ phương trình $\begin{cases} 1,5x - 0,6y = 0,3 \\ -2x + y = -2 \end{cases}$

A. Có nghiệm là $(0; -0,5)$.
B. Có nghiệm là $(1; 0)$.
C. Có nghiệm là $(-3; -8)$.
D. Vô nghiệm.

Lời giải:

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} 1,5x - 0,6y = 0,3 \\ -2x + y = -2 \end{cases}$

Từ phương trình thứ hai:
$y = -2 + 2x$

Thay vào phương trình thứ nhất: $1,5x - 0,6(-2 + 2x) = 0,3$
$1,5x + 1,2 - 1,2x = 0,3$
$0,3x = -0,9$
$x = -3$

Suy ra: $y = -2 + 2(-3) = -8$

Vậy nghiệm là $(-3; -8)$.

Kết quả: C. $(-3; -8)$.

1.22.

Hệ phương trình $\begin{cases} 0,6x + 0,3y = 1,8 \\ 2x + y = -6 \end{cases}$

A. Có một nghiệm.
B. Vô nghiệm.
C. Có vô số nghiệm.
D. Có hai nghiệm.

Lời giải:

$\begin{cases} 0,6x + 0,3y = 1,8 \\ 2x + y = -6 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ hai với $0,3$: $0,6x + 0,3y = 1,8$
$0,6x + 0,3y = -1,8$

Hai phương trình trở nên mâu thuẫn, vậy hệ vô nghiệm.

Kết quả: B. Vô nghiệm.

B. TỰ LUẬN

1.23.

Giải các hệ phương trình:

a) $\begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ \frac{2}{5}x + y = 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 0,2x + 0,1y = 0,3 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$
c) $\begin{cases} \frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2} \\ 6x - 4y = 2 \end{cases}$

Lời giải:

a) $\begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ \frac{2}{5}x + y = 1 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ hai với $5$: $\begin{cases} 2x + 5y = 10 \\ 2x + 5y = 5 \end{cases}$

Hai phương trình trở nên mâu thuẫn, vậy hệ vô nghiệm.

b) $\begin{cases} 0,2x + 0,1y = 0,3 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ nhất với $10$: $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$

Trừ hai phương trình: $(3x + y) - (2x + y) = 5 - 3$
$x = 2$

Suy ra: $y = 5 - 3(2) = -1$

Vậy nghiệm là $(2; -1)$.

c) $\begin{cases} \frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2} \\ 6x - 4y = 2 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ nhất với $4$: $\begin{cases} 6x - 4y = 2 \\ 6x - 4y = 2 \end{cases}$

Hai phương trình trở nên giống nhau, vậy hệ có vô số nghiệm.

Kết quả:
a) Vô nghiệm.
b) $(2; -1)$.
c) Vô số nghiệm.

1.24.

Giải các hệ phương trình:

a) $\begin{cases} 0,5x + 2y = -2,5 \\ 0,7x - 3y = 8,1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 5x - 3y = -2 \\ 14x + 8y = 19 \end{cases}$
c) $\begin{cases} 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 \\ 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3 \end{cases}$

Lời giải:

a) $\begin{cases} 0,5x + 2y = -2,5 \\ 0,7x - 3y = 8,1 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ nhất với $3$, phương trình thứ hai với $2$: $\begin{cases} 1,5x + 6y = -7,5 \\ 1,4x - 6y = 16,2 \end{cases}$

Cộng hai phương trình: $(1,5x + 6y) + (1,4x - 6y) = -7,5 + 16,2$
$2,9x = 8,7$
$x = 3$

Suy ra: $y = \frac{-2,5 - 0,5(3)}{2} = -2$

Vậy nghiệm là $(3; -2)$.

b) $\begin{cases} 5x - 3y = -2 \\ 14x + 8y = 19 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ nhất với $8$, phương trình thứ hai với $3$: $\begin{cases} 40x - 24y = -16 \\ 42x + 24y = 57 \end{cases}$

Cộng hai phương trình: $(40x - 24y) + (42x + 24y) = -16 + 57$
$82x = 41$
$x = \frac{1}{2}$

Suy ra: $y = \frac{19 - 14(\frac{1}{2})}{8} = \frac{19 - 7}{8} = \frac{3}{2}$

Vậy nghiệm là $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

c) $\begin{cases} 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 \\ 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3 \end{cases}$

Đặt $u = x - 2$, $v = 1 + y$: $\begin{cases} 2u + 3v = -2 \\ 3u - 2v = -3 \end{cases}$

Nhân phương trình thứ nhất với $2$, phương trình thứ hai với $3$: $\begin{cases} 4u + 6v = -4 \\ 9u - 6v = -9 \end{cases}$

Cộng hai phương trình: $(4u + 6v) + (9u - 6v) = -4 + (-9)$
$13u = -13$
$u = -1$

Suy ra: $v = 0$

Do đó: $x = u + 2 = -1 + 2 = 1$
$y = v - 1 = 0 - 1 = -1$

Vậy nghiệm là $(1; -1)$.

Kết quả:
a) $(3; -2)$.
b) $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.
c) $(1; -1)$.

---

Trang 25 —

1.25. Tìm số tự nhiên $N$ có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số $3$ vào giữa hai chữ số của số $N$ thì được một số lớn hơn số $2N$ là $585$ đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số $N$ theo thứ tự ngược lại thì được một số nhỏ hơn số $N$ là $18$ đơn vị.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên $N$ có hai chữ số là $\overline{ab}$, với $a$ và $b$ là các chữ số.

Theo đề bài, ta có:

1. Nếu viết thêm chữ số $3$ vào giữa hai chữ số của số $N$, ta được số $\overline{a3b}$. Số này lớn hơn $2N$ là $585$ đơn vị, nên ta có:

$$\overline{a3b} = 2N + 585$$

Viết lại dưới dạng:

$$100a + 30 + b = 2(10a + b) + 585$$ $$100a + 30 + b = 20a + 2b + 585$$ $$80a - b = 555 \quad \text{(1)}$$

2. Nếu viết hai chữ số của số $N$ theo thứ tự ngược lại, ta được số $\overline{ba}$. Số này nhỏ hơn số $N$ là $18$ đơn vị, nên ta có:

$$\overline{ab} - \overline{ba} = 18$$

Viết lại dưới dạng:

$$(10a + b) - (10b + a) = 18$$ $$9a - 9b = 18$$ $$a - b = 2 \quad \text{(2)}$$

Từ $(2)$, ta có $a = b + 2$. Thay vào $(1)$:

$$\begin{aligned} 80(b + 2) - b &= 555 \\ 80b + 160 - b &= 555 \\ 79b &= 395 \\ b &= 5 \\ \end{aligned}$$

Suy ra $a = 5 + 2 = 7$.

Vậy số tự nhiên $N$ là $\overline{75}$.

Kết quả: $75$

1.26. Trên cánh đồng có diện tích $160$ ha của một đơn vị sản xuất, người ta dành $60$ ha để cấy thí điểm giống lúa mới, còn lại vẫn cấy giống lúa cũ. Khi thu hoạch, đầu tiên người ta gặt $8$ ha giống lúa cũ và $7$ ha giống lúa mới để đem so sánh. Kết quả là $7$ ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn $8$ ha giống lúa cũ là $2$ tấn thóc. Biết rằng tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch cả vụ trên $160$ ha là $860$ tấn. Hỏi năng suất của mỗi giống lúa trên $1$ ha là bao nhiêu tấn thóc?

Lời giải:

Gọi năng suất của giống lúa cũ là $x$ tấn/ha và năng suất của giống lúa mới là $y$ tấn/ha.

Diện tích cấy lúa cũ là: $160 - 60 = 100$ ha.

Diện tích cấy lúa mới là: $60$ ha.

Theo đề bài:

1. $7$ ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn $8$ ha giống lúa cũ là $2$ tấn thóc:

$$7y - 8x = 2 \quad \text{(1)}$$

2. Tổng số thóc thu hoạch cả vụ trên $160$ ha là $860$ tấn:

$$100x + 60y = 860 \quad \text{(2)}$$

Từ $(1)$, ta có:

$$\begin{aligned} 7y = 2 + 8x \\ y = \frac{2 + 8x}{7} \end{aligned}$$

Thay vào $(2)$:

$$\begin{aligned} 100x + 60(\frac{2 + 8x}{7}) &= 860 \\ 700x + 60(2 + 8x) &= 6020 \\ 700x + 120 + 480x &= 6020 \\ 1180x &= 5900 \\ x &= 5 \end{aligned}$$

Suy ra

$$\begin{aligned} y = \frac{2 + 8 \cdot 5}{7} = 6 \end{aligned}$$

Vậy năng suất của giống lúa cũ là $5$ tấn/ha và năng suất của giống lúa mới là $6$ tấn/ha.

Kết quả: $5$ tấn/ha và $6$ tấn/ha

1.27. Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính $20$ cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau $4$ giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ $20$ giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật.

Lời giải:

Chu vi đường tròn là:

$$\begin{aligned} C = \pi \cdot d = \pi \cdot 20 = 20 \pi \end{aligned}$$

Gọi vận tốc của vật 1 là $v_1$ cm/s và vận tốc của vật 2 là $v_2$ cm/s.

Theo đề bài:

1. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau $4$ giây chúng gặp nhau:

$$4(v_1 + v_2) = 20 \pi \quad \text{(1)}$$

2. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ $20$ giây chúng gặp nhau:

$$20(v_1 - v_2) = 20 \pi \quad \text{(2)}$$

Từ $(1)$, ta có:

$$v_1 + v_2 = 5 \pi \quad \text{(3)}$$

Từ $(2)$, ta có:

$$v_1 - v_2 = \pi \quad \text{(4)}$$

Cộng $(3)$ và $(4)$:

$$\begin{aligned} 2v_1 &= 6 \pi \\ v_1 &= 3 \pi \end{aligned}$$

Thay vào $(3)$:

$$\begin{aligned} 3 \pi + v_2 &= 5 \pi \\ v_2 &= 2 \pi \end{aligned}$$

Vậy vận tốc của vật 1 là $3 \pi$ cm/s và vận tốc của vật 2 là $2 \pi$ cm/s.

Kết quả: $3 \pi$ cm/s và $2 \pi$ cm/s

1.28. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là $21,7$ triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức $10\%$ đối với loại hàng thứ nhất và $8\%$ đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là $9\%$ đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng $21,8$ triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Lời giải:

Gọi giá của loại hàng thứ nhất là $x$ triệu đồng và giá của loại hàng thứ hai là $y$ triệu đồng.

Theo đề bài:

1. Thuế VAT $10\%$ đối với loại hàng thứ nhất và $8\%$ đối với loại hàng thứ hai:

$$(x + 0.1x) + (y + 0.08y) = 21.7$$ $$1.1x + 1.08y = 21.7 \quad \text{(1)}$$

2. Thuế VAT $9\%$ đối với cả hai loại hàng:

$$(x + 0.09x) + (y + 0.09y) = 21.8$$ $$1.09x + 1.09y = 21.8 \quad \text{(2)}$$

Từ $(2)$, ta có:

$$x + y = 20 \quad \text{(3)}$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

$$1.1x + 1.08y = 21.7$$ $$1.09x + 1.09y = 21.8$$

Nhân $(3)$ với $1.08$:

$$1.08x + 1.08y = 21.6$$

Trừ $(1)$ và $(2)$:

$$\begin{aligned} (1.1x + 1.08y) - (1.09x + 1.09y) &= 21.7 - 21.8 \\ -0.01x - 0.01y &= -0.1 \\ x + y &= 10 \end{aligned}$$

Kết hợp với $(3)$:

$$\begin{aligned} x + y &= 20 \\ x + y &= 10 \end{aligned}$$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Tuy nhiên, ta có thể giải bằng cách khác:

$$\begin{aligned} (1.1x + 1.08y) - 1.09(x + y) &= 21.7 - 1.09 \cdot 20 \\ 0.02x - 0.01y &= 21.7 - 21.8 \\ 0.02x - 0.01y &= -0.1 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 2x - y &= -10 \quad \text{(4)} \end{aligned}$$

Từ $(3)$ và $(4)$:

$$\begin{aligned} x + y &= 20 \\ 2x - y &= -10 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} 3x &= 10 \\ x &= \frac{10}{3} \end{aligned}$$

Suy ra

$$\begin{aligned} y = \frac{50}{3} \end{aligned}$$

Vậy giá của loại hàng thứ nhất là $\frac{10}{3}$ triệu đồng và giá của loại hàng thứ hai là $\frac{50}{3}$ triệu đồng.

Kết quả: $\frac{10}{3}$ triệu đồng và $\frac{50}{3}$ triệu đồng