Trang 28 — Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 4. Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 1515 m\text{m} người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là xx (m)(\text{m}) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là 169169 m2\text{m}^2 thì bề rộng xx của lối đi là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi xx là bề rộng của lối đi (x>0x>0).

Chiều dài cạnh của khu vườn còn lại (sau khi làm lối đi) là: 15−x15-x (m).

Diện tích phần đất còn lại là: (15−x)2(15-x)^2 m2\text{m}^2.

Theo đề bài ta có phương trình:

(15−x)2=169(15-x)^2=169

Ta giải phương trình như sau:

(15−x)2=169  ⟺  15−x=±13  ⟺  x=15∓13\begin{aligned} (15-x)^2&=169\\ \iff 15-x&=\pm 13\\ \iff x&=15 \mp 13 \end{aligned}

  • Trường hợp 1: x=15−13=2x=15-13=2 (nhận)

  • Trường hợp 2: x=15+13=28x=15+13=28 (loại)

Kết quả: x=2x=2

Trang 29 — Phương trình tích

Trang này có Ví dụ cần giải.

Ví dụ 1

Giải phương trình (2x+1)(3x−1)=0(2x + 1)(3x - 1) = 0.

Lời giải: Ta có (2x+1)(3x−1)=0(2x + 1)(3x - 1) = 0

nên 2x+1=02x + 1 = 0 hoặc 3x−1=03x - 1 = 0.

  • 2x+1=02x + 1 = 0 hay 2x=−12x = -1, suy ra x=−12x = -\frac{1}{2}.
  • 3x−1=03x - 1 = 0 hay 3x=13x = 1, suy ra x=13x = \frac{1}{3}.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=−12x = -\frac{1}{2} và x=13x = \frac{1}{3}.

Kết quả: x1=−12,x2=13x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = \frac{1}{3}

Ví dụ 2

Giải phương trình x2−x=−2x+2x^2 - x = -2x + 2.

Lời giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x2−x=−2x+2x^2 - x = -2x + 2

x2−x+2x−2=0x^2 - x + 2x - 2 = 0

x(x−1)+2(x−1)=0x(x - 1) + 2(x - 1) = 0

(x+2)(x−1)=0(x + 2)(x - 1) = 0.

Ta giải hai phương trình sau:

  • x+2=0x + 2 = 0 suy ra x=−2x = -2.
  • x−1=0x - 1 = 0 suy ra x=1x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=−2x = -2 và x=1x = 1.

Kết quả: x1=−2,x2=1x_1 = -2, x_2 = 1

Trang 30 — Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Luyện tập 1. Giải các phương trình sau: a) (3x+1)(2−4x)=0(3x + 1)(2 - 4x) = 0; b) x2−3x=2x−6x^2 - 3x = 2x - 6.

Lời giải:

a) (3x+1)(2−4x)=0(3x + 1)(2 - 4x) = 0

⇒3x+1=0\Rightarrow 3x + 1 = 0 hoặc 2−4x=02 - 4x = 0

⇒3x=−1\Rightarrow 3x = -1 hoặc 4x=24x = 2

⇒x=−13\Rightarrow x = -\frac{1}{3} hoặc x=12x = \frac{1}{2}

Vậy phương trình có nghiệm x=−13x = -\frac{1}{3} và x=12x = \frac{1}{2}.

b) x2−3x=2x−6x^2 - 3x = 2x - 6

⇒x2−3x−2x+6=0\Rightarrow x^2 - 3x - 2x + 6 = 0

⇒x2−5x+6=0\Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0

⇒(x−2)(x−3)=0\Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0

⇒x−2=0\Rightarrow x - 2 = 0 hoặc x−3=0x - 3 = 0

⇒x=2\Rightarrow x = 2 hoặc x=3x = 3

Vậy phương trình có nghiệm x=2x = 2 và x=3x = 3.

Kết quả: x=−13; 12; 2; 3x = -\frac{1}{3};\,\frac{1}{2};\,2;\,3.

Luyện tập 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau: a) 3x+12x−1=1\frac{3x + 1}{2x - 1} = 1; b) xx−1+x+1x=2\frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} = 2.

Lời giải:

a) 3x+12x−1=1\frac{3x + 1}{2x - 1} = 1

Điều kiện xác định: 2x−1≠0⇒2x≠1⇒x≠122x - 1 \ne 0 \Rightarrow 2x \ne 1 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}

b) xx−1+x+1x=2\frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} = 2

Điều kiện xác định: x−1≠0x - 1 \ne 0 và x≠0x \ne 0

⇒x≠1\Rightarrow x \ne 1 và x≠0x \ne 0

Kết quả: x≠12x \ne \frac{1}{2}; x≠0, 1x \ne 0,\,1.

Trang 31 — Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Luyện tập 3. Giải phương trình 1x−1−4xx3−1=xx2+x+1\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^3-1}=\frac{x}{x^2+x+1}.

Lời giải: Điều kiện xác định: x≠1x\neq 1.

Ta có:

1x−1−4xx3−1=xx2+x+1  ⟺  1x−1−4x(x−1)(x2+x+1)=xx2+x+1  ⟺  x2+x+1(x−1)(x2+x+1)−4x(x−1)(x2+x+1)=x(x−1)(x−1)(x2+x+1)  ⟺  x2+x+1−4x(x−1)(x2+x+1)=x(x−1)(x−1)(x2+x+1)  ⟺  x2+x+1−4x=x(x−1)  ⟺  x2+x+1−4x=x2−x  ⟺  x2−3x+1=x2−x  ⟺  −2x=−1  ⟺  x=12.\begin{aligned} &\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{x^3-1}=\frac{x}{x^2+x+1}\\ \iff &\frac{1}{x-1}-\frac{4x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x}{x^2+x+1}\\ \iff &\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{4x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ \iff &\frac{x^2+x+1-4x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}\\ \iff &x^2+x+1-4x=x(x-1)\\ \iff &x^2+x+1-4x=x^2-x\\ \iff &x^2-3x+1=x^2-x\\ \iff &-2x=-1\\ \iff &x=\frac{1}{2}. \end{aligned}

Kết quả: 12\frac{1}{2}