Giải Toán 9 Tập 1 trang 36-39 - Kết nối tri thức

Trang 36 — Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Luyện tập 3. Không thực hiện phép tính, hãy so sánh: a) $19+2 023$ và $-31+2 023$;

Lời giải:

a) Ta có $19 > -31$ và $2 023 > 0.$
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức $19 > -31$ với $2 023 > 0$ ta được $19 \cdot 2 023 > (-31) \cdot 2 023.$
Cộng $1$ vào hai vế của bất đẳng thức trên ta được

$$19 \cdot 2 023 + 1 > (-31) \cdot 2 023 + 1\,.$$

Do đó $19+2 023 > -31+2 023$.

Kết quả: $19+2 023 > -31+2 023$.

---

b) $\sqrt{2}+2$ và $4$.

Lời giải:

Ta có $\sqrt{2} > 0$ và $2 > 0$ nên $\sqrt{2}+2 > 2+0$ hay $\sqrt{2}+2 > 2$.
Mặt khác $2 > 0$ nên $\sqrt{2}+2 > 2 > 0$ và $4 > 0$
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức $\sqrt{2}+2 > 2$ với $2$ ta được $(\sqrt{2}+2) \cdot 2 > 2 \cdot 2$
Hay $2\sqrt{2} + 4 > 4$.

Kết quả: $\sqrt{2}+2 > 4$.

---

Ví dụ 5. Thay $\text{?}$ trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp $(<, >)$ để được khẳng định đúng.

a) $3 \cdot (-7) \text{?} 3 \cdot (-5)$;

Lời giải:

a) Vì $-7 < -5$ và $3 > 0$ nên $3 \cdot (-7) < 3 \cdot (-5)$.

Kết quả: $3 \cdot (-7) < 3 \cdot (-5)$.

---

b) $(-3) \cdot (-7) \text{?} (-3) \cdot (-5)$.

Lời giải:

b) Vì $-7 < -5$ và $-3 < 0$ nên $(-3) \cdot (-7) > (-3) \cdot (-5)$.

Kết quả: $(-3) \cdot (-7) > (-3) \cdot (-5)$.

---

Trang 35 —

Luyện tập 4

Thay $\space\space?$ trong các biểu thức sau bởi dấu thích hợp (<, >) để được khẳng định đúng.

a) $13 \cdot (-10,5) \space?\space 13 \cdot 11,2;$

b) $(-13) \cdot (-10,5) \space?\space (-13) \cdot 11,2.$

Lời giải:

a) Ta có: $13 > 0$ và $(-10,5) < 11,2$ nên $13 \cdot (-10,5) < 13 \cdot 11,2.$

b) Ta có: $(-13) < 0$ và $(-10,5) < 11,2$ nên $(-13) \cdot (-10,5) > (-13) \cdot 11,2.$

Kết quả: a) $<$, b) $>$.

---

Vận dụng 2

Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong $1$ ngày (từ $14$ giờ ngày hôm trước đến $12$ giờ ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là $30$ triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là $17$ triệu đồng $1$ ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là $60 \space 000$ đồng và mỗi suất ăn sáng là $30 \space 000$ đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Lời giải:

Chi phí cho $1$ ngày là:

$$17\,\text{triệu} + \text{chi phí ăn}$$

Chi phí ăn cho $1$ ngày:

$$60\,000 \cdot 2 + 30\,000 = 150\,000\,\text{đồng}$$

Chi phí cho $1$ ngày:

$$17\,\text{triệu} + 150\,000 = 17\,150\,000\,\text{đồng}$$

Số tiền còn lại để tổ chức:

$$30\,\text{triệu} - 17\,\text{triệu} = 13\,\text{triệu}$$

Số suất ăn tối đa có thể tổ chức:

$$\frac{13\,\text{triệu}}{150\,000} \approx 86,67$$

Vì số người là số nguyên nên số người tối đa là $86$ bạn.

Kết quả: $86$.

---

Bài tập

2.6. Dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau:

a) $x$ nhỏ hơn hoặc bằng $-2$;

b) $m$ là số âm;

c) $y$ là số dương;

d) $p$ lớn hơn hoặc bằng $2 \space 024$.

Lời giải:

a) $x \le -2$

b) $m < 0$

c) $y > 0$

d) $p \ge 2 \space 024$

Kết quả: a) $x \le -2$, b) $m < 0$, c) $y > 0$, d) $p \ge 2 \space 024$.

---

2.7. Viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bạn phải ít nhất $18$ tuổi mới được phép lái ô tô;

b) Xe buýt chở được tối đa $45$ người;

c) Mức lương tối thiểu cho một giờ làm việc của người lao động là $20 \space 000$ đồng.

Lời giải:

a) $x \ge 18$

b) $y \le 45$

c) $z \ge 20 \space 000$

Kết quả: a) $x \ge 18$, b) $y \le 45$, c) $z \ge 20 \space 000$.

---

2.8. Không thực hiện phép tính, hãy chứng minh:

a) $2 \cdot (-7) + 2 \space 023 < 2 \cdot (-1) + 2 \space 023;$

b) $(-3) \cdot (-8) + 1 \space 975 > (-3) \cdot (-7) + 1 \space 975.$

Lời giải:

a) $2 \cdot (-7) + 2 \space 023 < 2 \cdot (-1) + 2 \space 023$

Ta có: $-7 < -1$

$\implies 2 \cdot (-7) < 2 \cdot (-1)$

$\implies 2 \cdot (-7) + 2 \space 023 < 2 \cdot (-1) + 2 \space 023$

b) $(-3) \cdot (-8) + 1 \space 975 > (-3) \cdot (-7) + 1 \space 975$

Ta có: $-8 < -7$

$\implies (-3) \cdot (-8) > (-3) \cdot (-7)$

$\implies (-3) \cdot (-8) + 1 \space 975 > (-3) \cdot (-7) + 1 \space 975$

Kết quả: đã chứng minh.

---

2.9. Cho $a < b$, hãy so sánh:

a) $5a + 7$ và $5b + 7$;

b) $-3a - 9$ và $-3b - 9.$

Lời giải:

a) $5a + 7$ và $5b + 7$

Ta có: $a < b$

$\implies 5a < 5b$

$\implies 5a + 7 < 5b + 7$

b) $-3a - 9$ và $-3b - 9$

Ta có: $a < b$

$\implies -3a > -3b$

$\implies -3a - 9 > -3b - 9$

Kết quả: a) $5a + 7 < 5b + 7$, b) $-3a - 9 > -3b - 9$.

---

2.10. So sánh hai số $a$ và $b$, nếu:

a) $a + 1 \space 954 < b + 1 \space 954;$

b) $-2a > -2b.$

Lời giải:

a) $a + 1 \space 954 < b + 1 \space 954$

$\implies a < b$

b) $-2a > -2b$

$\implies a < b$

Kết quả: a) $a < b$, b) $a < b$.

---

2.11. Chứng minh rằng:

a) $\frac{-2 \space 023}{2 \space 024} > \frac{-2 \space 024}{2 \space 023}.$

b) $\frac{34}{11} > \frac{26}{9}.$

Lời giải:

a) $\frac{-2 \space 023}{2 \space 024} > \frac{-2 \space 024}{2 \space 023}$

$\iff \frac{-2 \space 023}{2 \space 024} + 1 > \frac{-2 \space 024}{2 \space 023} + 1$

$\iff \frac{1}{2 \space 024} > \frac{1}{2 \space 023}$ (luôn đúng)

b) $\frac{34}{11} > \frac{26}{9}$

$\iff 34 \cdot 9 > 26 \cdot 11$

$\iff 306 > 286$ (luôn đúng)

Kết quả: đã chứng minh.

---

Trang 38 — Luyện tập chung

Ví dụ 1. Giải phương trình $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x^2+x+1} = \frac{x^2+x}{x^3-1}$ . (1)

Lời giải: Điều kiện xác định: $x \neq 1$.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình:

$$\frac{(x^2+x+1)+2(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x^2+x}{x^3-1}$$ $$\Rightarrow \frac{x^2+3x-1}{x^3-1} = \frac{x^2+x}{x^3-1}$$

Suy ra $x^2+3x-1 = x^2+x$ hay $2x - 1 = 0$.

Giải phương trình $2x - 1 = 0$

$$2x = 1$$ $$x = \frac{1}{2} \quad \text{(thoả mãn ĐKXĐ)}.$$

Kết quả: $x = \frac{1}{2}$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $\frac{x}{x+3} - \frac{2}{x-3} = \frac{-2x-6}{x^2-9}$ . (2)

Lời giải: Điều kiện xác định: $x \neq 3$ và $x \neq -3$.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình:

$$\frac{x(x-3)-2(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{-2x-6}{x^2-9}$$ $$\Rightarrow \frac{x^2-5x-6}{x^2-9} = \frac{-2x-6}{x^2-9}$$

Suy ra $x^2-5x-6 = -2x-6$ hay $x^2 - 3x = 0$.

Giải phương trình $x^2 - 3x = 0$:

$$x(x-3) = 0$$ $$x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = 0$$ $$x = 0 \quad \text{(thoả mãn ĐKXĐ)} \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \quad \text{(không thoả mãn ĐKXĐ)}.$$

Kết quả: $x = 0$.

---

Trang 39 —

Bài tập 2.12. Giải các phương trình sau:

a) $2(x + 1) = (5x - 1)(x + 1)$;

b) $(-4x + 3)x = (2x + 5)x$.

Lời giải:

a) $2(x + 1) = (5x - 1)(x + 1)$

$\Leftrightarrow 2(x + 1) - (5x - 1)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1)[2 - (5x - 1)] = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1)(2 - 5x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1)(3 - 5x) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x + 1 = 0 \\ &3 - 5x = 0 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = -1 \\ &x = \frac{3}{5} \end{aligned} \right.$

Kết quả: $x = -1$ hoặc $x = \frac{3}{5}$.

---

b) $(-4x + 3)x = (2x + 5)x$

$\Leftrightarrow (-4x + 3)x - (2x + 5)x = 0$

$\Leftrightarrow x(-4x + 3 - 2x - 5) = 0$

$\Leftrightarrow x(-6x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 0 \\ &-6x - 2 = 0 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 0 \\ &x = -\frac{1}{3} \end{aligned} \right.$

Kết quả: $x = 0$ hoặc $x = -\frac{1}{3}$.

---

Bài tập 2.13. Để loại bỏ $x\%$ một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là

$$C(x) = \frac{50x}{100 - x} \text{ (triệu đồng), với } 0 \le x < 100.$$

Nếu bỏ ra $450$ triệu đồng, người ta có thể loại bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?

Lời giải:

$$C(x) = 450 \Leftrightarrow \frac{50x}{100 - x} = 450$$

$\Leftrightarrow 50x = 450(100 - x)$

$\Leftrightarrow 50x = 45000 - 450x$

$\Leftrightarrow 50x + 450x = 45000$

$\Leftrightarrow 500x = 45000$

$\Leftrightarrow x = 90$

Kết quả: $90\%$.

---

Bài tập 2.14. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x^2 - 2x + 4} = \frac{x - 4}{x^3 + 8}$.

Lời giải:

$$\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x^2 - 2x + 4} = \frac{x - 4}{x^3 + 8}$$

Ta có: $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$\Rightarrow \frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x^2 - 2x + 4} = \frac{x - 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2 - 2x + 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} - \frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x - 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2 - 2x + 4 - 2x - 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x - 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2 - 4x}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x - 4}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x = x - 4$

$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 4)(x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x - 4 = 0 \\ &x - 1 = 0 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 4 \\ &x = 1 \end{aligned} \right.$

Kết quả: $x = 4$ hoặc $x = 1$.

---

b) $\frac{2x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4} = \frac{x - 12}{x^2 - 16}$.

Lời giải:

$$\frac{2x}{x - 4} + \frac{3}{x + 4} = \frac{x - 12}{x^2 - 16}$$

Ta có: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$

$\Rightarrow \frac{2x(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} + \frac{3(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x - 12}{(x - 4)(x + 4)}$

$\Leftrightarrow \frac{2x(x + 4) + 3(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x - 12}{(x - 4)(x + 4)}$

$\Leftrightarrow 2x(x + 4) + 3(x - 4) = x - 12$

$\Leftrightarrow 2x^2 + 8x + 3x - 12 = x - 12$

$\Leftrightarrow 2x^2 + 10x = 0$

$\Leftrightarrow 2x(x + 5) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &2x = 0 \\ &x + 5 = 0 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = 0 \\ &x = -5 \end{aligned} \right.$

Kết quả: $x = 0$ hoặc $x = -5$.

---

Bài tập 2.15. Cho $a > b$, chứng minh rằng:

a) $4a + 4 > 4b + 3$;

Lời giải:

Ta có: $a > b$

$\Rightarrow 4a > 4b$

$\Rightarrow 4a + 4 > 4b + 4$

Mà $4 > 3$

$\Rightarrow 4a + 4 > 4b + 3$

Kết quả: $4a + 4 > 4b + 3$.

---

b) $1 - 3a < 3 - 3b$.

Lời giải:

Ta có: $a > b$

$\Rightarrow -3a < -3b$

$\Rightarrow 1 - 3a < 1 - 3b$

Mà $1 < 3$

$\Rightarrow 1 - 3a < 3 - 3b$

Kết quả: $1 - 3a < 3 - 3b$.