Giải Toán 9 Tập 1 trang 48-51 - Kết nối tri thức

Luyện tập 3

a) Không sử dụng MTCT, tính: $\sqrt{6^2}; \sqrt{(-5)^2}; \sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2}$.

Lời giải: a) Ta có

• $\sqrt{6^2} = |6| = 6,$
• $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5,$
• $\sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$ (vì $\sqrt{5} > 1$).

Do đó $\sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2} = \sqrt{5} - (\sqrt{5} - 1) = 1.$

Kết quả: $6; 5; 1.$

Luyện tập 4

b) So sánh $3$ với $\sqrt{10}$ bằng hai cách:

• Sử dụng MTCT;
• Sử dụng tính chất của căn bậc hai số học đã học ở lớp 7: Nếu $0 \le a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}.$

Lời giải: b)

• Cách 1. (Sử dụng MTCT)

  • Sử dụng MTCT, ta có $\sqrt{10} \approx 3.16227766.$
  • Vì $3.16227766 > 3$ nên $\sqrt{10} > 3.$

• Cách 2. (Sử dụng tính chất của căn bậc hai số học)

  • Ta có $9 < 10$ nên $\sqrt{9} < \sqrt{10}.$
  • Mà $\sqrt{9} = 3$ nên $3 < \sqrt{10}.$

Kết quả: $3 < \sqrt{10}.$

---

Luyện tập 4

Cho căn thức $\sqrt{5-2x}$.

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại $x=2$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của căn thức là $5-2x \geq 0$ hay $x \leq \frac{5}{2}$ .

b) Tại $x=2$ (thoả mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị là $\sqrt{5-2\cdot 2} = \sqrt{1} = 1$.

Kết quả: $\textbf{a) } x \leq \frac{5}{2}, \textbf{ b) } 1.$

Ví dụ 5

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(\sqrt{1-x})^2$ với $x<0$;

b) $\sqrt{1-2x+x^2}$ với $x>2$.

Lời giải:

a) Từ giả thiết $x<0$ suy ra $1-x>0$. Do đó

$$(\sqrt{1-x})^2 = 1 - x.$$

b) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$, ta có

$$\sqrt{1-2x+x^2} = \sqrt{(1-x)^2} = |1-x|.$$

Do giả thiết $x>2$ suy ra $1-x<0$ nên $|1-x|=-(1-x)=x-1$. Vì vậy

$$\sqrt{1-2x+x^2} = \sqrt{(1-x)^2} = x-1 \text{ với } x>2.$$

Kết quả: $\textbf{a) } 1-x, \textbf{ b) } x-1.$

---

Trang 50 —

Bài tập

3.1. Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $24,5$;

b) $\frac{9}{10}$.

Lời giải:

a) Để tìm căn bậc hai của $24,5$, ta có:

$\sqrt{24,5} \approx 4,95$

Vậy căn bậc hai của $24,5$ là khoảng $4,95$ và $-4,95$.

b) Để tìm căn bậc hai của $\frac{9}{10}$, ta có:

$\sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \approx 0,95$

Vậy căn bậc hai của $\frac{9}{10}$ là khoảng $0,95$ và $-0,95$.

Kết quả: a) $4,95$ và $-4,95$; b) $0,95$ và $-0,95$.

3.2. Để chuẩn bị trồng cây trên via hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng $2 \text{ m}^2$. Em hãy ước lượng (với độ chính xác $0,005$) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi $r$ là bán kính của ô đất hình tròn.

Ta có diện tích của ô đất là:

$S = \pi r^2 = 2$

$\Rightarrow r^2 = \frac{2}{\pi}$

$\Rightarrow r = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \approx 0,80 \text{ m}$

Đường kính của ô đất là:

$d = 2r = 2 \times 0,80 = 1,60 \text{ m}$

Kết quả: $1,60 \text{ m}$.

3.3. Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x + 10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x = -1$.

Lời giải:

Điều kiện xác định của $\sqrt{x + 10}$ là:

$x + 10 \ge 0 \Rightarrow x \ge -10$

Tại $x = -1$, ta có:

$\sqrt{-1 + 10} = \sqrt{9} = 3$

Kết quả: Điều kiện xác định: $x \ge -10$; giá trị tại $x = -1$: $3$.

3.4. Tính:

$\sqrt{5,1^2}$;

$\sqrt{(-4,9)^2}$;

$-\sqrt{(-0,001)^2}$.

Lời giải:

$\sqrt{5,1^2} = 5,1$

$\sqrt{(-4,9)^2} = 4,9$

$-\sqrt{(-0,001)^2} = -0,001$

Kết quả: $5,1; 4,9; -0,001$.

3.5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$;

b) $3\sqrt{x^2} - x + 1 \ (x < 0)$;

c) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} \ (x < 2)$.

Lời giải:

a) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$

b) $3\sqrt{x^2} - x + 1 = 3|x| - x + 1$

Vì $x < 0$ nên $|x| = -x$

Do đó: $3|x| - x + 1 = 3(-x) - x + 1 = -4x + 1$

c) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|$

Vì $x < 2$ nên $|x - 2| = 2 - x$

Kết quả: a) $\sqrt{5} - 2$; b) $-4x + 1$; c) $2 - x$.

3.6. Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức $A$ có giá trị là số nguyên:

$A = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} - \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2}$.

Lời giải:

$A = \sqrt{(1 + 2\sqrt{2})^2} - \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2}$

$= |1 + 2\sqrt{2}| - |1 - 2\sqrt{2}|$

$= (1 + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - 1)$

$= 1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1$

$= 2$

Kết quả: $2$.

---

Trang 49 — Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Luyện tập

1. Tính $\sqrt{3} \cdot \sqrt{75}$

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 75} = \sqrt{225} = 15$.

Kết quả: $15$

2. Rút gọn $\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab}$ (với $a<0, b<0$)

Lời giải:

Ta có: $\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab} = \sqrt{5ab^3 \cdot 5ab} = \sqrt{25a^2b^4} = \sqrt{(5ab^2)^2} = |5ab^2| = -5ab^2$ (vì $a<0, b<0$ nên $ab^2>0$).

Kết quả: $-5ab^2$