Trang 52 — Khai căn bậc hai và phép chia

Luyện tập 2

a) Tính nhanh 25⋅49\sqrt{25 \cdot 49}

Lời giải: 25⋅49=25⋅49=5⋅7=35\sqrt{25 \cdot 49} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{49} = 5 \cdot 7 = 35

Kết quả: 3535

b) Phân tích thành nhân tử: ab−4a\sqrt{ab} - 4\sqrt{a} (với a≥0,b≥0a \ge 0, b \ge 0)

Lời giải: ab−4a=a⋅b−4a=a(b−4)\sqrt{ab} - 4\sqrt{a} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} - 4\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{b} - 4)

Kết quả: a(b−4)\sqrt{a}(\sqrt{b} - 4)

Luyện tập 3

a) Tính 18:50\sqrt{18} : \sqrt{50}

Lời giải: 18:50=1850=925=35\sqrt{18} : \sqrt{50} = \sqrt{\frac{18}{50}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Kết quả: 35\frac{3}{5}

b) Rút gọn 16ab2:4a\sqrt{16ab^2} : \sqrt{4a} (với a>0,b<0a > 0, b < 0)

Lời giải: 16ab2:4a=16ab24a=4b2=2∣b∣=2(−b)=−2b\sqrt{16ab^2} : \sqrt{4a} = \sqrt{\frac{16ab^2}{4a}} = \sqrt{4b^2} = 2|b| = 2(-b) = -2b

Kết quả: −2b-2b

Ví dụ 6

a) Viết số dưới dấu căn thành một phân số thập phân rồi tính 1.69\sqrt{1.69}

Lời giải: 1.69=169100=169100=1310=1.3\sqrt{1.69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}} = \frac{13}{10} = 1.3

Kết quả: 1.31.3

b) Rút gọn a⋅2a2a \cdot \sqrt{\frac{2}{a^2}} (với a>0a > 0)

Lời giải: a⋅2a2=a⋅2∣a∣=a⋅2a=2a \cdot \sqrt{\frac{2}{a^2}} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{|a|} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}

Kết quả: 2\sqrt{2}

Luyện tập 4

a) Tính 6.25\sqrt{6.25}

Lời giải: 6.25=625100=252102=2510=2.5\sqrt{6.25} = \sqrt{\frac{625}{100}} = \sqrt{\frac{25^2}{10^2}} = \frac{25}{10} = 2.5

Kết quả: 2.52.5

Luyện tập 4

**b) Rút gọn (a2−1)⋅5(a−1)2(a^2 - 1)\cdot \sqrt{\frac{5}{(a-1)^2}} (a>1).(a > 1).

Lời giải: (a2−1)⋅5(a−1)2=(a−1)(a+1)⋅5∣a−1∣(a^2 - 1)\cdot \sqrt{\frac{5}{(a-1)^2}} = (a-1)(a+1) \cdot \frac{\sqrt{5}}{|a-1|} Do a>1a > 1   ⟹  ∣a−1∣=a−1\implies |a-1| = a-1   ⟹  (a−1)(a+1)⋅5a−1=(a+1)5\implies (a-1)(a+1) \cdot \frac{\sqrt{5}}{a-1} = (a+1) \sqrt{5}

Kết quả: (a+1)5(a+1)\sqrt{5}

Vận dụng

Công suất PP (W), hiệu điện thế UU (V), điện trở RR (Ω)(\Omega) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức U=PRU = \sqrt{PR}. Nếu công suất tăng gấp 88 lần, điện trở giảm 22 lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?

Lời giải: Công suất PP (W), hiệu điện thế UU (V), điện trở RR (Ω)(\Omega) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức U=PRU = \sqrt{PR}.

Nếu công suất tăng gấp 88 lần, ta có: P1=8PP_1 = 8P

Điện trở giảm 22 lần, ta có: R1=R2R_1 = \frac{R}{2}

Hiệu điện thế ban đầu: U=PRU = \sqrt{PR}

Hiệu điện thế lúc đó: U1=P1R1=8P⋅R2=4PR=2PR=2UU_1 = \sqrt{P_1R_1} = \sqrt{8P \cdot \frac{R}{2}} = \sqrt{4PR} = 2\sqrt{PR} = 2U

Tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu là: U1U=2\frac{U_1}{U} = 2

Kết quả: 22

Tranh luận

Vì (−3)2=−3\sqrt{(-3)^2} = -3 và (−12)2=−12\sqrt{(-12)^2} = -12 nên (−3)2⋅(−12)2=(−3)⋅(−12)=36\sqrt{(-3)^2} \cdot \sqrt{(-12)^2} = (-3) \cdot (-12) = 36.

Lời giải: Vì (−3)2=3\sqrt{(-3)^2} = 3 và (−12)2=12\sqrt{(-12)^2} = 12 nên (−3)2⋅(−12)2=3⋅12=36\sqrt{(-3)^2} \cdot \sqrt{(-12)^2} = 3 \cdot 12 = 36.

Cách làm của Vuông là sai vì (−3)2=3\sqrt{(-3)^2} = 3 và (−12)2=12\sqrt{(-12)^2} = 12.

3.7. Tính:

a) 12⋅(12+3);\sqrt{12} \cdot (\sqrt{12} + \sqrt{3});

Lời giải: 12⋅(12+3)=12⋅12+12⋅3=12+36=12+6=18\sqrt{12} \cdot (\sqrt{12} + \sqrt{3}) = \sqrt{12} \cdot \sqrt{12} + \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = 12 + \sqrt{36} = 12 + 6 = 18

Kết quả: 1818

b) 8⋅(50−2);\sqrt{8} \cdot (\sqrt{50} - \sqrt{2});

Lời giải: 8⋅(50−2)=8⋅50−8⋅2=400−16=20−4=16\sqrt{8} \cdot (\sqrt{50} - \sqrt{2}) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{50} - \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{400} - \sqrt{16} = 20 - 4 = 16

Kết quả: 1616

c) (3+2)2−26.(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6}.

Lời giải: (3+2)2−26=3+232+2−26=5+26−26=5(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{6} = 3 + 2 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2 - 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 5

Kết quả: 55

3.8. Rút gọn biểu thức 2(a2−b2)⋅3a+b\sqrt{2(a^2 - b^2)} \cdot \sqrt{\frac{3}{a+b}} (với a≥b>0a \geq b > 0).

Lời giải: 2(a2−b2)⋅3a+b=2(a−b)(a+b)⋅3a+b=2(a−b)(a+b)⋅3a+b=2(a−b)⋅3=6(a−b)\sqrt{2(a^2 - b^2)} \cdot \sqrt{\frac{3}{a+b}} = \sqrt{2(a-b)(a+b)} \cdot \sqrt{\frac{3}{a+b}} = \sqrt{2(a-b)(a+b)} \cdot \sqrt{\frac{3}{a+b}} = \sqrt{2(a-b) \cdot 3} = \sqrt{6(a-b)}

Kết quả: 6(a−b)\sqrt{6(a-b)}

3.9. Tính:

a) 99÷11;\sqrt{99} \div \sqrt{11};

Lời giải: 99÷11=9911=9=3\sqrt{99} \div \sqrt{11} = \sqrt{\frac{99}{11}} = \sqrt{9} = 3

Kết quả: 33

b) 7.84;\sqrt{7.84};

Lời giải: 7.84=784100=282102=2810=2.8\sqrt{7.84} = \sqrt{\frac{784}{100}} = \sqrt{\frac{28^2}{10^2}} = \frac{28}{10} = 2.8

Kết quả: 2.82.8

c) 1.815÷15.\sqrt{1.815} \div \sqrt{15}.

Lời giải: 1.815÷15=1.81515=0.121=112100=1110=1.1\sqrt{1.815} \div \sqrt{15} = \sqrt{\frac{1.815}{15}} = \sqrt{0.121} = \sqrt{\frac{11^2}{100}} = \frac{11}{10} = 1.1

Kết quả: 1.11.1

3.10. Rút gọn −316a+5a16ab2−22a-3\sqrt{16a} + 5a\sqrt{16ab^2} - 2\sqrt{2a} (với a>0,b>0a > 0, b > 0).

Lời giải: −316a+5a16ab2−22a=−3⋅4a+5a⋅4ba−22a=−12a+20aba−22a=(20ab−12)a−22a-3\sqrt{16a} + 5a\sqrt{16ab^2} - 2\sqrt{2a} = -3 \cdot 4 \sqrt{a} + 5a \cdot 4b \sqrt{a} - 2 \sqrt{2a} = -12 \sqrt{a} + 20ab \sqrt{a} - 2 \sqrt{2a} = (20ab - 12) \sqrt{a} - 2 \sqrt{2a}

Kết quả: (20ab−12)a−22a(20ab - 12) \sqrt{a} - 2 \sqrt{2a}

3.11. Kích thước màn hình tivi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại tivi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là 4:34 : 3.

a) Gọi xx (inch) là chiều rộng của màn hình tivi. Viết công thức tính độ dài đường chéo dd (inch) của màn hình tivi theo xx.

Lời giải: Gọi chiều rộng của màn hình tivi là xx (inch), chiều dài là 43x\frac{4}{3}x (inch).

Độ dài đường chéo dd (inch) của màn hình tivi là: d=x2+(43x)2=x2+169x2=259x2=53xd = \sqrt{x^2 + (\frac{4}{3}x)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{16}{9}x^2} = \sqrt{\frac{25}{9}x^2} = \frac{5}{3}x

Kết quả: d=53xd = \frac{5}{3}x

b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimet) của màn hình tivi loại 4040 inch.

Lời giải: Đổi 4040 inch =40⋅2.54=101.6= 40 \cdot 2.54 = 101.6 cm

Ta có: 53x=40  ⟹  x=40⋅35=24\frac{5}{3}x = 40 \implies x = 40 \cdot \frac{3}{5} = 24 inch =24⋅2.54=60.96= 24 \cdot 2.54 = 60.96 cm

Chiều dài màn hình tivi là: 43⋅24=32\frac{4}{3} \cdot 24 = 32 inch =32⋅2.54=81.28= 32 \cdot 2.54 = 81.28 cm

Kết quả: Chiều rộng: 60.9660.96 cm, Chiều dài: 81.2881.28 cm

Trang 52 — Luyện tập chung

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Không dùng MTCT, tính giá trị của biểu thức: A=(1−3)2−3.A = \sqrt{(1-\sqrt{3})^2} - \sqrt{3}.

Lời giải: Ta có

A=∣1−3∣−3=(3−1)−3=3−1−3=−1.\begin{aligned} A &= |1-\sqrt{3}| - \sqrt{3} \\ &= (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3} \\ &= \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} \\ &= -1. \end{aligned}

Kết quả: −1-1

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Tính: a) (2+5)(2−5);(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}); b) (5+2)(5−2).(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}).

Lời giải: Sử dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương, ta được: a)

(2+5)(2−5)=22−(5)2=4−5=−1.\begin{aligned} (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) &= 2^2 - (\sqrt{5})^2 \\ &= 4 - 5 \\ &= -1. \end{aligned}

b)

(5+2)(5−2)=(5)2−(2)2=5−2=3.\begin{aligned} (\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) &= (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 \\ &= 5 - 2 \\ &= 3. \end{aligned}

Kết quả: a) −1-1
b) 33

Chú ý. Tổng quát, ta có

(A+B)(A−B)=A2−Bvới  A,B  laˋ hai biểu thức,  B≥0,(A+B)(A−B)=A−Bvới  A,B  laˋ hai biểu thức khoˆng aˆm.\begin{aligned} (A+\sqrt{B})(A-\sqrt{B}) &= A^2 - B \quad \text{với} \; A, B \; \text{là hai biểu thức,} \; B \ge 0, \\ (\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{A}-\sqrt{B}) &= A - B \quad \text{với} \; A, B \; \text{là hai biểu thức không âm.} \end{aligned}

Ta nói A+BA + \sqrt{B} và A−B;A - \sqrt{B}; A+B\sqrt{A} + \sqrt{B} và A−B\sqrt{A} - \sqrt{B} là những cặp biểu thức liên hợp.

Ví dụ 3

Ví dụ 3. Cho biểu thức P=xx+1x−x+1−1P = \dfrac{x\sqrt{x}+1}{x-\sqrt{x}+1} - 1 với x≥0.x \ge 0. a) Viết xx+1x\sqrt{x} + 1 thành tổng hai lập phương rồi phân tích thành nhân tử để rút gọn biểu thức đã cho. b) Tính giá trị của PP tại x=100.x = 100.

Lời giải: a) Ta có

xx+1=(x)3+13=(x+1)[(x)2−x⋅1+12]=(x+1)(x−x+1).\begin{aligned} x\sqrt{x} + 1 &= (\sqrt{x})^3 + 1^3 \\ &= (\sqrt{x} + 1)[(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2] \\ &= (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1). \end{aligned}

Từ đó

P=(x+1)(x−x+1)x−x+1−1=x+1−1=x.\begin{aligned} P &= \dfrac{(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{x-\sqrt{x}+1} - 1 \\ &= \sqrt{x} + 1 - 1 \\ &= \sqrt{x}. \end{aligned}

b) Tại x=100x = 100 (thoả mãn điều kiện) thì P=100=10.P = \sqrt{100} = 10.

Kết quả: a) P=xP = \sqrt{x}
b) 1010

Trang 55 —

Bài 3.12. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (3−2)2+(1−2)2\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(1-\sqrt{2})^2};

b) (7−3)2+(7+3)2\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{7} + 3)^2}.

Lời giải:

a) Ta có: (3−2)2+(1−2)2=∣3−2∣+∣1−2∣\sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} - \sqrt{2}| + |1 - \sqrt{2}|

Vì 3>2\sqrt{3} > \sqrt{2} và 1<21 < \sqrt{2} nên: =(3−2)+(2−1)=3−1= (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{3} - 1

b) Ta có: (7−3)2+(7+3)2=∣7−3∣+∣7+3∣\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{7} + 3)^2} = |\sqrt{7} - 3| + |\sqrt{7} + 3|

Vì 7<3\sqrt{7} < 3 và 7+3>0\sqrt{7} + 3 > 0 nên: =(3−7)+(7+3)=6= (3 - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} + 3) = 6

Kết quả: 3−1\sqrt{3} - 1 và 66.

Bài 3.13. Thực hiện phép tính:

a) 3(192−75)\sqrt{3}(\sqrt{192} - \sqrt{75});

b) −318+550−12872\frac{-3\sqrt{18} + 5\sqrt{50} - \sqrt{128}}{7\sqrt{2}}

Lời giải:

a) Ta có: 3(192−75)=3(3⋅64−3⋅25)\sqrt{3}(\sqrt{192} - \sqrt{75}) = \sqrt{3}(\sqrt{3 \cdot 64} - \sqrt{3 \cdot 25})

=3⋅3⋅64−3⋅3⋅25= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{64} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{25}

=3⋅8−3⋅5=24−15=9= 3 \cdot 8 - 3 \cdot 5 = 24 - 15 = 9

b) Ta có: −318+550−12872=−39⋅2+525⋅2−64⋅272\frac{-3\sqrt{18} + 5\sqrt{50} - \sqrt{128}}{7\sqrt{2}} = \frac{-3\sqrt{9 \cdot 2} + 5\sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{64 \cdot 2}}{7\sqrt{2}}

=−3⋅32+5⋅52−8272= \frac{-3 \cdot 3 \sqrt{2} + 5 \cdot 5 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2}}{7\sqrt{2}}

=−92+252−8272= \frac{-9\sqrt{2} + 25\sqrt{2} - 8\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}

=8272=87= \frac{8\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \frac{8}{7}

Kết quả: 99 và 87\frac{8}{7}.

Bài 3.14. Chứng minh rằng:

a) (1−2)2=3−22(1-\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{2};

b) (3+2)2=5+26(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{6}.

Lời giải:

a) Ta có: (1−2)2=1−22+2=3−22(1-\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}

b) Ta có: (3+2)2=3+23⋅2+2=5+26(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}

Kết quả: Đúng.

Bài 3.15. Cho căn thức x2−4x+4\sqrt{x^2 - 4x + 4}.

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của xx.

b) Rút gọn căn thức đã cho với x≥2x \geq 2.

c) Chứng tỏ rằng với mọi x≥2x \geq 2, biểu thức x−x2−4x+4\sqrt{x} - \sqrt{x^2 - 4x + 4} có giá trị không đổi.

Lời giải:

a) Ta có: x2−4x+4=(x−2)2≥0x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 với mọi xx

b) Ta có: x2−4x+4=(x−2)2=∣x−2∣=x−2\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| = x-2 với x≥2x \geq 2

c) Ta có: x−x2−4x+4=x−(x−2)=x−x+2\sqrt{x} - \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{x} - (x-2) = \sqrt{x} - x + 2

Kết quả: x−x+2\sqrt{x} - x + 2.

Bài 3.16. Trong Vật lí, tốc độ (m/s) của một vật đang bay được cho bởi công thức v=2Emv = \sqrt{\frac{2E}{m}}, trong đó EE là động năng của vật (tính bằng Joule, kí hiệu là JJ) và mm (kg) là khối lượng của vật (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Tính tốc độ bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng 2,52,5 kg và động năng 281,25281,25 J.

Lời giải:

Ta có: v=2Em=2⋅281,252,5=225=15v = \sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 281,25}{2,5}} = \sqrt{225} = 15

Kết quả: 1515.