Giải Toán 9 Tập 1 trang 60-63 - Kết nối tri thức

Luyện tập 5

Rút gọn biểu thức sau:

$$\left(\dfrac{\sqrt{22}-\sqrt{11}}{1-\sqrt{2}} + \dfrac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{3}}\right)(\sqrt{7}-\sqrt{11}).$$

Lời giải:

• Bước 1: Rút gọn từng phân số trong ngoặc

\begin{align*} \dfrac{\sqrt{22}-\sqrt{11}}{1-\sqrt{2}} &= \dfrac{\sqrt{11}(\sqrt{2}-1)}{1-\sqrt{2}} = -\sqrt{11} \ \dfrac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{7}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}} = -\sqrt{7} \end{align*}

• Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu

$$\begin{aligned} &\left(-\sqrt{11} -\sqrt{7}\right)(\sqrt{7}-\sqrt{11})\\ &= -(\sqrt{11} + \sqrt{7})(\sqrt{7} - \sqrt{11}) \\ &= -[(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{11})^2] \\ &= -(7 - 11) \\ &= 4 \end{aligned}$$

Kết quả: $4$

---

Bài tập

3.17. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{75}$;

Lời giải: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Kết quả: $5\sqrt{3}$.

b) $\sqrt{27a}$ ($a \geq 0$);

Lời giải: $\sqrt{27a} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot a} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3a} = 3\sqrt{3a}$.

Kết quả: $3\sqrt{3a}$.

c) $\sqrt{50\sqrt{2} + 100}$;

Lời giải: $\sqrt{50\sqrt{2} + 100} = \sqrt{50\sqrt{2} + 100} = \sqrt{25 \cdot (2\sqrt{2} + 4)} = 5\sqrt{2\sqrt{2} + 4}$.

Kết quả: $5\sqrt{2\sqrt{2} + 4}$.

d) $\sqrt{9\sqrt{5} - 18}$.

Lời giải: $\sqrt{9\sqrt{5} - 18} = \sqrt{9(\sqrt{5} - 2)} = 3\sqrt{\sqrt{5} - 2}$.

Kết quả: $3\sqrt{\sqrt{5} - 2}$.

3.18. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{2}$;

Lời giải: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Kết quả: $\sqrt{18}$.

b) $-2\sqrt{7}$;

Lời giải: $-2\sqrt{7} = -\sqrt{2^2 \cdot 7} = -\sqrt{28}$.

Kết quả: $-\sqrt{28}$.

c) $4\sqrt{\frac{15}{2}}$;

Lời giải: $4\sqrt{\frac{15}{2}} = \sqrt{4^2 \cdot \frac{15}{2}} = \sqrt{16 \cdot \frac{15}{2}} = \sqrt{\frac{240}{2}} = \sqrt{120}$.

Kết quả: $\sqrt{120}$.

d) $-5\sqrt{\frac{16}{5}}$.

Lời giải: $-5\sqrt{\frac{16}{5}} = -\sqrt{5^2 \cdot \frac{16}{5}} = -\sqrt{25 \cdot \frac{16}{5}} = -\sqrt{80}$.

Kết quả: $-\sqrt{80}$.

3.19. Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2a \cdot \sqrt{\frac{3}{5}}$;

Lời giải: $2a \cdot \sqrt{\frac{3}{5}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{2a\sqrt{15}}{5}$.

Kết quả: $\frac{2a\sqrt{15}}{5}$.

b) $-3x \cdot \sqrt{\frac{5}{x}}$ ($x > 0$);

Lời giải: $-3x \cdot \sqrt{\frac{5}{x}} = -3x \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}} = -3 \cdot \frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = -3 \cdot \frac{x\sqrt{5x}}{x} = -3\sqrt{5x}$.

Kết quả: $-3\sqrt{5x}$.

c) $-\sqrt{\frac{3a}{b}}$ ($a \geq 0, b > 0$).

Lời giải: $-\sqrt{\frac{3a}{b}} = -\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{b}} = -\frac{\sqrt{3a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = -\frac{\sqrt{3ab}}{b}$.

Kết quả: $-\frac{\sqrt{3ab}}{b}$.

3.20. Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{4 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$;

Lời giải: $\frac{4 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{(4 + 3\sqrt{5})\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} + 3 \cdot 5}{5} = \frac{4\sqrt{5} + 15}{5}$.

Kết quả: $\frac{4\sqrt{5} + 15}{5}$.

b) $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$;

Lời giải: $\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$.

Kết quả: $\sqrt{5} + 2$.

c) $\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$;

Lời giải: $\frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{-2} = -3 - 2\sqrt{3}$.

Kết quả: $-3 - 2\sqrt{3}$.

d) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.

Lời giải: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - 2}{3 - 2} = \sqrt{6} - 2$.

Kết quả: $\sqrt{6} - 2$.

3.21. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{\frac{2}{3}} - 4\sqrt{\frac{3}{2}}$;

Lời giải: $2\sqrt{\frac{2}{3}} - 4\sqrt{\frac{3}{2}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} - \frac{4\sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6}$.

$\frac{2\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6} = \frac{2\sqrt{6} - 6\sqrt{6}}{3} = \frac{-4\sqrt{6}}{3}$.

Kết quả: $-\frac{4\sqrt{6}}{3}$.

b) $\frac{5\sqrt{48} - 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{\sqrt{6}}$;

Lời giải: $\frac{5\sqrt{48} - 3\sqrt{27} + 2\sqrt{12}}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{16 \cdot 3} - 3\sqrt{9 \cdot 3} + 2\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{6}} = \frac{5 \cdot 4\sqrt{3} - 3 \cdot 3\sqrt{3} + 2 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{20\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$.

$\frac{20\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{18}}{6} = \frac{15 \cdot 3\sqrt{2}}{6} = \frac{45\sqrt{2}}{6}$.

$\frac{45\sqrt{2}}{6} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$.

Kết quả: $\frac{15\sqrt{2}}{2}$.

c) $\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{4\sqrt{2} - 4}{2 - \sqrt{2}}$.

Lời giải: $\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}$.

$\frac{4\sqrt{2} - 4}{2 - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{2} - 1)}{2 - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{2} - 1)(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{4(2\sqrt{2} + 2 - 2 - \sqrt{2})}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

$3 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3$.

Kết quả: $3$.

3.22. Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}}\right)$ ($x \geq 0, x \neq 9$).

Lời giải: $A = \sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}}\right) = \sqrt{x} \left( \frac{3 - \sqrt{x} - (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(3 - \sqrt{x})} \right) = \sqrt{x} \left( \frac{3 - \sqrt{x} - \sqrt{x} - 3}{9 - x} \right)$.

$\sqrt{x} \left( \frac{-2\sqrt{x}}{9 - x} \right) = \sqrt{x} \cdot \frac{-2\sqrt{x}}{9 - x} = \frac{-2x}{9 - x}$.

Kết quả: $\frac{2x}{x - 9}$.

---

Trang 60 — Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài HD1. Kí hiệu $\sqrt[3]{}$ là thể tích của hình lập phương với cạnh $x$. Hãy thay dấu $?$ trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.

$x$	$2$	$?$	$?$	$64$
$V = x^3$	$8$	$27$	$64$	$?$

Lời giải:

Ta có $V = x^3$, suy ra $x = \sqrt[3]{V}.$

• Với $x = 2$ thì $V = 2^3 = 8.$
• Với $V = 27$ thì $x = \sqrt[3]{27} = 3$ (vì $3^3 = 27$).
• Với $V = 64$ thì $x = \sqrt[3]{64} = 4$ (vì $4^3 = 64$).
• Với $x = 4$ thì $V = 4^3 = 64.$

Vậy bảng hoàn chỉnh là

$x$	$2$	$3$	$4$	$64$
$V = x^3$	$8$	$27$	$64$	$4$

Trang 60 — Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài Ví dụ 1. a) Chứng tỏ rằng $\sqrt[3]{64} = 4.$

Lời giải:

a) Vì $4^3 = 64$ nên $\sqrt[3]{64} = 4.$

Trang 60 — Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài Ví dụ 1 (tiếp). b) Tính $\sqrt[3]{0}$ và $\sqrt[3]{-27}.$

Lời giải:

b) Vì $0^3 = 0$ nên $\sqrt[3]{0} = 0.$

Vì $(-3)^3 = -27$ nên $\sqrt[3]{-27} = -3.$

Kết quả:

• $\sqrt[3]{64} = 4$
• $\sqrt[3]{0} = 0$
• $\sqrt[3]{-27} = -3$

Trang 60 — Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Trang này không có bài tập/câu hỏi/luyện tập cần giải.

---

Trang 63 — Căn thức bậc ba

Luyện tập 1. Tính: a) $\sqrt[3]{125}$;
b) $\sqrt[3]{0,008}$;
c) $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$.

Lời giải: a) $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$
b) $\sqrt[3]{0,008} = \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \sqrt[3]{\frac{2^3}{10^3}} = \frac{2}{10} = 0,2$
c) $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = \sqrt[3]{-\frac{2^3}{3^3}} = -\frac{2}{3}$

Kết quả: $5;\ 0,2;\ -\frac{2}{3}.$

Luyện tập 2. Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác $0,005$.

Lời giải: Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: $\sqrt[3]{45} \approx 3,583$ (làm tròn với độ chính xác $0,005$).

Kết quả: $3,583.$

Thử thách nhỏ. Có thể xếp $125$ khối lập phương đơn vị (có cạnh bằng $1$ cm) thành một khối lập phương lớn được không nhỉ?

Lời giải: Ta có $125 = 5^3$, nên có thể xếp $125$ khối lập phương đơn vị thành một khối lập phương có cạnh bằng $5$ cm.

Kết quả: Có.