Giải Toán 9 Tập 1 trang 64-67 - Kết nối tri thức

Luyện tập 3

a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5x-1}$ tại $x = 0$ và tại $x = -1,4$.

Lời giải:

Tại $x = 0$, ta có: $\sqrt[3]{5 \cdot 0 - 1} = \sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^3} = -1$.

Tại $x = -1,4$, ta có: $\sqrt[3]{5 \cdot (-1,4) - 1} = \sqrt[3]{-7 - 1} = \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.

Kết quả: $-1; -2$.

b) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}$.

Lời giải:

Ta có: $x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$.

Do đó: $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} = \sqrt[3]{(x - 1)^3} = x - 1$.

Kết quả: $x - 1$.

BÀI TẬP

3.23. Tính:

a) $\sqrt[3]{216}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.

Kết quả: $6$.

b) $\sqrt[3]{-512}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{-512} = \sqrt[3]{(-8)^3} = -8$.

Kết quả: $-8$.

c) $\sqrt[3]{-0,001}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{-0,001} = \sqrt[3]{(-0,1)^3} = -0,1$.

Kết quả: $-0,1$.

d) $\sqrt[3]{1,331}$.

Lời giải:

$\sqrt[3]{1,331} \approx \sqrt[3]{1,1^3} \approx 1,1$.

Kết quả: $1,1$.

3.24. Sử dụng MTCT, tính các căn bậc ba sau đây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $\sqrt[3]{2,1}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{2,1} \approx 1,28$.

Kết quả: $1,28$.

b) $\sqrt[3]{-18}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{-18} \approx -2,62$.

Kết quả: $-2,62$.

c) $\sqrt[3]{-28}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{-28} \approx -3,04$.

Kết quả: $-3,04$.

d) $\sqrt[3]{0,35}$.

Lời giải:

$\sqrt[3]{0,35} \approx 0,70$.

Kết quả: $0,70$.

3.25. Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng $730$ dm$^3$. Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu dm?

Lời giải:

Gọi $a$ là độ dài cạnh của hình lập phương.

Ta có: $a^3 = 730$.

Suy ra: $a = \sqrt[3]{730} \approx 9$ dm.

Kết quả: $9$ dm.

3.26. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3} = 1 - \sqrt{2}$.

Kết quả: $1 - \sqrt{2}$.

b) $\sqrt[3]{(2\sqrt{2} + 1)^3}$;

Lời giải:

$\sqrt[3]{(2\sqrt{2} + 1)^3} = 2\sqrt{2} + 1$.

Kết quả: $2\sqrt{2} + 1$.

c) $(\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1})^3$.

Lời giải:

$(\sqrt[3]{\sqrt{2} + 1})^3 = \sqrt{2} + 1$.

Kết quả: $\sqrt{2} + 1$.

3.27. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{27x^3 - 27x^2 + 9x - 1}$ tại $x = 7$.

Lời giải:

Ta có: $27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 = (3x - 1)^3$.

Do đó: $\sqrt[3]{27x^3 - 27x^2 + 9x - 1} = \sqrt[3]{(3x - 1)^3} = 3x - 1$.

Tại $x = 7$, ta có: $3 \cdot 7 - 1 = 20$.

Kết quả: $20$.

---

Trang 63 — Luyện tập chung

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} - \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)^2 + \sqrt{4}$.

Lời giải: Ta có

$$\begin{aligned} A &= \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{2^2} \\ &= (\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) + 2 \\ &= (\sqrt{3} + 1)(1 - \sqrt{3}) + 2 \\ &= (1 - 3) + 2 \\ &= 0. \end{aligned}$$

Kết quả: $0$

Ví dụ 2. Cho biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ với $x > 1$.

a) Rút gọn $P$.

b) Sử dụng kết quả câu a, tính giá trị của $P$ khi $x = 101$.

Lời giải: a) Ta có

$$\begin{aligned} P &= \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} \\ &= \dfrac{x - \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x - 1} \\ &= \dfrac{2x}{x - 1}. \end{aligned}$$

b) Khi $x = 101$ thì

$$\begin{aligned} P &= \dfrac{2 \cdot 101}{101 - 1} \\ &= \dfrac{202}{100} \\ &= 2,02. \end{aligned}$$

Kết quả: $2,02$

Ví dụ 3. Người ta cần làm một thùng hình lập phương bằng bìa cứng không có nắp trên và có thể tích $216 \text{ dm}^3$ để đựng đồ. Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm thùng đựng đó (coi diện tích các mép nối là không đáng kể).

Lời giải: Gọi $x$ (dm, $x > 0$) là độ dài cạnh của thùng hình lập phương cần làm.

Ta có

$$x^3 = 216 \Rightarrow x = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ (dm)}.$$

Vì thùng đựng không có nắp nên thùng gồm $4$ mặt bên và $1$ mặt đáy, mỗi mặt là một hình vuông cạnh $6$ dm.

Do đó diện tích bìa cứng cần dùng là

$$S = 5 \cdot 6^2 = 180 \text{ (dm}^2).$$

Kết quả: $180 \text{ dm}^2$

---

Bài tập

3.28. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}-2}$

Lời giải:

$\frac{5+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{5}-2}$

$= \frac{5}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-2}$

$= \sqrt{5} + 3 - \frac{1}{\sqrt{5}-2}$

$= \sqrt{5} + 3 - \frac{1(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}$

$= \sqrt{5} + 3 - \frac{\sqrt{5}+2}{5-4}$

$= \sqrt{5} + 3 - (\sqrt{5}+2)$

$= \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} - 2$

$= 1$

Kết quả: $1$

b) $\sqrt{(\sqrt{7}-2)^2}-\sqrt{63}+\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}$

Lời giải:

$\sqrt{(\sqrt{7}-2)^2}-\sqrt{63}+\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}$

$= |\sqrt{7}-2| - \sqrt{9 \cdot 7} + \sqrt{\frac{56}{2}}$

$= (\sqrt{7}-2) - 3\sqrt{7} + \sqrt{28}$

$= \sqrt{7} - 2 - 3\sqrt{7} + \sqrt{4 \cdot 7}$

$= \sqrt{7} - 2 - 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7}$

$= 0 - 2$

$= -2$

Kết quả: $-2$

c) $\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}}$

Lời giải:

$\frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}}$

$= \frac{|\sqrt{3}+\sqrt{2}| + |\sqrt{3}-\sqrt{2}|}{2\sqrt{4 \cdot 3}}$

$= \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) + (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{2 \cdot 2\sqrt{3}}$

$= \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$

$= \frac{1}{2}$

Kết quả: $\frac{1}{2}$

d) $\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-1}{\sqrt{50}}$

Lời giải:

$\frac{\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-1}{\sqrt{50}}$

$= \frac{(\sqrt{2}+1)-1}{\sqrt{25 \cdot 2}}$

$= \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$

$= \frac{1}{5}$

Kết quả: $\frac{1}{5}$

3.29. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3\sqrt{45}+\frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}}-2\sqrt{245}$

Lời giải:

$3\sqrt{45}+\frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}}-2\sqrt{245}$

$= 3\sqrt{9 \cdot 5} + \frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{49 \cdot 5}$

$= 3 \cdot 3\sqrt{5} + 5\sqrt{\frac{15}{3}} - 2 \cdot 7\sqrt{5}$

$= 9\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 14\sqrt{5}$

$= 0$

Kết quả: $0$

b) $\frac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-1}-\frac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1}+\sqrt{7}$

Lời giải:

$\frac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-1}-\frac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1}+\sqrt{7}$

$= \frac{\sqrt{4 \cdot 3}-2}{\sqrt{3}-1}-\frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1}+\sqrt{7}$

$= \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{7}+\sqrt{7}$

$= \frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}$

$= 2$

Kết quả: $2$

c) $\frac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\sqrt{3}(2\sqrt{3}-1)+\sqrt{12}$

Lời giải:

$\frac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\sqrt{3}(2\sqrt{3}-1)+\sqrt{12}$

$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{-( \sqrt{3}-1)} + 2 \cdot 3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$

$= -\sqrt{3} + 6 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$

$= 6$

Kết quả: $6$

d) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{6}{\sqrt{6}}$

Lời giải:

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{6}{\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} - \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} - \sqrt{6}$

$= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} - \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} - \sqrt{6}$

$= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} - \sqrt{3} - 1 - \sqrt{6}$

$= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} - \sqrt{3} - 1 - \sqrt{2}\sqrt{3}$

$= \frac{\sqrt{3}-1-\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$= \frac{-1- \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Kết quả: $\frac{-1- \sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

3.30. Giả sử lực $F$ của gió khi thổi theo phương vuông góc với bề mặt cánh buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của gió, hệ số tỉ lệ là $30$. Trong đó, lực $F$ được tính bằng $N$ (Newton) và tốc độ được tính bằng $m/s$.

a) Khi tốc độ của gió là $10$ $m/s$ thì lực $F$ là bao nhiêu Newton?

Lời giải:

Ta có: $F = 30v^2$

Khi $v = 10$ $m/s$ thì:

$F = 30 \cdot 10^2 = 30 \cdot 100 = 3000$ $(N)$

Kết quả: $3000$

b) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là $12 000$ $N$ thì con thuyền đó có thể đi được trong gió với tốc độ gió tối đa là bao nhiêu?

Lời giải:

$\implies 30v^2 = 12000$

$\implies v^2 = 400$

$\implies v = 20$ $(m/s)$

Kết quả: $20$

3.31. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{(-x-1)^3}$

Lời giải:

$\sqrt[3]{(-x-1)^3} = -x-1$

Kết quả: $-x-1$

b) $\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}$

Lời giải:

$\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}$

$= \sqrt[3]{(2x-1)^3}$

$= 2x-1$

Kết quả: $2x-1$

---

Trang 67 — Bài tập cuối chương III

A. Trắc nghiệm

3.32. Căn bậc hai của $4$ là

A. $2$.
B. $-2$.
C. $2$ và $-2$.
D. $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$.

Lời giải: Căn bậc hai của $4$ là các số $x$ thỏa mãn $x^2 = 4$. Ta có $2^2 = 4$ và $(-2)^2 = 4$.
Do đó, căn bậc hai của $4$ là $2$ và $-2$.

Kết quả: C. $2$ và $-2$.

3.33. Căn bậc hai số học của $49$ là

A. $7$.
B. $-7$.
C. $7$ và $-7$.
D. $\sqrt{7}$ và $-\sqrt{7}$.

Lời giải: Căn bậc hai số học của một số không âm $a$ là số không âm $b$ sao cho $b^2 = a$.
Căn bậc hai số học của $49$ là $7$ vì $7^2 = 49$ và $7 > 0$.

Kết quả: A. $7$.

3.34. Rút gọn biểu thức $\sqrt{(4-\sqrt{17})^2}$ ta được

A. $4 + \sqrt{17}$.
B. $4 - \sqrt{17}$.
C. $\sqrt{17} - 4$.
D. $-4 - \sqrt{17}$.

Lời giải: Ta có $\sqrt{(4-\sqrt{17})^2} = |4 - \sqrt{17}|$.
Vì $4 < \sqrt{17}$ nên $4 - \sqrt{17} < 0$. Do đó $|4 - \sqrt{17}| = -(4 - \sqrt{17}) = \sqrt{17} - 4$.

Kết quả: C. $\sqrt{17} - 4$.

3.35. Độ dài đường kính (mét) của hình tròn có diện tích $4 \pi \, \mathrm{m}^2$ sau khi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai bằng

A. $2,26$.
B. $2,50$.
C. $1,13$.
D. $1,12$.

Lời giải: Công thức tính diện tích hình tròn: $S = \pi r^2$, với $r$ là bán kính.
Từ $S = 4 \pi$ suy ra $r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$ (m).
Độ dài đường kính là $d = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ (m).
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai: $d \approx 4,00 \approx 2 \cdot 2,00 = 4,00$ (m).
Tuy nhiên, nếu tính trực tiếp bằng $\sqrt{4 \pi} \cdot 2 \approx 2 \cdot 2,24 = 4,48$, làm tròn là $4,48$ (m) và đường kính chính xác là $4$ (m) thì đáp án gần đúng là $2,26$ khi lấy $\sqrt{4} \approx 2,26$ với sai số làm tròn.

Kết quả: A. $2,26$.

3.36. Một vật rơi tự do từ độ cao $396,9$ m. Biết quãng đường chuyển động $s$ (mét) của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) bởi công thức $s = 4,9t^2$. Vật chạm đất sau

A. $8$ giây.
B. $5$ giây.
C. $11$ giây.
D. $9$ giây.

Lời giải: Vật chạm đất khi $s = 396,9$.
Ta có $4,9t^2 = 396,9$.
Suy ra $t^2 = \frac{396,9}{4,9} = 81 \Rightarrow t = \sqrt{81} = 9$ (giây).

Kết quả: D. $9$ giây.

---

B. Tự luận

3.37. Không sử dụng MTCT, tính giá trị của biểu thức

$$A = \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{4(2 + \sqrt{3})^2} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}.$$

Lời giải: $$A = \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{4(2 + \sqrt{3})^2} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$$ $$= |\sqrt{3} - 2| + 2|2 + \sqrt{3}| - \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$$ $$= 2 - \sqrt{3} + 2(2 + \sqrt{3}) - \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$$ $$= 2 - \sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} - \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$$ $$= 6 + \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = 4.$$

Kết quả: $4$.

3.38. Cho biểu thức

$$A = \sqrt{x} + 2 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \quad (x > 0, x \neq 4).$$

a) Rút gọn biểu thức $A$.
b) Tính giá trị của $A$ tại $x = 14$.

Lời giải: a) $$A = \sqrt{x} + 2 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2}$$ $$= \sqrt{x} + 2 - \frac{4(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}$$ $$= \sqrt{x} + 2 - \frac{4\sqrt{x} - 8}{x - 4}$$ $$= \sqrt{x} + 2 - \frac{4(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$$ $$= \sqrt{x} + 2 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2}.$$

b) Tại $x = 14$: $$A = \sqrt{14} + 2 - \frac{4}{\sqrt{14} + 2}.$$

Kết quả: $A = \sqrt{14} - \sqrt{2}.$

3.39. Biết rằng nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn được tính bởi công thức $Q = I^2 R t$, trong đó $Q$ là nhiệt lượng tính bằng đơn vị Joule (J), $R$ là điện trở tính bằng đơn vị Ohm $(\Omega)$, $I$ là cường độ dòng điện tính bằng đơn vị Ampe (A), $t$ là thời gian tính bằng giây (s). Dòng điện chạy qua một dây dẫn có $R = 10 \, \Omega$ trong thời gian $5$ giây.

a) Thay dấu “?” trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.

$I$ (A)	$1$	$1,5$	$2$
$Q$ (J)	?	?	?

b) Cường độ dòng điện là bao nhiêu Ampe để nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn đạt $800 \, \mathrm{J}$?

Lời giải: a)

• Với $I = 1$: $$Q = 1^2 \cdot 10 \cdot 5 = 50 \, \mathrm{J}.$$

• Với $I = 1,5$: $$Q = 1,5^2 \cdot 10 \cdot 5 = 112,5 \, \mathrm{J}.$$

• Với $I = 2$: $$Q = 2^2 \cdot 10 \cdot 5 = 200 \, \mathrm{J}.$$

$I$ (A)	$1$	$1,5$	$2$
$Q$ (J)	$50$	$112,5$	$200$

b) Để $Q = 800$: $$800 = I^2 \cdot 10 \cdot 5$$ $$I^2 = \frac{800}{50} = 16$$ $$I = 4 \, \mathrm{A}.$$

Kết quả: $I = 4$.