Luyện tập 2

Cho tam giác ABCABC vuông tại AA có C^=45∘\widehat{C} = 45^\circ và AB=cAB = c. Tính BCBC và ACAC theo cc.

Lời giải:

Tam giác ABCABC vuông tại AA có C^=45∘\widehat{C} = 45^\circ nên tam giác ABCABC là tam giác vuông cân tại AA.

Do đó AB=AC=cAB = AC = c.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABCABC, ta có:

BC2=AB2+AC2=c2+c2=2c2.\begin{aligned} BC^2 &= AB^2 + AC^2 \\ &= c^2 + c^2 \\ &= 2c^2. \end{aligned}

Suy ra BC=2cBC = \sqrt{2}c.

Kết quả: BC=2cBC = \sqrt{2}c, AC=cAC = c.

HĐ4

Cho tam giác ABCABC vuông tại CC, có A^=α\widehat{A} = \alpha, B^=β\widehat{B} = \beta (H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc α\alpha, β\beta theo độ dài các cạnh của tam giác ABCABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Lời giải:

Theo định nghĩa, ta có:

sin⁡α=BCAB,cos⁡α=ACAB,tan⁡α=BCAC,cot⁡α=ACBC.\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{BC}{AB}, \\ \cos\alpha &= \frac{AC}{AB}, \\ \tan\alpha &= \frac{BC}{AC}, \\ \cot\alpha &= \frac{AC}{BC}. \end{aligned} sin⁡β=ACAB,cos⁡β=BCAB,tan⁡β=ACBC,cot⁡β=BCAC.\begin{aligned} \sin\beta &= \frac{AC}{AB}, \\ \cos\beta &= \frac{BC}{AB}, \\ \tan\beta &= \frac{AC}{BC}, \\ \cot\beta &= \frac{BC}{AC}. \end{aligned}

Do đó, ta có các cặp tỉ số bằng nhau sau:

  • sin⁡α=cos⁡β,\sin\alpha = \cos\beta,
  • cos⁡α=sin⁡β,\cos\alpha = \sin\beta,
  • tan⁡α=cot⁡β,\tan\alpha = \cot\beta,
  • cot⁡α=tan⁡β.\cot\alpha = \tan\beta.

Ví dụ 3

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45∘45^\circ: sin⁡60∘\sin 60^\circ, cos⁡75∘\cos 75^\circ, sin⁡52∘30′\sin 52^\circ 30', tan⁡80∘\tan 80^\circ, cot⁡82∘\cot 82^\circ.

Lời giải:

Ta có:

sin⁡60∘=cos⁡(90∘−60∘)=cos⁡30∘,cos⁡75∘=sin⁡(90∘−75∘)=sin⁡15∘,sin⁡52∘30′=cos⁡(90∘−52∘30′)=cos⁡37∘30′,tan⁡80∘=cot⁡(90∘−80∘)=cot⁡10∘,cot⁡82∘=tan⁡(90∘−82∘)=tan⁡8∘.\begin{aligned} \sin 60^\circ &= \cos(90^\circ - 60^\circ) = \cos 30^\circ, \\ \cos 75^\circ &= \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ, \\ \sin 52^\circ 30' &= \cos(90^\circ - 52^\circ 30') = \cos 37^\circ 30', \\ \tan 80^\circ &= \cot(90^\circ - 80^\circ) = \cot 10^\circ, \\ \cot 82^\circ &= \tan(90^\circ - 82^\circ) = \tan 8^\circ. \end{aligned}

Luyện tập 3

Hãy giải thích tại sao sin⁡35∘=cos⁡55∘\sin 35^\circ = \cos 55^\circ, tan⁡35∘=cot⁡55∘\tan 35^\circ = \cot 55^\circ.

Lời giải:

Ta có:

sin⁡35∘=cos⁡(90∘−35∘)=cos⁡55∘,tan⁡35∘=cot⁡(90∘−35∘)=cot⁡55∘.\begin{aligned} \sin 35^\circ &= \cos(90^\circ - 35^\circ) = \cos 55^\circ, \\ \tan 35^\circ &= \cot(90^\circ - 35^\circ) = \cot 55^\circ. \end{aligned}

Trang 73 —

Luyện tập 4. Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin⁡40∘54′\sin 40^\circ54';

b) cos⁡52∘15′\cos 52^\circ15';

c) tan⁡69∘36′\tan 69^\circ36';

d) cot⁡25∘18′\cot 25^\circ18'.

Lời giải:

a) sin⁡40∘54′\sin 40^\circ54'

Để tính sin⁡40∘54′\sin 40^\circ54', ta sử dụng máy tính cầm tay:

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Nhập vào: sin⁡40∘54′\sin 40^\circ54'.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: sin⁡40∘54′≈0,648\sin 40^\circ54' \approx 0,648.

b) cos⁡52∘15′\cos 52^\circ15'

Tương tự, để tính cos⁡52∘15′\cos 52^\circ15':

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Nhập vào: cos⁡52∘15′\cos 52^\circ15'.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: cos⁡52∘15′≈0,616\cos 52^\circ15' \approx 0,616.

c) tan⁡69∘36′\tan 69^\circ36'

Để tính tan⁡69∘36′\tan 69^\circ36':

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Nhập vào: tan⁡69∘36′\tan 69^\circ36'.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: tan⁡69∘36′≈2,703\tan 69^\circ36' \approx 2,703.

d) cot⁡25∘18′\cot 25^\circ18'

Để tính cot⁡25∘18′\cot 25^\circ18', ta có thể tính tan⁡25∘18′\tan 25^\circ18' rồi lấy nghịch đảo:

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Nhập vào: tan⁡25∘18′\tan 25^\circ18'.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: tan⁡25∘18′≈0,472\tan 25^\circ18' \approx 0,472.

Do đó, cot⁡25∘18′=1tan⁡25∘18′≈10.472≈2,118\cot 25^\circ18' = \frac{1}{\tan 25^\circ18'} \approx \frac{1}{0.472} \approx 2,118.

Kết quả: a) sin⁡40∘54′≈0,648\sin 40^\circ54' \approx 0,648; b) cos⁡52∘15′≈0,616\cos 52^\circ15' \approx 0,616; c) tan⁡69∘36′≈2,703\tan 69^\circ36' \approx 2,703; d) cot⁡25∘18′≈2,118\cot 25^\circ18' \approx 2,118.

Ví dụ 5. Dùng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết sin⁡α1=0,3214\sin \alpha_1 = 0,3214, cos⁡α2=0,4321\cos \alpha_2 = 0,4321, tan⁡α3=1,2742\tan \alpha_3 = 1,2742 và cot⁡α4=1,5384\cot \alpha_4 = 1,5384.

Lời giải:

Tìm α1\alpha_1 biết sin⁡α1=0,3214\sin \alpha_1 = 0,3214

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Chọn hàm sin⁡−1\sin^{-1} và nhập vào: 0.32140.3214.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: α1≈18∘46′\alpha_1 \approx 18^\circ46'.

Tìm α2\alpha_2 biết cos⁡α2=0,4321\cos \alpha_2 = 0,4321

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Chọn hàm cos⁡−1\cos^{-1} và nhập vào: 0.43210.4321.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: α2≈64∘24′\alpha_2 \approx 64^\circ24'.

Tìm α3\alpha_3 biết tan⁡α3=1,2742\tan \alpha_3 = 1,2742

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Chọn hàm tan⁡−1\tan^{-1} và nhập vào: 1.27421.2742.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: α3≈51∘50′\alpha_3 \approx 51^\circ50'.

Tìm α4\alpha_4 biết cot⁡α4=1,5384\cot \alpha_4 = 1,5384

Ta có: cot⁡α4=1tan⁡α4=1,5384\cot \alpha_4 = \frac{1}{\tan \alpha_4} = 1,5384.

  • Bật máy tính và chọn chế độ tính toán.
  • Chọn hàm tan⁡−1\tan^{-1} và nhập vào: 11.5384\frac{1}{1.5384}.

Kết quả hiển thị trên máy tính là: α4≈33∘00′\alpha_4 \approx 33^\circ00'.

Kết quả: α1≈18∘46′\alpha_1 \approx 18^\circ46'; α2≈64∘24′\alpha_2 \approx 64^\circ24'; α3≈51∘50′\alpha_3 \approx 51^\circ50'; α4≈33∘00′\alpha_4 \approx 33^\circ00'.

Luyện tập 5

Đề bài

Dùng máy tính cầm tay, tìm các góc α\alpha (làm tròn đến phút), biết:

a) sin⁡α=0,3782;\sin \alpha = 0,3782;

b) cos⁡α=0,6251;\cos \alpha = 0,6251;

c) tan⁡α=2,154;\tan \alpha = 2,154;

d) cot⁡α=3,253.\cot \alpha = 3,253.

Lời giải:

a) sin⁡α=0,3782\sin \alpha = 0,3782

  • Bước 1: Bật máy tính và chọn chế độ tính toán góc (độ).
  • Bước 2: Nhập vào máy tính: sin⁡−1(0.3782)\sin^{-1}(0.3782).
  • Bước 3: Kết quả: α≈22,2∘.\alpha \approx 22,2^{\circ}.
  • Bước 4: Đổi 0.20.2 thành phút: 0.2×60=120.2 \times 60 = 12 phút.

α≈22∘12′.\alpha \approx 22^{\circ}12'.

b) cos⁡α=0,6251\cos \alpha = 0,6251

  • Bước 1: Bật máy tính và chọn chế độ tính toán góc (độ).
  • Bước 2: Nhập vào máy tính: cos⁡−1(0.6251)\cos^{-1}(0.6251).
  • Bước 3: Kết quả: α≈51,3∘.\alpha \approx 51,3^{\circ}.
  • Bước 4: Đổi 0.30.3 thành phút: 0.3×60=180.3 \times 60 = 18 phút.

α≈51∘18′.\alpha \approx 51^{\circ}18'.

c) tan⁡α=2,154\tan \alpha = 2,154

  • Bước 1: Bật máy tính và chọn chế độ tính toán góc (độ).
  • Bước 2: Nhập vào máy tính: tan⁡−1(2.154)\tan^{-1}(2.154).
  • Bước 3: Kết quả: α≈65,1∘.\alpha \approx 65,1^{\circ}.
  • Bước 4: Đổi 0.10.1 thành phút: 0.1×60=60.1 \times 60 = 6 phút.

α≈65∘6′.\alpha \approx 65^{\circ}6'.

d) cot⁡α=3,253\cot \alpha = 3,253

Ta có: cot⁡α=3,253⇒tan⁡α=13.253.\cot \alpha = 3,253 \Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{3.253}.

  • Bước 1: Bật máy tính và chọn chế độ tính toán góc (độ).
  • Bước 2: Nhập vào máy tính: tan⁡−1(13.253)\tan^{-1}(\frac{1}{3.253}).
  • Bước 3: Kết quả: α≈17,1∘.\alpha \approx 17,1^{\circ}.
  • Bước 4: Đổi 0.10.1 thành phút: 0.1×60=60.1 \times 60 = 6 phút.

α≈17∘6′.\alpha \approx 17^{\circ}6'.

Kết quả: a) α≈22∘12′.\alpha \approx 22^{\circ}12'. b) α≈51∘18′.\alpha \approx 51^{\circ}18'. c) α≈65∘6′.\alpha \approx 65^{\circ}6'. d) α≈17∘6′.\alpha \approx 17^{\circ}6'.

Vận dụng

Đề bài

Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh toà nhà dài 44 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,40,4 m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Lời giải:

a) Tính góc dốc

Gọi α\alpha là góc dốc.

Tỷ số giữa độ cao của đỉnh dốc và độ dài đoạn dốc vào sảnh toà nhà là:

sin⁡α=0.44=0.1.\sin \alpha = \frac{0.4}{4} = 0.1.

  • Bước 1: Bật máy tính và chọn chế độ tính toán góc (độ).
  • Bước 2: Nhập vào máy tính: sin⁡−1(0.1)\sin^{-1}(0.1).
  • Bước 3: Kết quả: α≈5,7∘.\alpha \approx 5,7^{\circ}.
  • Bước 4: Đổi 0.70.7 thành phút: 0.7×60=420.7 \times 60 = 42 phút.

α≈5∘42′.\alpha \approx 5^{\circ}42'.

b) So sánh với tiêu chuẩn

Theo tiêu chuẩn, góc dốc cho người đi xe lăn thường không vượt quá 5∘.5^{\circ}.

Vì 5∘42′>5∘,5^{\circ}42' > 5^{\circ}, nên góc dốc này không đúng tiêu chuẩn.

Kết quả: a) α≈5∘42′.\alpha \approx 5^{\circ}42'. b) Góc dốc không đúng tiêu chuẩn.

Tranh luận

Đề bài

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A,BA, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn AA và BB là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm CC về phía bờ sông có chứa BB sao cho tam giác ABCABC vuông tại B.B. Ở bên bờ sông chứa B,B, người ta đo được AC=αAC = \alpha và BC=aBC = a (H.4.10). Với các dữ kiện đó, đã tính được khoảng cách ABAB chưa? Nếu được, hãy tính AB,AB, biết α=55∘,\alpha = 55^{\circ}, a=70a = 70 m.

Lời giải:

Xét ΔABC\Delta ABC vuông tại BB có:

tan⁡α=ABBC=ABa.\tan \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{a}.

⇒AB=a⋅tan⁡α=70⋅tan⁡55∘≈99,97\Rightarrow AB = a \cdot \tan \alpha = 70 \cdot \tan 55^{\circ} \approx 99,97 m.

Kết quả: AB≈99,97 m.AB \approx 99,97\,\text{m}.

Trang này có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải không?

Trang này có các bài tập cần giải.

Bài 4.1

Bài 4.1. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA. Tính các tỉ số lượng giác sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan, cot⁡\cot của các góc nhọn BB và CC khi biết:

a)a) AB=8AB = 8 cm, BC=17BC = 17 cm;

Lời giải:

Ta có:

AC=BC2−AB2=172−82=225=15 cm.AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm}.

Khi đó,

sin⁡B=ACBC=1517,cos⁡B=ABBC=817,tan⁡B=ACAB=158,cot⁡B=ABAC=815,sin⁡C=ABBC=817,cos⁡C=ACBC=1517,tan⁡C=ABAC=815,cot⁡C=ACAB=158.\begin{aligned} &\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{17}, \\ &\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{17}, \\ &\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{8}, \\ &\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}, \\ &\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{17}, \\ &\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{17}, \\ &\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15}, \\ &\cot C = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{8}. \end{aligned}

Kết quả: sin⁡B=1517,cos⁡B=817,tan⁡B=158,cot⁡B=815,sin⁡C=817,cos⁡C=1517,tan⁡C=815,cot⁡C=158.\sin B = \frac{15}{17}, \cos B = \frac{8}{17}, \tan B = \frac{15}{8}, \cot B = \frac{8}{15}, \sin C = \frac{8}{17}, \cos C = \frac{15}{17}, \tan C = \frac{8}{15}, \cot C = \frac{15}{8}.

Bài 4.2

Bài 4.2. Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60∘60^\circ và cạnh kề với góc 60∘60^\circ bằng 33 cm. Hãy tính cạnh đối của góc này.

Lời giải:

Gọi ΔABC\Delta ABC vuông tại AA với B^=60∘ .\widehat{B} = 60^\circ \, .

Ta có

tan⁡B=ACAB  ⟹  tan⁡60∘=AC3  ⟹  AC=3⋅tan⁡60∘=33 cm.\tan B = \frac{AC}{AB} \implies \tan 60^\circ = \frac{AC}{3} \implies AC = 3 \cdot \tan 60^\circ = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}.

Kết quả: 33.3\sqrt{3}.

Bài 4.3

Bài 4.3. Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30∘30^\circ và cạnh đối với góc này bằng 55 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Lời giải:

Gọi ΔABC\Delta ABC vuông tại AA với B^=30∘ .\widehat{B} = 30^\circ \, .

Ta có

sin⁡B=ACBC  ⟹  sin⁡30∘=5BC  ⟹  BC=5sin⁡30∘=10 cm.\sin B = \frac{AC}{BC} \implies \sin 30^\circ = \frac{5}{BC} \implies BC = \frac{5}{\sin 30^\circ} = 10 \, \text{cm}.

Kết quả: 10.10.

Bài 4.4

Bài 4.4. Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 33 và 3\sqrt{3}. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

Lời giải:

Gọi ABCDABCD là hình chữ nhật với AB=3,AD=3 .AB = \sqrt{3}, AD = 3 \, .

Ta có

tan⁡ADB^=ABAD=33=tan⁡30∘  ⟹  ADB^=30∘.\tan \widehat{ADB} = \frac{AB}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan 30^\circ \implies \widehat{ADB} = 30^\circ.

Kết quả: 30∘.30^\circ.

Bài 4.5

Bài 4.5. a)a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45∘:45^\circ:

sin⁡55∘\sin 55^\circ, cos⁡62∘\cos 62^\circ, tan⁡57∘\tan 57^\circ, cot⁡64∘\cot 64^\circ.

Lời giải:

a)a)

  • Ta có
sin⁡55∘=cos⁡(90∘−55∘)=cos⁡35∘,cos⁡62∘=sin⁡(90∘−62∘)=sin⁡28∘,tan⁡57∘=cot⁡(90∘−57∘)=cot⁡33∘,cot⁡64∘=tan⁡(90∘−64∘)=tan⁡26∘.\begin{aligned} \sin 55^\circ &= \cos (90^\circ - 55^\circ) = \cos 35^\circ, \\ \cos 62^\circ &= \sin (90^\circ - 62^\circ) = \sin 28^\circ, \\ \tan 57^\circ &= \cot (90^\circ - 57^\circ) = \cot 33^\circ, \\ \cot 64^\circ &= \tan (90^\circ - 64^\circ) = \tan 26^\circ. \end{aligned}

Kết quả: cos⁡35∘,sin⁡28∘,cot⁡33∘,tan⁡26∘.\cos 35^\circ, \sin 28^\circ, \cot 33^\circ, \tan 26^\circ.

b)b) Tính tan⁡25∘\tan 25^\circ, tan⁡34∘−cot⁡56∘\tan 34^\circ - \cot 56^\circ.

Lời giải:

b)b)

  • Ta có
tan⁡25∘≈0,4663,tan⁡34∘−cot⁡56∘≈0,6745−0,6745=0.\begin{aligned} \tan 25^\circ &\approx 0,4663, \\ \tan 34^\circ - \cot 56^\circ & \approx 0,6745 - 0,6745 = 0. \end{aligned}

Kết quả: 0.4663,0.0.4663, 0.

Bài 4.6

Bài 4.6. Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a)a) sin⁡40∘12′\sin 40^\circ 12';

b)b) cos⁡52∘54′\cos 52^\circ 54';

c)c) tan⁡63∘36′\tan 63^\circ 36';

d)d) cot⁡25∘18′\cot 25^\circ 18'.

Lời giải:

a)a) sin⁡40∘12′≈0,645.\sin 40^\circ 12' \approx 0,645.

b)b) cos⁡52∘54′≈0,608.\cos 52^\circ 54' \approx 0,608.

c)c) tan⁡63∘36′≈2,014.\tan 63^\circ 36' \approx 2,014.

d)d) cot⁡25∘18′≈2,125.\cot 25^\circ 18' \approx 2,125.

Kết quả: 0.645,0.608,2.014,2.125.0.645, 0.608, 2.014, 2.125.

Bài 4.7

Bài 4.7. Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn xx (làm tròn đến phút), biết rằng:

a)a) sin⁡x=0,2368;\sin x = 0,2368;

b)b) cos⁡x=0,6224;\cos x = 0,6224;

c)c) tan⁡x=1,236;\tan x = 1,236;

d)d) cot⁡x=2,154.\cot x = 2,154.

Lời giải:

a)a) sin⁡x=0,2368  ⟹  x≈13∘42′.\sin x = 0,2368 \implies x \approx 13^\circ 42'.

b)b) cos⁡x=0,6224  ⟹  x≈51∘29′.\cos x = 0,6224 \implies x \approx 51^\circ 29'.

c)c) tan⁡x=1,236  ⟹  x≈51∘0′.\tan x = 1,236 \implies x \approx 51^\circ 0'.

d)d) cot⁡x=2,154  ⟹  x≈25∘0′.\cot x = 2,154 \implies x \approx 25^\circ 0'.

Kết quả: 13∘42′,51∘29′,51∘0′,25∘0′.13^\circ 42', 51^\circ 29', 51^\circ 0', 25^\circ 0'.