Trang 76 — Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài tập

Đề bài không yêu cầu giải tập cụ thể trên trang này mà chỉ có phần lý thuyết và hình minh họa kèm theo. Tuy nhiên, có một vấn đề thực tiễn được đưa ra:

Đề do chiều cao của một toà lâu đài, người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm MM. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh P′P' của toà lâu đài dưới góc nhọn α\alpha. Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại điểm NN, NM=20 mNM = 20\ \text{m}, thì nhìn thấy đỉnh P′P' dưới góc nhọn β\beta (β<α\beta < \alpha). Biết chiều cao giác kế là 1,6 m1,6\ \text{m}, hãy tính chiều cao của toà lâu đài.

Lời giải:

Gọi chiều cao của toà lâu đài là hh, và khoảng cách từ MM đến chân toà lâu đài là xx.

Từ MM, ta có:

tan⁡α=h−1.6x\tan \alpha = \frac{h - 1.6}{x}

Từ NN, ta có:

tan⁡β=h−1.6x+20\tan \beta = \frac{h - 1.6}{x + 20}

Từ đó ta có:

tan⁡αtan⁡β=h−1.6xh−1.6x+20=x+20x\frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac{\frac{h - 1.6}{x}}{\frac{h - 1.6}{x + 20}} = \frac{x + 20}{x}

Do đó,

tan⁡α⋅x=tan⁡β⋅(x+20)\tan \alpha \cdot x = \tan \beta \cdot (x + 20) tan⁡α⋅x=tan⁡β⋅x+20tan⁡β\tan \alpha \cdot x = \tan \beta \cdot x + 20 \tan \beta x(tan⁡α−tan⁡β)=20tan⁡βx(\tan \alpha - \tan \beta) = 20 \tan \beta x=20tan⁡βtan⁡α−tan⁡βx = \frac{20 \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta}

Thay xx vào phương trình đầu tiên:

h−1.6=20tan⁡αtan⁡βtan⁡α−tan⁡βh - 1.6 = \frac{20 \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta} h=20tan⁡αtan⁡βtan⁡α−tan⁡β+1.6h = \frac{20 \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta} + 1.6

Kết quả: h=20tan⁡αtan⁡βtan⁡α−tan⁡β+1.6h = \frac{20 \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta} + 1.6

Trang 77 —

Luyện tập 1.

1. Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 65∘65^\circ (tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)?

Lời giải:

Gọi xx (m) là khoảng cách từ chân thang đến chân tường.

Độ cao của thang so với mặt đất là 3⋅sin⁡65∘3 \cdot \sin 65^\circ.

Khoảng cách từ chân thang đến chân tường là x=3⋅cos⁡65∘x = 3 \cdot \cos 65^\circ.

Ta có: x=3⋅cos⁡65∘≈1,27x = 3 \cdot \cos 65^\circ \approx 1,27 (m).

Kết quả: 1,271,27

2. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mỗi sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α\alpha bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)? (H.4.15).

Lời giải:

Ta có cos⁡α=250320\cos \alpha = \frac{250}{320}.

Suy ra α=arccos⁡250320≈38∘37′\alpha = \arccos \frac{250}{320} \approx 38^\circ 37'.

Kết quả: 38∘37′38^\circ 37'

Trang này có BÀI TẬP / CÂU HỎI / LUYỆN TẬP / VÍ DỤ cần giải không?

Trang này có các phần: Định lí 2, Chú ý, Ví dụ 2, Luyện tập 2, Ví dụ 3. Trong đó, Ví dụ 2, Luyện tập 2, Ví dụ 3 là các phần cần giải.

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34∘34^\circ và bóng của một toà tháp trên mặt đất dài 8,68,6 m (H.4.17). Tính chiều cao của toà tháp đó (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Ta nhận thấy đường cao của tháp đối diện với góc 34∘34^\circ (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và bóng của tháp trên mặt đất).

Theo Định lí 2, ta có: h=8,6⋅tan⁡34∘≈5,8h = 8,6 \cdot \tan 34^\circ \approx 5,8 (m).

Kết quả: 66

Luyện tập 2

Luyện tập 2. Bóng trên mặt đất của một cây dài 2525 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 40∘40^\circ (H.4.18).

Lời giải:

Theo Định lí 2, ta có: h=25⋅tan⁡40∘≈21,0h = 25 \cdot \tan 40^\circ \approx 21,0 (m).

Đổi 21,021,0 m =210= 210 dm.

Kết quả: 210210 dm

Ví dụ 3

Ví dụ 3. Cho tam giác vuông ABCABC với các cạnh góc vuông AB=5,AC=8AB = 5, AC = 8 (H.4.19). Hãy tính cạnh BCBC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) và các góc B,CB, C (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Xét ΔABC\Delta ABC vuông tại AA.

Cách 1. Theo định lí Pythagore, ta có: BC=AB2+AC2=52+82≈9,4.BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} \approx 9,4.

Ta có tan⁡C=ABAC=58=0,625\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{8} = 0,625. Từ đó tìm được C^≈32∘,\hat{C} \approx 32^\circ, suy ra B^=90∘−C^≈90∘−32∘=58∘\hat{B} = 90^\circ - \hat{C} \approx 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ.

Kết quả: 9,4;32∘;58∘9,4; 32^\circ; 58^\circ

Trang 79 — Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Luyện tập 4

Luyện tập 4. Giải tam giác ABCABC vuông tại AA, biết BC=9BC = 9, C^=53∘\widehat{C} = 53^\circ.

Lời giải:

Xét △ABC\triangle ABC vuông tại AA, ta có:

  • B^=90∘−C^=90∘−53∘=37∘\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ.

  • AB=BC⋅sin⁡C=9⋅sin⁡53∘≈9⋅0,799=7,191AB = BC \cdot \sin C = 9 \cdot \sin 53^\circ \approx 9 \cdot 0,799 = 7,191.

  • AC=BC⋅cos⁡C=9⋅cos⁡53∘≈9⋅0,602=5,418AC = BC \cdot \cos C = 9 \cdot \cos 53^\circ \approx 9 \cdot 0,602 = 5,418.

Kết quả: B^=37∘\widehat{B} = 37^\circ, AB≈7,191AB \approx 7,191, AC≈5,418AC \approx 5,418.

Vận dụng

Vận dụng. Giải bài toán ở tình huống mở đầu với α=27∘\alpha = 27^\circ và β=19∘\beta = 19^\circ.

Lời giải:

  • C^=90∘−β=90∘−19∘=71∘\widehat{C} = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 19^\circ = 71^\circ.

  • A^=α=27∘\widehat{A} = \alpha = 27^\circ.

  • Ta có tan⁡α=ABAC⇒tan⁡27∘=ABAC\tan \alpha = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \tan 27^\circ = \frac{AB}{AC}.

  • tan⁡β=ACAB⇒tan⁡19∘=ACAB\tan \beta = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \tan 19^\circ = \frac{AC}{AB}.

Từ đó, ta có: tan⁡27∘=1tan⁡19∘\tan 27^\circ = \frac{1}{\tan 19^\circ}.

  • Gọi AB=xAB = x. Khi đó AC=x⋅tan⁡27∘AC = x \cdot \tan 27^\circ.

  • Chiều cao của tháp: h=AB+AC⋅tan⁡β=x+x⋅tan⁡27∘⋅tan⁡19∘h = AB + AC \cdot \tan \beta = x + x \cdot \tan 27^\circ \cdot \tan 19^\circ.

  • Ta có hệ phương trình:

h=x+x⋅tan⁡27∘⋅tan⁡19∘=x(1+tan⁡27∘⋅tan⁡19∘).\begin{aligned} h &= x + x \cdot \tan 27^\circ \cdot \tan 19^\circ \\ &= x ( 1 + \tan 27^\circ \cdot \tan 19^\circ). \end{aligned}

Do đó, ta tính được:

x=h1+tan⁡27∘⋅tan⁡19∘≈h1+0,5095⋅0,3443≈h1,1754.\begin{aligned} x &= \frac{h}{1 + \tan 27^\circ \cdot \tan 19^\circ} \\ &\approx \frac{h}{1 + 0,5095 \cdot 0,3443} \\ &\approx \frac{h}{1,1754}. \end{aligned}

Thay giá trị hh, ta có:

x≈h1,1754≈0,8506h.\begin{aligned} x &\approx \frac{h}{1,1754} \\ &\approx 0,8506h. \end{aligned}

Vì vậy, khoảng cách AB≈0,8506hAB \approx 0,8506h.

Kết quả: AB≈0,8506hAB \approx 0,8506h.