Trang 80 — Chương 4: Một số hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 4.8. Giải tam giác ABCABC vuông tại AA có BC=a,AC=b,AB=cBC = a, AC = b, AB = c, trong các trường hợp: a) a=21,b=18;a = 21, b = 18;

b) b=10,C^=30∘;b = 10, \hat{C} = 30^\circ;

c) c=5,b=3.c = 5, b = 3.

Lời giải:

a) a=21,b=18;a = 21, b = 18;

Ta có:

  • a=BC=21a = BC = 21
  • b=AC=18b = AC = 18

Theo định lý Pythagore:

c=AB=a2−b2=212−182=441−324=117=313c = AB = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{21^2 - 18^2} = \sqrt{441 - 324} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}

Ta có:

sin⁡B=ba=1821=67  ⟹  B^≈58.41∘\sin B = \frac{b}{a} = \frac{18}{21} = \frac{6}{7} \implies \hat{B} \approx 58.41^\circ C^=90∘−B^≈90∘−58.41∘=31.59∘\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \approx 90^\circ - 58.41^\circ = 31.59^\circ

Kết quả: c=313,B^≈58.41∘,C^≈31.59∘c = 3\sqrt{13}, \hat{B} \approx 58.41^\circ, \hat{C} \approx 31.59^\circ

b) b=10,C^=30∘;b = 10, \hat{C} = 30^\circ;

Ta có:

  • b=AC=10b = AC = 10
  • C^=30∘\hat{C} = 30^\circ

Suy ra:

B^=90∘−30∘=60∘\hat{B} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ c=AB=b⋅cot⁡30∘=10⋅3=103c = AB = b \cdot \cot 30^\circ = 10 \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3} a=BC=bsin⁡30∘=20a = BC = \frac{b}{\sin 30^\circ} = 20

Kết quả: a=20,c=103,B^=60∘a = 20, c = 10\sqrt{3}, \hat{B} = 60^\circ

c) c=5,b=3.c = 5, b = 3.

Ta có:

  • c=AB=5c = AB = 5
  • b=AC=3b = AC = 3

Theo định lý Pythagore:

a=BC=b2+c2=32+52=9+25=34a = BC = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}

Ta có:

sin⁡B=ba=334  ⟹  B^≈31.02∘\sin B = \frac{b}{a} = \frac{3}{\sqrt{34}} \implies \hat{B} \approx 31.02^\circ C^=90∘−B^≈90∘−31.02∘=58.98∘\hat{C} = 90^\circ - \hat{B} \approx 90^\circ - 31.02^\circ = 58.98^\circ

Kết quả: a=34,B^≈31.02∘,C^≈58.98∘a = \sqrt{34}, \hat{B} \approx 31.02^\circ, \hat{C} \approx 58.98^\circ

Bài 4.9. Tính góc nghiêng α\alpha của thùng xe chở rác trong Hình 4.22.

Lời giải:

Hình vẽ mô tả một tam giác vuông với các cạnh:

  • Cạnh đối với góc α\alpha: 44 m (chiều cao của thùng xe)
  • Cạnh kề với góc α\alpha: 55 m (chiều dài của sàn xe)

Ta có:

tan⁡α=45  ⟹  α=arctan⁡45≈38.66∘\tan \alpha = \frac{4}{5} \implies \alpha = \arctan \frac{4}{5} \approx 38.66^\circ

Kết quả: α≈38.66∘\alpha \approx 38.66^\circ

Bài 4.10. Tìm góc nghiêng α\alpha và chiều rộng ABAB của mái nhà kho trong Hình 4.23.

Lời giải:

Hình vẽ mô tả một tam giác vuông với các cạnh:

  • Cạnh đối với góc α\alpha: 0.90.9 m (chiều cao của mái nhà)
  • Cạnh kề với góc α\alpha: 1515 m (nửa chiều dài của mái nhà)

Ta có:

tan⁡α=0.915=0.06  ⟹  α=arctan⁡0.06≈3.43∘\tan \alpha = \frac{0.9}{15} = 0.06 \implies \alpha = \arctan 0.06 \approx 3.43^\circ

Chiều rộng ABAB của mái nhà là:

AB=2⋅15⋅tan⁡α=2⋅15⋅0.06=1.8 mAB = 2 \cdot 15 \cdot \tan \alpha = 2 \cdot 15 \cdot 0.06 = 1.8 \text{ m}

Kết quả: α≈3.43∘,AB=1.8 m\alpha \approx 3.43^\circ, AB = 1.8 \text{ m}

Bài 4.11. Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài 232\sqrt{3} và 22.

Lời giải:

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi OO là giao điểm của hai đường chéo.

Ta có:

  • Đường chéo dài 232\sqrt{3} chia hình thoi thành hai tam giác vuông có các cạnh:
    • Cạnh đối với góc α\alpha: 3\sqrt{3}
    • Cạnh kề với góc α\alpha: 11
tan⁡α=31=3  ⟹  α=60∘\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ

Các góc của hình thoi là:

  • A^=2⋅60∘=120∘\hat{A} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ
  • B^=180∘−120∘=60∘\hat{B} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

Kết quả: A^=C^=120∘,B^=D^=60∘\hat{A} = \hat{C} = 120^\circ, \hat{B} = \hat{D} = 60^\circ

Bài 4.12. Cho hình thang ABCDABCD (AD//BCAD // BC) có AD=16AD = 16 cm, BC=4BC = 4 cm và A^=B^=ACD^=90∘\hat{A} = \hat{B} = \hat{ACD} = 90^\circ.

a) Kẻ đường cao CECE của tam giác ACDACD. Chứng minh △ACD=△ACE\triangle ACD = \triangle ACE. Tính sin⁡\sin của các góc ADC,ACEADC, ACE và suy ra AC2=AE⋅ADAC^2 = AE \cdot AD. Từ đó tính ACAC.

b) Tính góc DD của hình thang.

Lời giải:

a) Chứng minh △ACD=△ACE\triangle ACD = \triangle ACE

Ta có:

  • ACD^=ACE^=90∘\hat{ACD} = \hat{ACE} = 90^\circ
  • ACAC chung
  • CAD^=CAE^\hat{CAD} = \hat{CAE} (cùng phụ với ACE^\hat{ACE})

Suy ra △ACD=△ACE\triangle ACD = \triangle ACE.

Ta có:

sin⁡ADC=sin⁡ACE=CEAC=BCAC=4AC\sin ADC = \sin ACE = \frac{CE}{AC} = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{AC} sin⁡ACE=AEAC\sin ACE = \frac{AE}{AC}

Từ đó:

4AC=AEAC  ⟹  AC2=AE⋅AD\frac{4}{AC} = \frac{AE}{AC} \implies AC^2 = AE \cdot AD AC=AE⋅AD=4⋅16=8 cmAC = \sqrt{AE \cdot AD} = \sqrt{4 \cdot 16} = 8 \text{ cm}

b) Tính góc DD của hình thang

Ta có:

sin⁡D=CECD=BCAD=416=14  ⟹  D^≈14.48∘\sin D = \frac{CE}{CD} = \frac{BC}{AD} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \implies \hat{D} \approx 14.48^\circ

Kết quả: AC=8 cm,D^≈14.48∘AC = 8 \text{ cm}, \hat{D} \approx 14.48^\circ

Bài 4.13. Một người đứng tại điểm AA, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm BB là 1.21.2 m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương BB của ngọn cây (cây có gốc ở tại điểm CC cách BB là 4.84.8 m, BB nằm giữa AA và CC). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1.651.65 m. Tính chiều cao của cây.

Lời giải:

Ta có:

  • AB=1.2AB = 1.2 m
  • BC=4.8BC = 4.8 m
  • h1=1.65h_1 = 1.65 m (chiều cao từ mặt đất đến mắt người)

Vì góc tới bằng góc phản xạ:

tan⁡∠ABC=tan⁡∠CBH\tan \angle ABC = \tan \angle CBH

Ta có:

CHBC=h1AB  ⟹  CH=h1⋅BCAB=1.65⋅4.81.2=6.6 m\frac{CH}{BC} = \frac{h_1}{AB} \implies CH = \frac{h_1 \cdot BC}{AB} = \frac{1.65 \cdot 4.8}{1.2} = 6.6 \text{ m}

Chiều cao của cây:

h=CH+h1=6.6+1.65=8.25 mh = CH + h_1 = 6.6 + 1.65 = 8.25 \text{ m}

Kết quả: h=8.25 mh = 8.25 \text{ m}

Trang 81 — Luyện tập chung

Ví dụ 1

Đề bài: Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, AB=5AB = 5 cm, AC=12AC = 12 cm.
a) Tính các tỉ số lượng giác của góc BB.
b) Từ kết quả câu a) suy ra các tỉ số lượng giác của góc CC.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABCABC vuông tại AA. Theo định lý Pythagore, ta có
BC2=AB2+AC2=52+122=169BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 169, suy ra BC=13BC = 13 cm.

Ta có:
sin⁡B=ACBC=1213\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13},
cos⁡B=ABBC=513\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13},
tan⁡B=ACAB=125\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5},
cot⁡B=ABAC=512\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{12}.

b) Do B^+C^=90∘\hat{B} + \hat{C} = 90^\circ nên
sin⁡C=cos⁡B=513\sin C = \cos B = \frac{5}{13},
cos⁡C=sin⁡B=1213\cos C = \sin B = \frac{12}{13},
tan⁡C=cot⁡B=512\tan C = \cot B = \frac{5}{12},
cot⁡C=tan⁡B=125\cot C = \tan B = \frac{12}{5}.

Kết quả:

  • Các tỉ số lượng giác của góc BB: sin⁡B=1213\sin B = \frac{12}{13}, cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}, tan⁡B=125\tan B = \frac{12}{5}, cot⁡B=512\cot B = \frac{5}{12}.
  • Các tỉ số lượng giác của góc CC: sin⁡C=513\sin C = \frac{5}{13}, cos⁡C=1213\cos C = \frac{12}{13}, tan⁡C=512\tan C = \frac{5}{12}, cot⁡C=125\cot C = \frac{12}{5}.

Ví dụ 2

Đề bài: Một bức tường đang xây dựng có dạng hình thang vuông ABCDABCD, vuông góc tại AA và DD, AB=1AB = 1 m, CD=4CD = 4 m, AD=6AD = 6 m.
a) Hỏi góc tạo bởi đường thẳng BCBC và mặt đất ADAD có số đo xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
b) Tính độ dài cạnh BCBC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

a) Gọi II là giao điểm của hai đường thẳng ADAD và BCBC. Qua BB kẻ đường thẳng song song với ADAD (mặt đất) cắt CDCD tại EE thì khi đó EBC^=DIC^=α\widehat{EBC} = \widehat{DIC} = \alpha (hai góc đồng vị).

Tứ giác ABEDABED có BE//ADBE // AD, AB//DEAB // DE, A^=90∘\hat{A} = 90^\circ nên ABEDABED là hình chữ nhật.
Do đó BE=AD=6BE = AD = 6 m, EC=CD−ED=4−1=3EC = CD - ED = 4 - 1 = 3 (m).

Xét △BCE\triangle BCE vuông tại EE, ta có
tan⁡α=tan⁡EBC^=ECBE=36=12\tan \alpha = \tan \widehat{EBC} = \frac{EC}{BE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

Từ đó tính được α≈26∘34′\alpha \approx 26^\circ 34'.

b) Cách 1: Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BECBEC vuông tại EE, ta có:
BC2=BE2+EC2=62+32=45BC^2 = BE^2 + EC^2 = 6^2 + 3^2 = 45.
Suy ra BC=45=35≈6,7BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,7 (m).

Cách 2: Tam giác BECBEC vuông tại EE nên EC=BC⋅sin⁡αEC = BC \cdot \sin \alpha,
suy ra BC=ECsin⁡α=3sin⁡26∘34′≈6,7BC = \frac{EC}{\sin \alpha} = \frac{3}{\sin 26^\circ 34'} \approx 6,7 (m).

Kết quả:

  • Góc tạo bởi đường thẳng BCBC và mặt đất ADAD có số đo xấp xỉ 26∘34′26^\circ 34'.
  • Độ dài cạnh BCBC là 6,76,7 m.