Trang 81 — Luyện tập chung

Ví dụ 1. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, AB=5AB = 5 cm, AC=12AC = 12 cm. a) Tính các tỉ số lượng giác của góc BB. b) Từ kết quả câu a) suy ra các tỉ số lượng giác của góc CC.

Lời giải:

Theo định lí Pythagore: BC=AB2+AC2=52+122=169=13BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13 (cm).

a) Với góc BB: cạnh đối là AC=12AC = 12, cạnh kề là AB=5AB = 5, cạnh huyền BC=13BC = 13. Do đó:

sin⁡B=ACBC=1213;cos⁡B=ABBC=513;tan⁡B=ACAB=125;cot⁡B=ABAC=512.\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}; \quad \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}; \quad \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5}; \quad \cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{12}.

b) Vì B^+C^=90∘\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ (hai góc phụ nhau) nên:

sin⁡C=cos⁡B=513;cos⁡C=sin⁡B=1213;tan⁡C=cot⁡B=512;cot⁡C=tan⁡B=125.\sin C = \cos B = \frac{5}{13}; \quad \cos C = \sin B = \frac{12}{13}; \quad \tan C = \cot B = \frac{5}{12}; \quad \cot C = \tan B = \frac{12}{5}.

Kết quả: sin⁡B=1213\sin B = \frac{12}{13}, cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}, tan⁡B=125\tan B = \frac{12}{5}, cot⁡B=512\cot B = \frac{5}{12}; các tỉ số của góc CC hoán đổi tương ứng.

Ví dụ 2. Một bức tường đang xây dở có dạng hình thang vuông ABCDABCD, vuông góc tại AA và DD, AB=1AB = 1 m, CD=4CD = 4 m, AD=6AD = 6 m. a) Hỏi góc α\alpha tạo bởi đường thẳng BCBC và mặt đất ADAD có số đo xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến phút)? b) Tính độ dài cạnh BCBC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Kẻ BH⊥CDBH \perp CD tại HH. Khi đó ABHDABHD là hình chữ nhật nên BH=AD=6BH = AD = 6 m và DH=AB=1DH = AB = 1 m.

Suy ra CH=CD−DH=4−1=3CH = CD - DH = 4 - 1 = 3 (m).

a) Góc giữa BCBC và mặt đất ADAD bằng góc CBH^\widehat{CBH} (so le trong với BH∥ADBH \parallel AD... chính xác hơn: BH⊥CDBH \perp CD và AD⊥CDAD \perp CD nên BH∥ADBH \parallel AD).

Trong tam giác vuông BHCBHC:

tan⁡α=CHBH=36=0,5  ⟹  α≈26∘34′.\tan \alpha = \frac{CH}{BH} = \frac{3}{6} = 0{,}5 \implies \alpha \approx 26^\circ 34'.

b) BC=BH2+CH2=62+32=45=35≈6,7BC = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}7 (m).

Kết quả: a) α≈26∘34′\alpha \approx 26^\circ 34'; b) BC≈6,7BC \approx 6{,}7 m.

Trang 82 — Bài tập

Bài 4.14. Một cuốn sách khổ 17×2417 \times 24 cm. Gọi α\alpha là góc giữa đường chéo và cạnh 1717 cm. Tính sin⁡α\sin \alpha, cos⁡α\cos \alpha (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và số đo α\alpha (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Đường chéo của cuốn sách: d=172+242=289+576=865≈29,41d = \sqrt{17^2 + 24^2} = \sqrt{289 + 576} = \sqrt{865} \approx 29{,}41 (cm).

Góc α\alpha kề cạnh 1717 cm, đối diện cạnh 2424 cm:

sin⁡α=24865≈0,82;cos⁡α=17865≈0,58.\sin \alpha = \frac{24}{\sqrt{865}} \approx 0{,}82; \qquad \cos \alpha = \frac{17}{\sqrt{865}} \approx 0{,}58.

tan⁡α=2417≈1,41  ⟹  α≈55∘.\tan \alpha = \dfrac{24}{17} \approx 1{,}41 \implies \alpha \approx 55^\circ.

Kết quả: sin⁡α≈0,82\sin \alpha \approx 0{,}82; cos⁡α≈0,58\cos \alpha \approx 0{,}58; α≈55∘\alpha \approx 55^\circ.

Bài 4.15. Cho tam giác ABCABC có chân đường cao AHAH nằm giữa BB và CC. Biết HB=3HB = 3 cm, HC=6HC = 6 cm, HAC^=60∘\widehat{HAC} = 60^\circ. Tính độ dài các cạnh (làm tròn đến cm) và số đo các góc của tam giác ABCABC (làm tròn đến độ).

Lời giải:

Trong tam giác vuông AHCAHC (vuông tại HH):

tan⁡HAC^=HCAH  ⟹  AH=HCtan⁡60∘=63=23≈3,46 (cm).\tan \widehat{HAC} = \frac{HC}{AH} \implies AH = \frac{HC}{\tan 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46 \text{ (cm)}.
  • AC=HCsin⁡60∘=632=43≈7AC = \dfrac{HC}{\sin 60^\circ} = \dfrac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \approx 7 (cm).
  • AB=AH2+HB2=12+9=21≈5AB = \sqrt{AH^2 + HB^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21} \approx 5 (cm).
  • BC=HB+HC=3+6=9BC = HB + HC = 3 + 6 = 9 (cm).

Các góc:

  • C^=90∘−HAC^=90∘−60∘=30∘.\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{HAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.
  • tan⁡B=AHHB=233≈1,155  ⟹  B^≈49∘.\tan B = \dfrac{AH}{HB} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}155 \implies \widehat{B} \approx 49^\circ.
  • A^=180∘−49∘−30∘=101∘.\widehat{A} = 180^\circ - 49^\circ - 30^\circ = 101^\circ.

Kết quả: AB≈5AB \approx 5 cm, AC≈7AC \approx 7 cm, BC=9BC = 9 cm; A^≈101∘\widehat{A} \approx 101^\circ, B^≈49∘\widehat{B} \approx 49^\circ, C^=30∘\widehat{C} = 30^\circ.

Bài 4.16. Tìm chiều rộng dd của dòng sông trong Hình 4.27 (làm tròn đến m), biết đoạn đường chéo qua sông dài 5050 m tạo với bờ sông góc 40∘40^\circ.

Lời giải:

Chiều rộng dòng sông là cạnh đối của góc 40∘40^\circ trong tam giác vuông có cạnh huyền 5050 m:

d=50⋅sin⁡40∘≈50⋅0,643≈32 (m).d = 50 \cdot \sin 40^\circ \approx 50 \cdot 0{,}643 \approx 32 \text{ (m)}.

Kết quả: d≈32d \approx 32 m.

Bài 4.18. Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm AA, BB ở hai bên hồ nước. Biết CA=90CA = 90 m, CB=150CB = 150 m và ACB^=120∘\widehat{ACB} = 120^\circ. Hãy tính ABAB.

Lời giải:

Kẻ AHAH vuông góc với đường thẳng CBCB tại HH. Vì ACB^=120∘>90∘\widehat{ACB} = 120^\circ > 90^\circ nên HH nằm ngoài đoạn CBCB, về phía CC, và ACH^=180∘−120∘=60∘\widehat{ACH} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.

Trong tam giác vuông AHCAHC:

  • AH=CA⋅sin⁡60∘=90⋅32=453AH = CA \cdot \sin 60^\circ = 90 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3} (m).
  • CH=CA⋅cos⁡60∘=90⋅12=45CH = CA \cdot \cos 60^\circ = 90 \cdot \dfrac{1}{2} = 45 (m).

Suy ra BH=BC+CH=150+45=195BH = BC + CH = 150 + 45 = 195 (m).

Trong tam giác vuông AHBAHB:

AB=AH2+BH2=(453)2+1952=6075+38025=44100=210 (m).AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{(45\sqrt{3})^2 + 195^2} = \sqrt{6075 + 38025} = \sqrt{44100} = 210 \text{ (m)}.

Kết quả: AB=210AB = 210 m.

Bài 4.19. Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang ABCDABCD. Chiều rộng mặt trên AB=3AB = 3 m. Độ dốc sườn ADAD: tan⁡D=1,25\tan D = 1{,}25; độ dốc sườn BCBC: tan⁡C=1,5\tan C = 1{,}5. Chiều cao đập 3,53{,}5 m. Tính chiều rộng CDCD của chân đập và chiều dài các sườn ADAD, BCBC (làm tròn đến dm).

Lời giải:

Kẻ AH⊥CDAH \perp CD và BK⊥CDBK \perp CD (H,K∈CDH, K \in CD). Khi đó AH=BK=3,5AH = BK = 3{,}5 m và HK=AB=3HK = AB = 3 m.

  • Trong tam giác vuông AHDAHD: DH=AHtan⁡D=3,51,25=2,8DH = \dfrac{AH}{\tan D} = \dfrac{3{,}5}{1{,}25} = 2{,}8 (m).
  • Trong tam giác vuông BKCBKC: KC=BKtan⁡C=3,51,5≈2,33KC = \dfrac{BK}{\tan C} = \dfrac{3{,}5}{1{,}5} \approx 2{,}33 (m).

Chiều rộng chân đập:

CD=DH+HK+KC=2,8+3+2,33≈8,1 (m).CD = DH + HK + KC = 2{,}8 + 3 + 2{,}33 \approx 8{,}1 \text{ (m)}.

Chiều dài các sườn:

  • AD=AH2+DH2=3,52+2,82=20,09≈4,5AD = \sqrt{AH^2 + DH^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 2{,}8^2} = \sqrt{20{,}09} \approx 4{,}5 (m).
  • BC=BK2+KC2=3,52+2,332≈17,68≈4,2BC = \sqrt{BK^2 + KC^2} = \sqrt{3{,}5^2 + 2{,}33^2} \approx \sqrt{17{,}68} \approx 4{,}2 (m).

Kết quả: CD≈8,1CD \approx 8{,}1 m; AD≈4,5AD \approx 4{,}5 m; BC≈4,2BC \approx 4{,}2 m.

Bài 4.20. Một tàu ngầm trên mặt biển bắt đầu lặn xuống theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 21∘21^\circ.

a) Khi tàu đi được 200200 m theo hướng đó thì tàu ở độ sâu bao nhiêu (làm tròn đến m)?

b) Nếu tốc độ của tàu là 99 km/h thì sau bao lâu tàu ở độ sâu 200200 m?

Lời giải:

a) Độ sâu của tàu là cạnh đối của góc 21∘21^\circ:

h=200⋅sin⁡21∘≈200⋅0,358≈72 (m).h = 200 \cdot \sin 21^\circ \approx 200 \cdot 0{,}358 \approx 72 \text{ (m)}.

b) Để ở độ sâu 200200 m, quãng đường tàu phải đi:

s=200sin⁡21∘≈2000,358≈558 (m).s = \frac{200}{\sin 21^\circ} \approx \frac{200}{0{,}358} \approx 558 \text{ (m)}.

Tốc độ 99 km/h =9000= 9000 m/h. Thời gian:

t=5589000≈0,062 (giờ)≈3,7 (phuˊt)≈3 phuˊt 43 giaˆy.t = \frac{558}{9000} \approx 0{,}062 \text{ (giờ)} \approx 3{,}7 \text{ (phút)} \approx 3 \text{ phút } 43 \text{ giây}.

Kết quả: a) ≈72\approx 72 m; b) ≈3,7\approx 3{,}7 phút (khoảng 3 phút 43 giây).

Trang 83 — Bài tập cuối chương IV

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 4.22. Trong tam giác MNPMNP vuông tại MM, sin⁡MNP^\sin \widehat{MNP} bằng:

Lời giải: Với góc NN: cạnh đối là MPMP, cạnh huyền là PNPN. Vậy sin⁡MNP^=MPPN\sin \widehat{MNP} = \dfrac{MP}{PN}.

Đáp án: B.

Bài 4.23. Trong tam giác ABCABC vuông tại AA, tan⁡B\tan B bằng:

Lời giải: Với góc BB: cạnh đối là ACAC, cạnh kề là ABAB. Vậy tan⁡B=ACAB\tan B = \dfrac{AC}{AB}.

Đáp án: B.

Bài 4.24. Với mọi góc nhọn α\alpha:

Lời giải: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia: sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha.

Đáp án: A.

Bài 4.25. Giá trị tan⁡30∘\tan 30^\circ bằng:

Lời giải: tan⁡30∘=sin⁡30∘cos⁡30∘=1/23/2=13\tan 30^\circ = \dfrac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Đáp án: C.

B. TỰ LUẬN

Bài 4.26. Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại. Hỏi các tam giác đó có đồng dạng với nhau không? Tính sin⁡\sin và cos⁡\cos của góc nhọn lớn hơn.

Lời giải:

Gọi góc nhọn nhỏ là xx, góc nhọn lớn là 2x2x. Vì hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau:

x+2x=90∘  ⟹  x=30∘.x + 2x = 90^\circ \implies x = 30^\circ.

Vậy mọi tam giác như thế đều có ba góc 30∘,60∘,90∘30^\circ, 60^\circ, 90^\circ nên đồng dạng với nhau (trường hợp góc – góc).

Góc nhọn lớn hơn bằng 60∘60^\circ:

sin⁡60∘=32;cos⁡60∘=12.\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}; \qquad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}.

Kết quả: các tam giác đồng dạng; sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}.

Bài 4.27. Mô hình một túp lều có mặt cắt là tam giác cân: chiều cao 1,81{,}8 m, cạnh đáy 4,44{,}4 m. Tìm góc α\alpha giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn đến phút).

Lời giải:

Do mặt cắt là tam giác cân, chân đường cao chia đôi cạnh đáy, nửa đáy bằng 4,4:2=2,24{,}4 : 2 = 2{,}2 (m).

tan⁡α=1,82,2≈0,818  ⟹  α≈39∘17′.\tan \alpha = \frac{1{,}8}{2{,}2} \approx 0{,}818 \implies \alpha \approx 39^\circ 17'.

Kết quả: α≈39∘17′\alpha \approx 39^\circ 17'.

Trang 84

Bài 4.28. Một cây cao bị gãy, ngọn cây đổ xuống mặt đất. Đoạn cây gãy tạo với mặt đất góc 20∘20^\circ và chắn ngang lối đi một đoạn 55 m. Hỏi trước khi bị gãy, cây cao khoảng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Gốc cây, điểm gãy và ngọn cây tạo thành tam giác vuông tại gốc, với cạnh nằm ngang (đoạn chắn lối đi) bằng 55 m và góc ở ngọn tiếp đất bằng 20∘20^\circ.

  • Phần thân còn đứng: h1=5⋅tan⁡20∘≈5⋅0,364≈1,82h_1 = 5 \cdot \tan 20^\circ \approx 5 \cdot 0{,}364 \approx 1{,}82 (m).
  • Phần thân bị gãy (cạnh huyền): h2=5cos⁡20∘≈50,940≈5,32h_2 = \dfrac{5}{\cos 20^\circ} \approx \dfrac{5}{0{,}940} \approx 5{,}32 (m).

Chiều cao cây trước khi gãy:

h=h1+h2≈1,82+5,32≈7,1 (m).h = h_1 + h_2 \approx 1{,}82 + 5{,}32 \approx 7{,}1 \text{ (m)}.

Kết quả: cây cao khoảng 7,17{,}1 m.

Bài 4.29. Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, có B^=α\widehat{B} = \alpha.

a) Hãy viết các tỉ số lượng giác sin⁡α\sin \alpha, cos⁡α\cos \alpha.

b) Sử dụng định lí Pythagore, chứng minh rằng sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ABCABC (vuông tại AA), với góc B=αB = \alpha: cạnh đối là ACAC, cạnh kề là ABAB, cạnh huyền là BCBC:

sin⁡α=ACBC;cos⁡α=ABBC.\sin \alpha = \frac{AC}{BC}; \qquad \cos \alpha = \frac{AB}{BC}.

b) Ta có:

sin⁡2α+cos⁡2α=AC2BC2+AB2BC2=AC2+AB2BC2.\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{AC^2}{BC^2} + \frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AC^2 + AB^2}{BC^2}.

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABCABC: AC2+AB2=BC2AC^2 + AB^2 = BC^2. Do đó:

sin⁡2α+cos⁡2α=BC2BC2=1.■\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{BC^2}{BC^2} = 1. \qquad \blacksquare

Bài 4.30 (Đố vui). Eratosthenes ước lượng "chu vi" Trái Đất nhờ hai quan sát: (1) trưa ngày Hạ chí, tia nắng chiếu thẳng đứng xuống đáy giếng ở Syene; (2) cùng lúc đó tại Alexandria cách Syene 800800 km, một tháp cao 2525 m có bóng dài 3,13{,}1 m. Ông tính chu vi Trái Đất như thế nào?

Lời giải:

Tại Alexandria, góc θ\theta giữa tia nắng và phương thẳng đứng (tức là cạnh tháp) thỏa mãn:

tan⁡θ=3,125=0,124  ⟹  θ≈7,07∘.\tan \theta = \frac{3{,}1}{25} = 0{,}124 \implies \theta \approx 7{,}07^\circ.

Vì tại Syene tia nắng chiếu thẳng đứng (hướng về tâm Trái Đất), còn tia nắng Mặt Trời coi như song song với nhau, nên góc ở tâm Trái Đất chắn cung SASA (từ Syene đến Alexandria) cũng bằng θ≈7,07∘\theta \approx 7{,}07^\circ (hai góc so le trong).

Cung 800800 km ứng với 7,07∘7{,}07^\circ, vậy cả vòng tròn 360∘360^\circ ứng với:

C=800⋅360∘7,07∘≈40 700 (km).C = 800 \cdot \frac{360^\circ}{7{,}07^\circ} \approx 40\,700 \text{ (km)}.

Giá trị này rất gần chu vi thực của Trái Đất (≈40 000\approx 40\,000 km) — một ước lượng đáng kinh ngạc từ hơn 2200 năm trước!

Kết quả: chu vi Trái Đất ≈40 700\approx 40\,700 km.