Giải Toán 9 Tập 1 trang 85-88 - Kết nối tri thức

Bài 13. Mở đầu về đường tròn

Câu hỏi mở đầu. Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn dấu vết của tâm. Oanh làm thế nào để tìm lại được tâm của hình tròn?

Trả lời:

Oanh gấp đôi mảnh giấy sao cho hai nửa chồng khít lên nhau — nếp gấp thứ nhất là một đường kính. Mở ra và gấp đôi lần nữa theo hướng khác, được nếp gấp thứ hai cũng là một đường kính. Giao điểm của hai nếp gấp chính là tâm của hình tròn (vì hai đường kính bất kì luôn cắt nhau tại tâm).

Luyện tập 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Chứng minh rằng điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ .

Lời giải:

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ . Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, do đó:

OA = \frac{BC}{2} = OB = OC.

Vậy $A$ cách $O$ một khoảng bằng bán kính $\dfrac{BC}{2}$ , tức là $A$ thuộc đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ . $\blacksquare$

Vận dụng 1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ , cho các điểm $A(3; 0)$ , $B(-2; 0)$ , $C(0; 4)$ . Điểm nào nằm trên, nằm trong, nằm ngoài đường tròn $(O; 3)$ ?

Lời giải:

Tính khoảng cách từ mỗi điểm đến gốc tọa độ $O$ :

$OA = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 = R$ → điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O; 3)$ .
$OB = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 < 3$ → điểm $B$ nằm trong đường tròn.
$OC = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 > 3$ → điểm $C$ nằm ngoài đường tròn.

Kết quả: $A$ nằm trên, $B$ nằm trong, $C$ nằm ngoài $(O; 3)$ .

HĐ. Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc đường tròn $(O)$ thì: a) Điểm đối xứng với nó qua tâm $O$ cũng thuộc $(O)$ . b) Điểm đối xứng với nó qua một đường thẳng $d$ tùy ý đi qua $O$ cũng thuộc $(O)$ .

Lời giải:

Giả sử $M \in (O; R)$ , tức là $OM = R$ .

a) Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua tâm $O$ . Khi đó $O$ là trung điểm của $MM'$ , nên $OM' = OM = R$ . Vậy $M' \in (O; R)$ .

b) Gọi $M''$ là điểm đối xứng với $M$ qua đường thẳng $d$ đi qua $O$ . Khi đó $d$ là đường trung trực của $MM''$ . Vì $O \in d$ nên $O$ cách đều hai đầu đoạn $MM''$ , tức là $OM'' = OM = R$ . Vậy $M'' \in (O; R)$ . $\blacksquare$

Luyện tập 2. Cho đường tròn tâm $O$ và hai điểm $A$ , $B$ thuộc $(O)$ . Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AB$ . Chứng minh rằng $d$ là một trục đối xứng của $(O)$ .

Lời giải:

Vì $A, B \in (O)$ nên $OA = OB = R$ , tức là $O$ cách đều hai đầu đoạn thẳng $AB$ .

Do đó $O$ nằm trên đường trung trực $d$ của $AB$ , nghĩa là $d$ đi qua tâm $O$ .

Mà mọi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn đó. Vậy $d$ là một trục đối xứng của $(O)$ . $\blacksquare$

Vận dụng 2. Bằng cách gấp đôi mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm lại được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.

Trả lời:

Mỗi lần gấp đôi mảnh giấy sao cho hai nửa chồng khít nhau, nếp gấp là một trục đối xứng của hình tròn, do đó nếp gấp đi qua tâm (là một đường kính). Gấp theo hai cách khác nhau ta được hai đường kính khác nhau; giao điểm của hai nếp gấp là tâm cần tìm.

Bài tập

Bài 5.1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho các điểm $M(0; 2)$ , $N(0; -3)$ và $P(2; -1)$ . Điểm nào nằm trên, nằm trong, nằm ngoài đường tròn $(O; \sqrt{5})$ ? Vì sao?

Lời giải:

Bán kính $R = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ . Tính khoảng cách từng điểm đến $O$ :

$OM = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2 < \sqrt{5}$ → $M$ nằm trong đường tròn.
$ON = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3 > \sqrt{5}$ → $N$ nằm ngoài đường tròn.
$OP = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} = R$ → $P$ nằm trên đường tròn.

Kết quả: $P$ nằm trên, $M$ nằm trong, $N$ nằm ngoài $(O; \sqrt{5})$ .

Bài 5.2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Chứng minh rằng các điểm $A$ , $B$ , $C$ thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Theo định lí Pythagore: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ (cm).

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ . Trong tam giác vuông $ABC$ , đường trung tuyến $AO$ ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:

OA = OB = OC = \frac{BC}{2} = 2{,}5 \text{ (cm)}.

Vậy ba điểm $A$ , $B$ , $C$ cùng thuộc đường tròn $\left(O;\, 2{,}5 \text{ cm}\right)$ .

Kết quả: bán kính $R = 2{,}5$ cm.

Bài 5.3. Cho đường tròn $(O)$ , đường thẳng $d$ đi qua $O$ và điểm $A$ thuộc $(O)$ nhưng không thuộc $d$ . Gọi $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ ; $C$ và $D$ lần lượt là điểm đối xứng với $A$ và với $B$ qua $O$ .

a) Ba điểm $B$ , $C$ , $D$ có thuộc $(O)$ không? Vì sao?

b) Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$ .

Lời giải:

a) Cả ba điểm đều thuộc $(O)$ :

$B$ đối xứng với $A \in (O)$ qua $d$ , mà $d$ đi qua tâm nên $d$ là trục đối xứng của $(O)$ → $B \in (O)$ .
$C$ đối xứng với $A$ qua $O$ — tâm đối xứng của $(O)$ → $C \in (O)$ .
$D$ đối xứng với $B \in (O)$ qua $O$ → $D \in (O)$ .

b) Vì $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ ; vì $D$ đối xứng với $B$ qua $O$ nên $O$ là trung điểm của $BD$ .

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Hơn nữa $AC = BD = 2R$ (đều là đường kính). Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. $\blacksquare$

c) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \parallel AB$ .

Do $B$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $d \perp AB$ , suy ra $d \perp CD$ .

Gọi $M$ là giao của $d$ với $AB$ ( $M$ là trung điểm $AB$ ) và $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua $O$ . Phép đối xứng tâm $O$ biến đoạn $AB$ thành đoạn $CD$ , biến trung điểm $M$ của $AB$ thành trung điểm $N$ của $CD$ . Vì $M \in d$ và $O \in d$ nên $N$ cũng thuộc đường thẳng $d$ .

Vậy $d$ vuông góc với $CD$ tại trung điểm $N$ của $CD$ , tức $d$ là đường trung trực của $CD$ → $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$ . $\blacksquare$

Bài 5.4. Cho hình vuông $ABCD$ có $E$ là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết hình vuông có cạnh bằng $3$ cm.

Lời giải:

a) Trong hình vuông, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên:

EA = EB = EC = ED = \frac{AC}{2}.

Vậy bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cùng thuộc đường tròn tâm $E$ bán kính $EA$ .

Tâm đối xứng của đường tròn là tâm $E$ .
Hai trục đối xứng (trong số vô hạn trục): hai đường thẳng chứa hai đường chéo $AC$ và $BD$ (đều đi qua tâm $E$ ).

b) Với cạnh hình vuông bằng $3$ cm, đường chéo:

AC = 3\sqrt{2} \text{ (cm)} \implies R = \frac{AC}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12 \text{ (cm)}.

Kết quả: $R = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2{,}12$ cm.