Bài 14. Cung và dây của một đường tròn

HĐ. Xét dây ABAB tuỳ ý không đi qua tâm của đường tròn (O;R)(O; R). Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác AOBAOB, chứng minh AB<2RAB < 2R.

Lời giải:

Vì dây ABAB không đi qua tâm nên ba điểm AA, OO, BB không thẳng hàng, tạo thành tam giác AOBAOB.

Theo bất đẳng thức tam giác:

AB<OA+OB=R+R=2R.■AB < OA + OB = R + R = 2R. \qquad \blacksquare

Từ đó suy ra định lí: trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất (đường kính có độ dài đúng bằng 2R2R, mọi dây khác đều nhỏ hơn 2R2R).

Luyện tập 1. Cho đường tròn đường kính BCBC. Chứng minh rằng với điểm AA bất kì (khác BB và CC) nằm trên đường tròn, ta đều có BC<AB+AC<2BCBC < AB + AC < 2BC.

Lời giải:

  • Xét tam giác ABCABC: theo bất đẳng thức tam giác, BC<AB+ACBC < AB + AC. (1)

  • ABAB và ACAC là hai dây của đường tròn; vì AA khác BB và CC nên chúng không phải là đường kính BCBC, tức là hai dây không đi qua tâm. Theo định lí "đường kính là dây cung lớn nhất":

AB<BCvaˋAC<BC  ⟹  AB+AC<2BC.(2)AB < BC \quad \text{và} \quad AC < BC \implies AB + AC < 2BC. \qquad (2)

Từ (1) và (2): BC<AB+AC<2BCBC < AB + AC < 2BC. ■\blacksquare

Luyện tập 2. Cho điểm CC nằm trên đường tròn (O)(O). Đường trung trực của đoạn OCOC cắt (O)(O) tại AA và BB. Tính số đo của các cung ACB⌢\overset\frown{ACB} và ABC⌢\overset\frown{ABC}.

Lời giải:

Vì AA nằm trên đường trung trực của OCOC nên AO=ACAO = AC. Mà AO=OC=RAO = OC = R (bán kính), nên tam giác AOCAOC đều, suy ra AOC^=60∘\widehat{AOC} = 60^\circ.

Tương tự, tam giác BOCBOC đều nên BOC^=60∘\widehat{BOC} = 60^\circ.

  • Cung ACB⌢\overset\frown{ACB} (cung có hai mút AA, BB đi qua CC):
sđ ACB⌢=sđ AC⌢+sđ CB⌢=60∘+60∘=120∘.\text{sđ}\,\overset\frown{ACB} = \text{sđ}\,\overset\frown{AC} + \text{sđ}\,\overset\frown{CB} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ.
  • Cung ABC⌢\overset\frown{ABC} (cung có hai mút AA, CC đi qua BB) là cung lớn có chung hai mút với cung nhỏ AC⌢\overset\frown{AC}:
sđ ABC⌢=360∘−sđ AC⌢=360∘−60∘=300∘.\text{sđ}\,\overset\frown{ABC} = 360^\circ - \text{sđ}\,\overset\frown{AC} = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ.

Kết quả: sđ ACB⌢=120∘\text{sđ}\,\overset\frown{ACB} = 120^\circ; sđ ABC⌢=300∘\text{sđ}\,\overset\frown{ABC} = 300^\circ.

Bài tập

Bài 5.5. Cho nửa đường tròn đường kính ABAB và một điểm MM tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ MM đến ABAB không lớn hơn AB2\dfrac{AB}{2}.

Lời giải:

Gọi OO là tâm (trung điểm của ABAB) và HH là chân đường vuông góc hạ từ MM xuống ABAB. Khoảng cách từ MM đến ABAB là MHMH.

Trong các đường kẻ từ MM đến đường thẳng ABAB, đường vuông góc MHMH ngắn nhất, do đó:

MH≤MO=R=AB2.MH \le MO = R = \frac{AB}{2}.

(Dấu bằng xảy ra khi H≡OH \equiv O, tức MM là điểm chính giữa nửa đường tròn.) ■\blacksquare

Bài 5.6. Cho đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) và ABAB là một dây của đường tròn với AB=6AB = 6 cm.

a) Tính khoảng cách từ OO đến đường thẳng ABAB.

b) Tính tan⁡α\tan \alpha nếu góc ở tâm chắn cung ABAB bằng 2α2\alpha.

Lời giải:

a) Gọi HH là chân đường vuông góc hạ từ OO xuống ABAB. Tam giác OABOAB cân tại OO (OA=OB=5OA = OB = 5) nên đường cao OHOH đồng thời là trung tuyến, suy ra HH là trung điểm của ABAB:

AH=AB2=3 (cm).AH = \frac{AB}{2} = 3 \text{ (cm)}.

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông OHAOHA:

OH=OA2−AH2=25−9=4 (cm).OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \text{ (cm)}.

b) Vì OHOH vừa là đường cao vừa là phân giác của tam giác cân OABOAB nên AOH^=AOB^2=α\widehat{AOH} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \alpha.

Trong tam giác vuông OHAOHA:

tan⁡α=AHOH=34.\tan \alpha = \frac{AH}{OH} = \frac{3}{4}.

Kết quả: a) 44 cm; b) tan⁡α=34\tan \alpha = \dfrac{3}{4}.

Bài 5.7. Tâm OO của một đường tròn cách dây ABAB của nó một khoảng 33 cm. Tính bán kính của đường tròn (O)(O), biết rằng cung nhỏ ABAB có số đo bằng 100∘100^\circ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

Số đo cung nhỏ ABAB bằng số đo góc ở tâm: AOB^=100∘\widehat{AOB} = 100^\circ.

Gọi HH là chân đường vuông góc hạ từ OO xuống ABAB thì OH=3OH = 3 cm, đồng thời OHOH là phân giác của góc AOBAOB (tam giác OABOAB cân tại OO):

AOH^=100∘2=50∘.\widehat{AOH} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ.

Trong tam giác vuông OHAOHA:

cos⁡AOH^=OHOA  ⟹  OA=OHcos⁡50∘=3cos⁡50∘≈30,643≈4,7 (cm).\cos \widehat{AOH} = \frac{OH}{OA} \implies OA = \frac{OH}{\cos 50^\circ} = \frac{3}{\cos 50^\circ} \approx \frac{3}{0{,}643} \approx 4{,}7 \text{ (cm)}.

Kết quả: R≈4,7R \approx 4{,}7 cm.

Bài 5.8. Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 3636 phút:

a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiêu độ?

Lời giải:

a) Kim phút quay đủ một vòng (360∘360^\circ) trong 6060 phút. Vậy trong 3636 phút, đầu kim phút vạch nên cung:

3660⋅360∘=216∘.\frac{36}{60} \cdot 360^\circ = 216^\circ.

b) Kim giờ quay đủ một vòng (360∘360^\circ) trong 1212 giờ =720= 720 phút. Vậy trong 3636 phút, đầu kim giờ vạch nên cung:

36720⋅360∘=18∘.\frac{36}{720} \cdot 360^\circ = 18^\circ.

Kết quả: a) 216∘216^\circ; b) 18∘18^\circ.