Giải Toán 9 Tập 1 trang 9-12 - Kết nối tri thức

Ví dụ 2

Giả sử $\left( x; y \right)$ là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 2y = 5$.

a) Hoàn thành bảng sau đây:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$?$	$1$
$y$	$?$	$?$	$?$	$1$	$?$

Từ đó suy ra $5$ nghiệm của phương trình đã cho.

b) Tính $y$ theo $x$. Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải:

a) Ta có:

• Với $x = -2$ thì $y = \frac{5 - (-2)}{2} = \frac{7}{2}$.
• Với $x = -1$ thì $y = \frac{5 - (-1)}{2} = 3$.
• Với $x = 0$ thì $y = \frac{5 - 0}{2} = \frac{5}{2}$.
• Với $y = 1$ thì $x = 5 - 2 \cdot 1 = 3$.
• Với $y = 2$ thì $x = 5 - 2 \cdot 2 = 1$.

Vậy bảng hoàn chỉnh là:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$3$	$1$
$y$	$\frac{7}{2}$	$3$	$\frac{5}{2}$	$1$	$2$

$5$ nghiệm của phương trình đã cho là: $\left( -2; \frac{7}{2} \right)$, $\left( -1; 3 \right)$, $\left( 0; \frac{5}{2} \right)$, $\left( 3; 1 \right)$, $\left( 1; 2 \right)$.

b) Ta có $y = \frac{5 - x}{2}$. Với mỗi giá trị $x$ tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị $y$ tương ứng. Do đó phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Kết quả: Vô số nghiệm.

Ví dụ 3

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) $x + 2y = 3$;

Lời giải:

a) Xét phương trình $x + 2y = 3$. $\left( 1 \right)$

Ta viết $\left( 1 \right)$ dưới dạng $y = -0,5x + 1,5$. Mỗi cặp số $\left( x; -0,5x + 1,5 \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý, là một nghiệm của $\left( 1 \right)$. Khi đó ta nói phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $\left( \text{tổng quát} \right)$ là:

$\left( x; -0,5x + 1,5 \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng $y = -0,5x + 1,5$. Ta cũng gọi đường thẳng này là đường thẳng $d: x + 2y = 3$.

Để vẽ đường thẳng $d$, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn $A\left( 0; 1,5 \right)$ và $B\left( 3; 0 \right)$ rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó $\left( H.1.1a \right)$.

---

Trang 10 — Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập 2. Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau: a) $2x - 3y = 5$; b) $0x + y = 3$; c) $x + 0y = -2$.

Lời giải:

a) $2x - 3y = 5$

Ta có: $2x - 3y = 5 \Rightarrow y = \frac{2x - 5}{3}$.

Nghiệm của phương trình là: $(x; \frac{2x - 5}{3})$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Biểu diễn hình học: Đường thẳng $2x - 3y = 5$ có thể được vẽ bằng cách lấy hai điểm thuộc đường thẳng, ví dụ:

• Khi $x = 1$, $y = -1$. Điểm $(1; -1)$ thuộc đường thẳng.
• Khi $y = 0$, $x = \frac{5}{2}$. Điểm $(\frac{5}{2}; 0)$ thuộc đường thẳng.

Đường thẳng đi qua hai điểm này.

b) $0x + y = 3$

Ta có: $y = 3$.

Nghiệm của phương trình là: $(x; 3)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Biểu diễn hình học: Đây là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm $(0; 3)$.

c) $x + 0y = -2$

Ta có: $x = -2$.

Nghiệm của phương trình là: $(-2; y)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Biểu diễn hình học: Đây là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm $(-2; 0)$.

---

Trang 11 — Bài học về Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Luyện tập 3

Bài tập: Trong hai cặp số $(0; -2)$ và $(2; -1)$, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình $$\begin{cases} x - 2y = 4 \ 4x + 3y = 5 \end{cases}$$

Lời giải: Thay cặp số $(0; -2)$ vào hệ phương trình, ta có:

• Với phương trình thứ nhất: $0 - 2 \cdot (-2) = 4 \Rightarrow 4 = 4$ (đúng)
• Với phương trình thứ hai: $4 \cdot 0 + 3 \cdot (-2) = -6 \Rightarrow -6 \neq 5$ (sai)

Vậy cặp số $(0; -2)$ không là nghiệm của hệ phương trình.

---

Thay cặp số $(2; -1)$ vào hệ phương trình, ta có:

• Với phương trình thứ nhất: $2 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4$ (đúng)
• Với phương trình thứ hai: $4 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$ (đúng)

Vậy cặp số $(2; -1)$ là nghiệm của hệ phương trình.

Kết quả: Cặp số $(2; -1)$ là nghiệm của hệ phương trình.

Vận dụng

Bài toán: Xét bài toán cổ trong Tính huống mở đầu. Gọi $x$ là số cam, $y$ là số quýt cần tính $(x, y \in \mathbb{N}^*)$, ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau: $$\begin{cases} x + y = 17 \ 10x + 3y = 100 \end{cases}$$

Lời giải:

• Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

• Nhân phương trình thứ nhất với $3$: $3x + 3y = 51$

• Trừ phương trình này cho phương trình thứ hai: $(10x + 3y) - (3x + 3y) = 100 - 51$ $\Rightarrow 7x = 49 \Rightarrow x = 7$

• Thay $x = 7$ vào phương trình thứ nhất: $7 + y = 17 \Rightarrow y = 10$

Vậy số cam là $7$ quả, số quýt là $10$ quả.

Kết quả: $\boxed{x=7, y=10}$

---

BÀI TẬP

1.1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn, vì sao?

a) $5x - 8y = 0$;

b) $4x + 0y = -2$;

c) $0x + 0y = 1$;

d) $0x - 3y = 9$.

Lời giải:

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a, b, c$ là các số đã biết, $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$.

a) $5x - 8y = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn vì $a = 5 \neq 0$ và $b = -8 \neq 0$.

b) $4x + 0y = -2$ là phương trình bậc nhất hai ẩn vì $a = 4 \neq 0$ và $b = 0$.

c) $0x + 0y = 1$ không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì $a = 0$ và $b = 0$.

d) $0x - 3y = 9$ là phương trình bậc nhất hai ẩn vì $a = 0$ và $b = -3 \neq 0$.

Kết quả: a, b, d

1.2.

a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu "?" trong bảng sau để cho biết 6 nghiệm của phương trình $2x - y = 1$:

$x$	$-1$	$-0.5$	$0$	$0.5$	$1$	$2$
$y = 2x - 1$	?	?	?	?	?	?

b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Lời giải:

a) Ta có $y = 2x - 1$.

Thay $x = -1$ vào phương trình $y = 2x - 1$ ta được: $y = 2 \cdot (-1) - 1 = -3$.

Thay $x = -0.5$ vào phương trình $y = 2x - 1$ ta được: $y = 2 \cdot (-0.5) - 1 = -2$.

Thay $x = 0$ vào phương trình $y = 2x - 1$ ta được: $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$.

Thay $x = 0.5$ vào phương trình $y = 2x - 1$ ta được: $y = 2 \cdot 0.5 - 1 = 0$.

Thay $x = 1$ vào phương trình $y = 2x - 1$ ta được: $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

Thay $x = 2$ vào phương trình $y = 2x - 1$ ta được: $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$.

$x$	$-1$	$-0.5$	$0$	$0.5$	$1$	$2$
$y = 2x - 1$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$3$

b) Nghiệm tổng quát của phương trình $2x - y = 1$ là $(x; 2x - 1)$.

Kết quả:

$x$	$-1$	$-0.5$	$0$	$0.5$	$1$	$2$
$y = 2x - 1$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$3$

1.3. Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) $2x - y = 3$;

b) $0x + 2y = -4$;

c) $3x + 0y = 5$.

Lời giải:

a) Phương trình $2x - y = 3$ có nghiệm tổng quát là $(x; 2x - 3)$.

Biểu diễn hình học: Đường thẳng $y = 2x - 3$.

b) Phương trình $0x + 2y = -4$ có nghiệm tổng quát là $(x; -2)$.

Biểu diễn hình học: Đường thẳng $y = -2$.

c) Phương trình $3x + 0y = 5$ có nghiệm tổng quát là $(\frac{5}{3}; y)$.

Biểu diễn hình học: Đường thẳng $x = \frac{5}{3}$.

Kết quả:

1.4.

a) Hệ phương trình $\begin{cases} 2x = -6 \\ 5x + 4y = 1 \end{cases}$ có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không, vì sao?

b) Cặp số $(-3; 4)$ có là một nghiệm của hệ phương trình đó hay không, vì sao?

Lời giải:

a) Hệ phương trình $\begin{cases} 2x = -6 \\ 5x + 4y = 1 \end{cases}$ là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì mỗi phương trình đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay $x = -3, y = 4$ vào hệ phương trình $\begin{cases} 2x = -6 \\ 5x + 4y = 1 \end{cases}$ ta được:

$\begin{cases} 2 \cdot (-3) = -6 \\ 5 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} -6 = -6 \\ -15 + 16 = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} -6 = -6 \\ 1 = 1 \end{cases}$

Vậy $(-3; 4)$ là một nghiệm của hệ phương trình.

Kết quả:

1.5. Cho các cặp số $(-2; 1), (0; 2), (1; 0), (1.5; 3), (4; -3)$ và hai phương trình

$5x + 4y = 8$, (1)

$3x + 5y = -3$. (2)

Trong các cặp số đã cho:

a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng $5x + 4y = 8$ và $3x + 5y = -3$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở câu b.

Lời giải:

a) Phương trình (1) $5x + 4y = 8$.

Thay $(-2; 1)$ vào (1) ta được: $5 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 = -10 + 4 = -6 \neq 8$.

Thay $(0; 2)$ vào (1) ta được: $5 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8$.

Thay $(1; 0)$ vào (1) ta được: $5 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 5 \neq 8$.

Thay $(1.5; 3)$ vào (1) ta được: $5 \cdot 1.5 + 4 \cdot 3 = 7.5 + 12 = 19.5 \neq 8$.

Thay $(4; -3)$ vào (1) ta được: $5 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 20 - 12 = 8$.

Vậy các cặp số là nghiệm của phương trình (1) là $(0; 2), (4; -3)$.

b) Phương trình (2) $3x + 5y = -3$.

Thay $(-2; 1)$ vào (2) ta được: $3 \cdot (-2) + 5 \cdot 1 = -6 + 5 = -1 \neq -3$.

Thay $(0; 2)$ vào (2) ta được: $3 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10 \neq -3$.

Thay $(1; 0)$ vào (2) ta được: $3 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 3 \neq -3$.

Thay $(1.5; 3)$ vào (2) ta được: $3 \cdot 1.5 + 5 \cdot 3 = 4.5 + 15 = 19.5 \neq -3$.

Thay $(4; -3)$ vào (2) ta được: $3 \cdot 4 + 5 \cdot (-3) = 12 - 15 = -3$.

Ta thấy $(4; -3)$ là nghiệm của cả (1) và (2).

Vậy cặp số là nghiệm của hệ hai phương trình gồm (1) và (2) là $(4; -3)$.

c) Vẽ đường thẳng $5x + 4y = 8$:

• Chọn $x = 0 \implies y = 2$.
• Chọn $y = 0 \implies x = \frac{8}{5} = 1.6$.

Vẽ đường thẳng $3x + 5y = -3$:

• Chọn $x = 0 \implies y = -\frac{3}{5} = -0.6$.
• Chọn $y = 0 \implies x = -1$.

Kết quả: a) $(0; 2), (4; -3)$; b) $(4; -3)$.