Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Câu hỏi mở đầu. Số người đã tiêm mũi 4 phòng dịch Covid-19 đạt 40%40\% tổng số đối tượng cần tiêm. Để hoàn thành biểu đồ hình quạt tròn, Trang cần vẽ hình quạt tròn biểu thị số liệu 40%40\%. Em có thể giúp bạn Trang được không?

Trả lời:

Cả hình tròn ứng với 100%100\% và có góc ở tâm 360∘360^\circ. Hình quạt biểu thị 40%40\% có góc ở tâm:

40%⋅360∘=40100⋅360∘=144∘.40\% \cdot 360^\circ = \frac{40}{100} \cdot 360^\circ = 144^\circ.

Vậy Trang dùng thước đo góc vẽ góc ở tâm 144∘144^\circ, phần hình tròn nằm trong góc đó là hình quạt cần vẽ.

HĐ1. Biết rằng độ dài cung tỉ lệ với số đo của nó, hãy lập công thức tính độ dài cung n∘n^\circ của đường tròn bán kính RR:

a) Từ công thức C=2πRC = 2\pi R, tính độ dài của cung 1∘1^\circ.

b) Tính độ dài ll của cung n∘n^\circ.

Lời giải:

a) Cả đường tròn là cung 360∘360^\circ và có độ dài C=2πRC = 2\pi R. Vì độ dài cung tỉ lệ với số đo cung, độ dài cung 1∘1^\circ là:

2πR360=πR180.\frac{2\pi R}{360} = \frac{\pi R}{180}.

b) Độ dài cung n∘n^\circ gấp nn lần độ dài cung 1∘1^\circ:

l=n⋅πR180=n180 πR.l = n \cdot \frac{\pi R}{180} = \frac{n}{180}\,\pi R.

Kết quả: l=n180πRl = \dfrac{n}{180}\pi R (tỉ số giữa độ dài cung n∘n^\circ và độ dài cả đường tròn đúng bằng n360\dfrac{n}{360}).

Ví dụ 1. Cho AA và BB là hai điểm trên đường tròn (O;3 cm)(O; 3 \text{ cm}) sao cho AOB^=120∘\widehat{AOB} = 120^\circ. Tính số đo và độ dài các cung có hai mút AA, BB.

Lời giải:

Hai điểm AA, BB chia đường tròn thành hai cung:

  • Cung nhỏ AB⌢\overset\frown{AB} bị chắn bởi góc ở tâm AOB^\widehat{AOB} nên có số đo 120∘120^\circ. Độ dài:
l1=120180⋅π⋅3=2π≈6,28 (cm).l_1 = \frac{120}{180} \cdot \pi \cdot 3 = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ (cm)}.
  • Cung lớn có số đo 360∘−120∘=240∘360^\circ - 120^\circ = 240^\circ. Độ dài:
l2=240180⋅π⋅3=4π≈12,57 (cm).l_2 = \frac{240}{180} \cdot \pi \cdot 3 = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ (cm)}.

(Kiểm tra: l1+l2=6π=2π⋅3l_1 + l_2 = 6\pi = 2\pi \cdot 3 — đúng bằng chu vi đường tròn ✓)

Kết quả: cung nhỏ 120∘120^\circ dài 2π≈6,282\pi \approx 6{,}28 cm; cung lớn 240∘240^\circ dài 4π≈12,574\pi \approx 12{,}57 cm.