Bài 15 (tiếp). Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Luyện tập 1. Tính độ dài cung 40∘40^\circ của đường tròn bán kính 99 cm.

Lời giải:

l=n180 πR=40180⋅π⋅9=2π≈6,28 (cm).l = \frac{n}{180}\,\pi R = \frac{40}{180} \cdot \pi \cdot 9 = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ (cm)}.

Kết quả: l=2π≈6,28l = 2\pi \approx 6{,}28 cm.

Vận dụng 1. Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính 650650 mm. Biết rằng khi giò đĩa quay được một vòng thì bánh xe đạp quay được khoảng 3,33{,}3 vòng. Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp được 1010 vòng liên tục?

Lời giải:

Chu vi bánh xe: C=πd=π⋅650≈2042C = \pi d = \pi \cdot 650 \approx 2042 (mm) ≈2,042\approx 2{,}042 (m).

Người đạp 1010 vòng (giò đĩa quay 1010 vòng) thì bánh xe quay:

10⋅3,3=33 (voˋng).10 \cdot 3{,}3 = 33 \text{ (vòng)}.

Quãng đường xe đi được:

s=33⋅C≈33⋅2,042≈67,4 (m).s = 33 \cdot C \approx 33 \cdot 2{,}042 \approx 67{,}4 \text{ (m)}.

Kết quả: khoảng 67,467{,}4 m.

HĐ2. Thiết lập công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính RR ứng với cung n∘n^\circ.

Lời giải:

a) Cả hình tròn ứng với cung 360∘360^\circ và có diện tích πR2\pi R^2. Vì diện tích hình quạt tỉ lệ với số đo cung, hình quạt ứng với cung 1∘1^\circ có diện tích πR2360\dfrac{\pi R^2}{360}.

b) Hình quạt ứng với cung n∘n^\circ có diện tích:

Sq=n⋅πR2360=n360 πR2.S_q = n \cdot \frac{\pi R^2}{360} = \frac{n}{360}\,\pi R^2.

Kết hợp với công thức độ dài cung l=n180πRl = \dfrac{n}{180}\pi R, ta còn có Sq=l⋅R2S_q = \dfrac{l \cdot R}{2}.

HĐ3. Thiết lập công thức tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính RR và rr (R>rR > r).

Lời giải:

Diện tích hình vành khuyên bằng diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ:

Sv=πR2−πr2=π(R2−r2).S_v = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi\left(R^2 - r^2\right).

Thực hành. Vẽ hình quạt tròn biểu thị 40%40\%.

Lời giải:

Số đo cung cần vẽ: 40%⋅360∘=144∘40\% \cdot 360^\circ = 144^\circ. Vẽ đường tròn tâm OO, dùng thước đo góc vẽ góc ở tâm 144∘144^\circ rồi tô màu hình quạt tương ứng.

Luyện tập 2. Tính diện tích của hình quạt tròn đã vẽ trong Thực hành nếu bán kính của nó bằng 44 cm.

Lời giải:

Sq=144360⋅π⋅42=25⋅16π=6,4π≈20,1 (cm2).S_q = \frac{144}{360} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{2}{5} \cdot 16\pi = 6{,}4\pi \approx 20{,}1 \text{ (cm}^2\text{)}.

Kết quả: S≈20,1S \approx 20{,}1 cm².

Vận dụng 2. Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm có bán kính lần lượt 55 cm, 1010 cm, 1515 cm, 2020 cm và 3030 cm. Người chơi ném phi tiêu ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 88 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba).

Lời giải:

Diện tích vòng 8 (vành khuyên giữa r=10r = 10 và R=15R = 15):

S8=π(152−102)=π(225−100)=125π (cm2).S_8 = \pi\left(15^2 - 10^2\right) = \pi(225 - 100) = 125\pi \text{ (cm}^2\text{)}.

Diện tích cả tấm bia (hình tròn lớn nhất, bán kính 3030):

S=π⋅302=900π (cm2).S = \pi \cdot 30^2 = 900\pi \text{ (cm}^2\text{)}.

Xác suất trúng vòng 8:

P=S8S=125π900π=536≈0,14.P = \frac{S_8}{S} = \frac{125\pi}{900\pi} = \frac{5}{36} \approx 0{,}14.

Kết quả: P=536≈0,14P = \dfrac{5}{36} \approx 0{,}14.

Bài tập

Bài 5.9. Cho đường tròn (O;4 cm)(O; 4\text{ cm}) và ba điểm AA, BB, CC trên đường tròn sao cho tam giác ABCABC cân tại đỉnh AA và số đo cung nhỏ BCBC bằng 70∘70^\circ.

a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ ABAB và ACAC bằng nhau.

b) Tính độ dài của các cung BCBC, ABAB và ACAC (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải:

a) Tam giác ABCABC cân tại AA nên AB=ACAB = AC. Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau, do đó AB⌢=AC⌢\overset\frown{AB} = \overset\frown{AC}.

b) Tổng số đo ba cung nhỏ bằng 360∘360^\circ:

sđ AB⌢=sđ AC⌢=360∘−70∘2=145∘.\text{sđ}\,\overset\frown{AB} = \text{sđ}\,\overset\frown{AC} = \frac{360^\circ - 70^\circ}{2} = 145^\circ.

Độ dài các cung (R=4R = 4 cm):

  • lBC=70180π⋅4≈4,9l_{BC} = \dfrac{70}{180}\pi \cdot 4 \approx 4{,}9 (cm).
  • lAB=lAC=145180π⋅4≈10,1l_{AB} = l_{AC} = \dfrac{145}{180}\pi \cdot 4 \approx 10{,}1 (cm).

(Kiểm tra: 4,9+2⋅10,1≈25,1≈2π⋅44{,}9 + 2 \cdot 10{,}1 \approx 25{,}1 \approx 2\pi \cdot 4 — đúng bằng chu vi ✓)

Kết quả: lBC≈4,9l_{BC} \approx 4{,}9 cm; lAB=lAC≈10,1l_{AB} = l_{AC} \approx 10{,}1 cm.

Bài 5.10. Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 44 cm, ứng với cung 36∘36^\circ.

Lời giải:

S=36360⋅π⋅42=16π10=1,6π≈5,03 (cm2).S = \frac{36}{360} \cdot \pi \cdot 4^2 = \frac{16\pi}{10} = 1{,}6\pi \approx 5{,}03 \text{ (cm}^2\text{)}.

Kết quả: S=1,6π≈5,03S = 1{,}6\pi \approx 5{,}03 cm².

Bài 5.11. Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 66 cm và 44 cm.

Lời giải:

Sv=π(62−42)=π(36−16)=20π≈62,8 (cm2).S_v = \pi\left(6^2 - 4^2\right) = \pi(36 - 16) = 20\pi \approx 62{,}8 \text{ (cm}^2\text{)}.

Kết quả: Sv=20π≈62,8S_v = 20\pi \approx 62{,}8 cm².

Bài 5.12. Chiếc bánh pizza thứ nhất có đường kính 1616 cm được cắt thành 66 miếng đều nhau; chiếc thứ hai có đường kính 1818 cm được cắt thành 88 miếng đều nhau. So sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh.

Lời giải:

  • Miếng bánh thứ nhất (R=8R = 8 cm, 16\frac{1}{6} hình tròn):
S1=16⋅π⋅82=64π6=32π3≈33,5 (cm2).S_1 = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{64\pi}{6} = \frac{32\pi}{3} \approx 33{,}5 \text{ (cm}^2\text{)}.
  • Miếng bánh thứ hai (R=9R = 9 cm, 18\frac{1}{8} hình tròn):
S2=18⋅π⋅92=81π8≈31,8 (cm2).S_2 = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot 9^2 = \frac{81\pi}{8} \approx 31{,}8 \text{ (cm}^2\text{)}.

Vì 32π3>81π8\dfrac{32\pi}{3} > \dfrac{81\pi}{8} (do 32⋅8=256>243=81⋅332 \cdot 8 = 256 > 243 = 81 \cdot 3) nên miếng bánh cắt từ chiếc thứ nhất có diện tích lớn hơn.

Kết quả: S1≈33,5S_1 \approx 33{,}5 cm² >S2≈31,8> S_2 \approx 31{,}8 cm².

Bài 5.13. Một chiếc quạt giấy khi xoè ra có dạng nửa hình tròn bán kính 2,22{,}2 dm. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,61{,}6 dm (làm tròn đến hàng phần trăm của dm2\text{dm}^2).

Lời giải:

Phần giấy của quạt là nửa hình vành khuyên nằm giữa hai nửa đường tròn đồng tâm: bán kính ngoài R=2,2R = 2{,}2 dm, bán kính trong:

r=2,2−1,6=0,6 (dm).r = 2{,}2 - 1{,}6 = 0{,}6 \text{ (dm)}.

Diện tích phần giấy:

S=12π(R2−r2)=12π(2,22−0,62)=12π(4,84−0,36)=2,24π≈7,04 (dm2).S = \frac{1}{2}\pi\left(R^2 - r^2\right) = \frac{1}{2}\pi\left(2{,}2^2 - 0{,}6^2\right) = \frac{1}{2}\pi(4{,}84 - 0{,}36) = 2{,}24\pi \approx 7{,}04 \text{ (dm}^2\text{)}.

Kết quả: S≈7,04S \approx 7{,}04 dm².