Giải Toán 9 Tập 2 trang 10-13 - Kết nối tri thức

Bài 18 (tiếp). Bài tập

Luyện tập 2. Vẽ đồ thị của hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$. Tìm các điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng $2$ và nhận xét về tính đối xứng giữa các điểm đó.

Lời giải:

Bảng giá trị:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$2$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$2$

Nối các điểm ta được parabol đỉnh $O$, nằm phía trên trục hoành, đối xứng qua $Oy$.

Với $y = 2$: $\dfrac{1}{2}x^2 = 2 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$.

Hai điểm cần tìm là $(2; 2)$ và $(-2; 2)$, đối xứng với nhau qua trục tung $Oy$.

---

Vận dụng 2. Giải bài toán ở tình huống mở đầu (cầu treo).

Lời giải:

Chọn gốc tọa độ tại điểm thấp nhất của dây cáp. Dây cáp đi qua đỉnh tháp $(200; 75)$:

$$75 = a \cdot 200^2 \implies a = \frac{3}{1600} \implies y = \frac{3}{1600}x^2.$$

Tại $x = 100$: $CH = \dfrac{3}{1600} \cdot 100^2 = 18{,}75$ (m).

Kết quả: $CH = 18{,}75$ m.

---

Bài 6.1. Cho hàm số $y = 0{,}25x^2$. Hoàn thành bảng giá trị.

Lời giải:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$2{,}25$	$1$	$0{,}25$	$0$	$0{,}25$	$1$	$2{,}25$

---

Bài 6.2. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $a$ (cm), chiều cao $10$ cm.

a) Viết công thức tính thể tích $V$ theo $a$ và tính $V$ khi $a = 2$ cm.

b) Nếu độ dài cạnh đáy tăng lên hai lần thì thể tích thay đổi thế nào?

Lời giải:

a) $V = a^2 \cdot 10 = 10a^2$ (cm³). Khi $a = 2$: $V = 10 \cdot 4 = 40$ (cm³).

b) Khi cạnh đáy là $2a$: $V' = 10 \cdot (2a)^2 = 40a^2 = 4V$.

Vậy thể tích tăng lên $4$ lần.

---

Bài 6.3. Diện tích toàn phần $S$ (cm²) của hình lập phương là hàm số của độ dài cạnh $a$ (cm).

a) Viết công thức của hàm số.

b) Tính độ dài cạnh của hình lập phương có diện tích toàn phần $54$ cm².

Lời giải:

a) Hình lập phương có $6$ mặt vuông cạnh $a$: $S = 6a^2$.

b) $6a^2 = 54 \iff a^2 = 9 \iff a = 3$ (cm, vì $a > 0$).

Kết quả: $a = 3$ cm.

---

Bài 6.4. Vẽ đồ thị của các hàm số: a) $y = 3x^2$; b) $y = -\dfrac{1}{3}x^2$.

Lời giải:

a) Bảng giá trị của $y = 3x^2$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$12$	$3$	$0$	$3$	$12$

Đồ thị là parabol đỉnh $O$, nằm phía trên trục hoành ($a = 3 > 0$), nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

b) Bảng giá trị của $y = -\dfrac{1}{3}x^2$:

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$1$	$3$
$y$	$-3$	$-\dfrac{1}{3}$	$0$	$-\dfrac{1}{3}$	$-3$

Đồ thị là parabol đỉnh $O$, nằm phía dưới trục hoành ($a < 0$), nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

---

Bài 6.6. Trong Hình 6.7 có hai đường cong là đồ thị của hai hàm số $y = -3x^2$ và $y = x^2$. Hãy cho biết đường nào là đồ thị của hàm số $y = -3x^2$.

Lời giải:

Hàm số $y = -3x^2$ có hệ số $a = -3 < 0$ nên đồ thị nằm phía dưới trục hoành; còn $y = x^2$ có $a = 1 > 0$ nên đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Vậy trong hình, đường cong nằm phía dưới trục hoành là đồ thị của hàm số $y = -3x^2$.

---

Bài 6.7. Một cổng vòm được thiết kế dạng parabol $y = ax^2$. Chiều rộng chân cổng $AB = 6$ m, chiều cao cổng $OI = 4{,}5$ m.

a) Tìm hệ số $a$. Tính độ dài đoạn $HK$, biết $H$ cách điểm chính giữa cổng $I$ là $2$ m.

b) Một xe tải rộng $2$ m, cao $3$ m có thể đi qua cổng vòm không?

Lời giải:

a) Chọn gốc tọa độ $O$ tại đỉnh cổng, trục $Oy$ hướng xuống theo chiều cao. Chân cổng cách trục giữa $\dfrac{6}{2} = 3$ m và thấp hơn đỉnh $4{,}5$ m, tức parabol đi qua điểm $(3; -4{,}5)$:

$$-4{,}5 = a \cdot 3^2 \implies a = -\frac{4{,}5}{9} = -0{,}5 \implies y = -0{,}5x^2.$$

Điểm $K$ trên vòm thẳng phía trên $H$, với $x = 2$: $y = -0{,}5 \cdot 4 = -2$, tức $K$ thấp hơn đỉnh $2$ m.

$$HK = OI - 2 = 4{,}5 - 2 = 2{,}5 \text{ (m)}.$$

b) Xe đi chính giữa cổng thì mép xe cách trục giữa $1$ m. Chiều cao vòm tại $x = 1$:

$$4{,}5 - 0{,}5 \cdot 1^2 = 4 \text{ (m)} > 3 \text{ (m)}.$$

Vậy xe tải cao $3$ m, rộng $2$ m có thể đi qua cổng vòm.

Kết quả: a) $a = -0{,}5$; $HK = 2{,}5$ m; b) có thể đi qua.

---

Bài 19. Phương trình bậc hai một ẩn

HĐ1. (Bài toán bể bơi: mảnh đất $28 \times 16$ m, đường đi rộng $x$ m bao quanh bể bơi.) Tính chiều dài và chiều rộng của bể bơi theo $x$.

Lời giải:

Đường đi rộng $x$ m bao quanh nên mỗi chiều của bể bơi giảm $2x$:

• Chiều dài bể bơi: $28 - 2x$ (m);
• Chiều rộng bể bơi: $16 - 2x$ (m), với $0 < x < 8$.

HĐ2. Tính diện tích của bể bơi theo $x$.

Lời giải:

$$S = (28 - 2x)(16 - 2x) \text{ (m}^2\text{)}.$$

HĐ3. Viết phương trình để tìm $x$ khi diện tích bể bơi bằng $288$ m².

Lời giải:

$$(28 - 2x)(16 - 2x) = 288$$ $$448 - 56x - 32x + 4x^2 = 288 \iff 4x^2 - 88x + 160 = 0 \iff x^2 - 22x + 40 = 0.$$

Đây là một phương trình bậc hai một ẩn.

---

Luyện tập 1. Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn $x$? Chỉ rõ các hệ số $a$, $b$, $c$.

a) $x^2 + 5 = 0$; b) $2x^2 + 7x = 0$; c) $x^2 - 2x + 5 = 0$; d) $0{,}5x^2 = 0$.

Lời giải:

Cả bốn phương trình đều là phương trình bậc hai một ẩn:

• a) $a = 1$, $b = 0$, $c = 5$.
• b) $a = 2$, $b = 7$, $c = 0$.
• c) $a = 1$, $b = -2$, $c = 5$.
• d) $a = 0{,}5$, $b = 0$, $c = 0$.

---

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) $2x^2 - 4x = 0$; b) $3x^2 + 8x = 0$.

Lời giải:

a) $2x^2 - 4x = 0 \iff 2x(x - 2) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

b) $3x^2 + 8x = 0 \iff x(3x + 8) = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -\dfrac{8}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x_1 = 0$, $x_2 = -\dfrac{8}{3}$.